1. 函式
1.1 函式的定義
量和量之間的關系如：\(A=\pi \mathrm{r}^{2}\)
\(y=f(x)\) 其中 x 是自變數，y 是因變數
函式在 \(x_{0}\) 處取得的函式值 \(y_{0}=\left.y\right|_{x=x_{0}}=f\left(x_{0}\right)\)
符號只是一種表示，也可以 \(y=g(x), y=\varphi(x), y=\psi(x)\)
1.2 函式的分類
分段函式
\(f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\sqrt{x}, & x \geq 0 \\ -x, & x<0\end{array}\right.\)
反函式
\(\mathrm{h}=\frac{1}{2} g t^{2} \rightarrow h=h(t) \quad \mathrm{t}=\sqrt{\frac{2 \mathrm{h}}{\mathrm{g}}} \rightarrow t=t(h)\)
相當于把自變數和因變數調換位置，其中右邊的函式表示形式就是左邊的反函式，
顯函式與隱函式
像 \(y=x^{2}+1\) 這種的我們就稱之為顯函式，
如果它的運算式是 \(F(x, y)=0\) 或者 \(3 x+y-4=0\) 這樣需要我們去推匯出 y=? 的，我們稱為隱函式，
1.3 函式的特性
奇偶性
偶函式 \(f(-x)=f(x)\)，比如 \(f(x)=x^{2}\)
奇函式 \(f(-x)=-f(x)\)，比如 \(f(x)=x^{3}\)
周期性
\(f(x+T)=f(x)\)
單調性
在變數的取值區間上如果一直是遞增或者遞減，就是單調函式，
2. 極限
2.1 極限的符號表示
\(x \rightarrow \infty\) 當\(|x|\)無限增大時（負無窮是向左增大）
\(x \rightarrow+\infty\) 當 x 無限增大時
\(x \rightarrow-\infty\) 當 x 無限減小時
\(x \rightarrow x_{0}\) 當 x 從\(x_{0}\)的左右兩側無限接近\(x_{0}\)時
\(x \rightarrow x_{0}^{+}\) 當 x 從\(x_{0}\)的右側無限接近\(x_{0}\)時
\(x \rightarrow x_{0}^{-}\) 當 x 從\(x_{0}\)的左側無限接近\(x_{0}\)時
2.2 數列
按照一定次數排列的一組數：\(u_{0},u_{1},u_{2},...u_{n},...\) 其中\(u_{n}\) 叫做通項，
如果數列 \(\{u_{n}\}\) 當 n 無限增大時，其通項無限接近于一個常數 A 時，我們稱該數列收斂于 A，否則稱該數列為發散，
舉例：
\(\lim_{n\rightarrow\infty} u_{n}=A\) 當 n 趨近于無窮大時收斂于 A
\(\lim_{n \rightarrow\infty} \frac{1}{3^{n}}=0\) 當 n 趨近于無窮大時收斂于 0
\(\lim_{n\rightarrow\infty} 2^{n}\) 當 n 趨近于無窮大時，極限不存在，是發散的
\(\lim_{x \rightarrow1} \frac{(x^{2}-1)}{x-1}\) = \(\lim_{x \rightarrow1} \frac{(x+1)(x-1)}{x-1}\) = 2
如果一個函式，在左右鄰域都有定義時，那求極限時需要考慮左右極限的問題：
\(f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x-1 & x<0 \\ 0 & x=0 \\ x+1 & x>0\end{array}\right.\)
\(\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}}(x+1)=1\)
\(\lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{-}}(x-1)=-1\)
顯然，它的左右極限都是存在的，但是不相等，所以\(\lim _{x \rightarrow 0} f(x)\)不存在，
2.3 無窮小與無窮大
以 0 為極限，\(\lim_{x \rightarrow\infty} \frac{1}{x}=0\) 可以看出當 x 趨近于無窮大時收斂于 0，我們可以稱\(\frac{1}{x}\)是\({x \rightarrow\infty}\)時的無窮小，
這里有些基本性質需要記住：
- 有限個無窮小的代數和仍是無窮小，
- 有限個無窮小的積仍是無窮小，
- 有界變數與無窮小的積仍是無窮小
- 無限個無窮小之和不一定是無窮小，
- 無窮小的商不一定是無窮小，
以\(\infty\)為極限，\(\lim_{x \rightarrow{x_{0}}} {f(x)}=\infty\)
注意：無窮大并不是指一個很大的值，而是針對變數的變換程序而言的；如果在一組變換中，\(f(x)\)為無窮大，那么\(\frac{1}{f(x)}\)是無窮小，
2.4 函式的連續性
\(\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \Delta y=\lim _{\Delta x \rightarrow 0}\left[f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)\right]=0\)
