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一、極限公式1
二、極限公式2
e為常數2.71828…
變體：
使用案例：
三、夾逼定理
夾逼定理英文原名Squeeze Theorem，也稱兩邊夾定理、夾逼準則、夾擠定理、挾擠定理、三明治定理，是判定極限存在的兩個準則之一，是法國著名數學家、物理學家約瑟夫·路易斯·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，1736~1813）提出的，
3.1、數列夾逼定理
3.2、函式夾逼定理
f(x)與g(x)在x0處連續且存在相同的極限A，即x→ x0時, lim f(x)=lim g(x)=A,則若有函式k(x)在x0 的某鄰域內(如x0∈（x1,x2）)，恒有f(x)≤k(x)≤g(x),則當X趨近x0時 ,有lim f(x)≤lim k(x)≤lim g(x)，即A≤lim k(x)≤A
故 lim k(x)=A，
簡單地說：函式A>B,函式B>C，函式A的極限是X，函式C的極限也是X ，那么函式B的極限就一定是X，這個就是夾逼定理，
四、極限公式1的證明
證明方法：在下面的圓中，假設圓半徑r=1（即圓為單位圓），OC=x，AC=y，AC垂直OB于C，DB為圓的切線，切點為B，則sinθ=y/r=y，tanθ=Y/X=BD/OB=BD，弧AB的長=θ * 2πr/360 =θ * 2π/360 =θ ，由圖中可以得知：
- y<AB長<弧AB長，即sinθ < θ
- S△OBD＞S扇OAB＞S△OAC,即BDr/2>πrrθ/2π>y*x/2，r=1,x<r,得出BD>θ>y
- 從上面結論tanθ=BD、sinθ = y、BD>θ>y 得出：tanθ /sinθ > θ / sinθ > sinθ/sinθ,即：1/cosθ>θ / sinθ > 1，在θ趨于0時cossθ的極限值為1，因此1/cosθ極限值為1，根據夾逼定理θ / sinθ的極限值為1，
五、極限公式2的證明思路
5.1、證明（1+1/x）的x次方小于3
將（1+1/x）的x次方用二項式展開，變為：
1+x*1/x+x(x-1)/(2!*x2) +x(x-1)(x-2)/(3!*x3）+…+(1/x) 的x次方
可以看到對上面公式中：
- 每項都小于1
- 在n大于3時小于x時，第n項等于：x*(x-1)*…(x-n+2)/((n-1)!x的（n-1）次方)，由于（x-k）/x小于等于1，則每項小于：1/(n-1)!，進一步小于等于1/(n-1)(n-2)
- 從上步可知，二項式展開式小于等于：1+1+1/(21)+1/(32)+1/(4*3)… ,也即二項式展開式小于等于：
2+1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+…+1/(x-2)-1/(x-1)+(1/x)的x次方，也即小于:
3-1/(x-1)+(1/x)的x次方，在x大于1的情況下1/(x-1)大于(1/x)的x次方，因此可以知道結果值小于3，
5.2、證明（1+1/x）的x次方單調遞增
單調遞增的證明非常簡單，即將（1+1/x）的x次方和（1+1/(x+1)）的x+1次方分別進行展開，可以看到后者展開的每項都大于等于前者且多一項，
從上面兩步說明，（1+1/x）的x次方是小于3的單調遞增的有界函式，其極限值稱為e，
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標籤：AI