寫在前面

如果\(arctan\)的計算成為了瓶頸，那么是時候對其進行優化了，

\(arctan\)的近似計算本質上是在所需精度范圍內對\(arctan\)曲線進行擬合，比較直接的想法是泰勒展開，

\[\arctan (x)=x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}-\frac{x^{7}}{7}+\ldots \]

根據需要的精度，確定展開多少項，但\(arctan\)的泰勒展開在\(x\)接近1時，收斂較慢，并不高效，

另一個直接的想法是查表，根據所需精度，正切值定點化后，將其對應的角度保存成表，計算時，根據最近的正切值查表，一般需要較大的記憶體空間，

需要注意的是，\(arctan(x)\)回傳的是\((-\pi/2, \pi/2)\)， \(arctan2(y, x)\)回傳的范圍是\((-\pi, \pi ]\)，因為后者可以根據\(x\)和\(y\)的正負確定位于哪個象限，實際上，只需近似或存盤\([0, \pi/4]\)即可（即八象限中的第一象限），若輸入向量\((x, y)\)，根據\(x\)和\(y\)的正負和大小關系，可以折算到所有的八個象限，

此外，CORDIC（COordinate Rotation DIgital Computer）演算法也是個選擇，僅涉及移位和加法操作，但仍需要迭代，

Arctan快速近似計算

這里，羅列paper 《Efficient Approximations for the Arctangent Function 》中的7種近似演算法，這些近似演算法通過Lagrange interpolation和minimax optimization techniques得到，最大近似誤差和所需計算如下所示，

從上到下依次為，

線性近似，最大近似誤差 \(0.07 \ rad = 4^{\circ}\)，

\[\arctan (x) \approx \frac{\pi}{4} x, \quad-1 \leq x \leq 1 \]

二階近似，最大近似誤差 \(0.0053 \ rad = 0.3^{\circ}\)，

\[\arctan (x) \approx \frac{\pi}{4} x+0.285 x(1-|x|), \quad-1 \leq x \leq 1 \]

搜索更佳的系數，最大近似誤差 \(0.0038 \ rad = 0.22^{\circ}\)，

\[\arctan (x) \approx \frac{\pi}{4} x+0.273 x(1-|x|), \quad-1 \leq x \leq 1 \]

\(\alpha x^{3}+\beta x\)形式的三階近似，最大近似誤差 \(0.005 \ rad = 0.29^{\circ}\)，

\[\arctan (x) \approx \frac{\pi}{4} x+x\left(0.186982-0.191942 x^{2}\right), \quad-1 \leq x \leq 1 \]

\(x(x-1)(\alpha x-\beta)\)形式的三階近似，最大近似誤差 \(0.0015 \ rad = 0.086^{\circ}\)，

\[\arctan (x) \approx \frac{\pi}{4} x-x(|x|-1)(0.2447+0.0663|x|), \quad-1 \leq x \leq 1 \]

\(x /\left(1+\beta x^{2}\right)\)形式的近似，最大近似誤差 \(0.0047 \ rad = 0.27^{\circ}\)，

\[\arctan (x) \approx \frac{x}{1+0.28086 x^{2}}, \quad-1 \leq x \leq 1 \]

另一個近似，最大近似誤差 \(0.0049 \ rad = 0.28^{\circ}\)，

\[\arctan (x) \approx \frac{x}{1+0.28125 x^{2}}, \quad-1 \leq x \leq 1 \]

實際使用時，可先定點化，按需選取，

以上，

參考

Streamlining Digital Signal Processing: A Tricks of the Trade Guidebook
FAST APPROXIMATE ARCTAN/ATAN FUNCTION

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