設函式\(y=f(x)\)在點 \({x_{0}}\) 的某鄰域內有定義時，那么當\(\Delta x\)變化趨近于 0 時，\(\Delta y\)也為 0，我們稱函式\(y=f(x)\)在點 \({x_{0}}\) 處連續，
連續需要滿足的條件：
- 函式在該點處有定義
- 函式在該點處極限\(\lim_{\Delta x \rightarrow 0}f(x)\)存在
- 極限值等于函式值\(f(x_{0})\)
有連續就有間斷，我們稱之為間斷點（了解概念就行），
3. 導數
3.1 導數的定義
假設汽車運動的速度為 v，路程為 s，耗費的時間為 t，那么在單位時間內它的平均速度可以表示為\(\bar{v}=\frac{\Delta \mathrm{s}}{\Delta \mathrm{t}}=\frac{\mathrm{s}\left(\mathrm{t}_{0}+\Delta t\right)-s\left(t_{0}\right)}{\Delta t}\)
當\(\lim_{\Delta t \rightarrow 0}\)時，也就是求極限可以得到它的瞬時速度表示\(v\left(t_{0}\right)=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \bar{v}=\lim _{\Delta \rightarrow 0} \frac{\Delta \mathrm{s}}{\Delta \mathrm{t}}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{s\left(t_{0}+\Delta t\right)-s\left(t_{0}\right)}{\Delta t}\)
這個其實也稱為平均變化率的極限，如果這個值它是存在的，那么我們稱此極限是函式\(s=f(t)\)在點\(t_{0}\)處的導數 \(f^{\prime}(x_{0})\)，也可以表示為\(\left.y^{\prime}\right|_{x=x_{0}}\)
導數的實質：增量比的極限，
3.2 偏導數
上面導數的定義中只有一個自變數，如果我們的自變數不再是一個，而是有多個 x,y,z..呢，也就是多元函式？一般而言，固定其中一個變數（假設這個變數在求導程序中方向不會變），而求另外一個自變數的導數，這種操作就叫做求偏導，舉個栗子：
求函式\(f(x, y)=x^{2}+3 x y+y^{2}\)在點（1,2）處的偏導數？
思路：因為有兩個自變數，所以會求出兩個偏導數，當然前提是它們在鄰域內都是可導的，
先固定 y，得到\(f_{x}(x, y)=2 x+3 y\)
固定 x，得到\(f_{y}(x, y)=3 x+2 y\)
所以：
\(f_{x}(1,2)=\left.(2 x+3 y)\right|_{x=1 \atop y=2}=8\)
\(f_{y}(1,2)=\left.(3 x+2 y)\right|_{x=1 \atop y=2}=7\)
可以看出，偏導數只是沿著 x 軸或者 y 軸的變化，
3.3 方向導數
方向導數的定義
如上圖示，先定義一個函式\(z=f(x,y)\)，兩點之間的距離（模），\(\left|P P^{\prime}\right|=\rho=\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}\)，如果函式的增量\(\Delta z=f(x+\Delta x, y+\Delta y)-f(x, y)\)與這兩點的距離比例存在，則稱此為 P 點沿著 L 方向的方向導數
\(\frac{\partial f}{\partial l}=\lim _{\rho \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x, y+\Delta y)-f(x, y)}{\rho}\)
其實：一個點在一個平面上（這個平面就是這個點的切面）是有無數個方向的，并不是一定沿著坐標軸的，
可以看到圖中由 BCD 構建的平面切于函式，在此切面上有一點 E，E 點在此切面 q上是有無數（360°）個方向（L），即對于一個點方向導數是很多的，
（二維里一個點確定一條切線，三維里一條線確定一個切面，這個線上隨便取一個點，沿著這個點在平面上又能畫出無數個線）
方向導數與偏導數的關系
如果函式\(z=f(x,y)\)在點\(P(x,y)\)是可微分的，那么該點沿任意方向 L 的方向導數都是存在的，同時，我們可以得出它與偏導數的關系，其中\(\varphi\)為X 軸到L 的角度，
\(\frac{\partial f}{\partial l}=\frac{\partial f}{\partial x} \cos \varphi+\frac{\partial f}{\partial y} \sin \varphi\)
3.4 梯度
直白的解釋一下：在下山程序中怎么樣下山是最有效率，肯定是沿著你所在位置求一個切線的方向，切線有兩個方向，一個是向上一個是向下，那么梯度就是向上的方向（只要記住梯度本身是上升的），在機器學習中，通常我們優化的方向是梯度下降，其實就是沿著梯度反方向就行了，
梯度和方向導數的關系：方向導數是隨意的，梯度是方向導數中值取得最大的那個方向，
參考資料
1）曲線切線的定義和導數
2）方向導數與梯度
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