CINTA作業七

設 ? : G ? H \phi:G\mapsto H ?:G?H是一種群同態，請證明如果 G G G是回圈群，則 ? ( G ) \phi(G) ?(G)也是回圈群；如果 G G G是交換群，則 ? ( G ) \phi(G) ?(G)也是交換群，

1. 設 g g g是 G G G的生成元，要證 ? ( G ) \phi(G) ?(G)也是回圈群，即證明 ? ( g n ) = ? ( g ) n \phi(g^n)=\phi(g)^n ?(gn)=?(g)n，因為 ? ( g ) n = ? ( g ) . . . ? ( g ) \phi(g)^n=\phi(g)...\phi(g) ?(g)n=?(g)...?(g),根據群同態， ? ( g ) . . . ? ( g ) = ? ( g n ) \phi(g)...\phi(g)=\phi(g^n) ?(g)...?(g)=?(gn)，所以 ? ( g n ) = ? ( g ) n \phi(g^n)=\phi(g)^n ?(gn)=?(g)n，
2. 因為 G G G是交換群，所以 ? m , n ∈ G \forall m, n\in G ?m,n∈G，滿足 m n = n m mn=nm mn=nm，所以 ? ( m ) ? ( n ) = ? ( m n ) = ? ( n m ) = ? ( n ) ? ( m ) \phi(m)\phi(n)=\phi(mn)=\phi(nm)=\phi(n)\phi(m) ?(m)?(n)=?(mn)=?(nm)=?(n)?(m)，所以 ? ( G ) \phi(G) ?(G)是交換群，

證明：如果 H H H是群 G G G上指標為2的子群，則 H H H是 G G G的正規子群，

要證 H H H是 G G G的正規子群，即證明對 ? g ∈ G \forall g \in G ?g∈G， g H = H g gH=Hg gH=Hg，

若 g ∈ H g\in H g∈H，由吸收率可得 g H = H g = H gH=Hg=H gH=Hg=H，

若 g ? H g\notin H g∈/?H，則 g H ≠ H , H q ≠ H gH\neq H,Hq\neq H gH?=H,Hq?=H，由同一或不相交性，且 [ G : H ] = 2 [G:H]=2 [G:H]=2, 所以 g H = H g = G ? H gH=Hg=G-H gH=Hg=G?H，

證明：群 G G G是阿貝爾群，則商群 G / H G/H G/H也是阿貝爾群，
? m H , n H ∈ G / H \forall mH, nH \in G/H ?mH,nH∈G/H， ? a , b ∈ G \exist a,b \in G ?a,b∈G，使得有 m h 1 = a , n h 2 = b mh_1=a,nh_2=b mh1?=a,nh2?=b，其中 h 1 . h 2 ∈ H h_1.h_2\in H h1?.h2?∈H，因為滿足 a b = b a ab=ba ab=ba，所以滿足 m h 1 n h 2 = n h 2 m h 1 mh_1nh_2=nh_2mh_1 mh1?nh2?=nh2?mh1?，所以 m h 1 n h 2 H H = n h 2 m h 1 H H mh_1nh_2HH=nh_2mh_1HH mh1?nh2?HH=nh2?mh1?HH，所以 m H n H = n H m H mHnH=nHmH mHnH=nHmH，

證明：群 G G G是回圈群，則商群 G / H G/H G/H也是回圈群，

假設商群中的一個元素為 a H , a ∈ G aH,a\in G aH,a∈G，根據商群的操作的定義 ( a H ) n = a n H (aH)^n=a^nH (aH)n=anH，當 a a a是群 G G G的生成元時， a n a^n an能生成整個群 G G G，所以 G / H G/H G/H的每個元素都能由 a n H a^nH anH形成，所以 a H aH aH是群 G / H G/H G/H的生成元， G / H G/H G/H是回圈群，