光學仿真2020-12-09

光學仿真三千問（講人話）

（第二篇———光學(第一小節)）

上帝說要有光，光從何來？

lights ，對于它的討論推動了物理學兩次飛躍， relativity and quantum !
大家可能發現了，我這個人喜歡追根溯源，我要落地的程式是1，而我必須從100開始講起！
沒錯！
讓我們走進相對論和量子力學1，從而認識光的本質！然后對他在攝像機中的程序分析，from 0 to 100;

人類對于光的本質的認識

一，光的認知：

光的認知程序可簡單劃分為兩個階段，17世紀以前的直觀體驗階段和17世紀以后的科學認知階段，

17世紀光學在歐洲誕生了，歐洲成為了當時光學研究的前沿陣地，幾何光學和波動光學，從數學和科學的角度描述了光，幾何光學闡述了光的直線傳播、反射、折射等，波動光學闡述了光是一種電磁波，光學研究進入了科學認知的歷程，科學認知即光的科學，需要了解光的本性是什么、光是怎么產生的、怎么傳播的，以及與物質的相互作用，甚至通過物質的相互作用怎么去調控光，這些也正是光科學研究主要內容，

幾何光學是光學發展史上的轉折點，在這個時期建立了光的反射定律和折射定律，奠定了幾何光學的基礎，其中最重要的是光的折射定律，折射率決定了光的傳播和光的相互作用，是光學研究中最基本的數值，介電常數與極化率等都是與折射率緊密關聯的常數，這便是微粒說的天下時期；

17世紀下半葉，牛頓和惠更斯等把光的研究引向進一步發展的道路，1672年牛頓完成了著名的三棱鏡色散試驗，經過三棱鏡的太陽光可分出五顏六色的光，這是最早的波長的概念，但是，牛頓卻認為光是粒子性的，牛頓的微粒流的假設則難以解釋光在繞過障礙物之后所發生的衍射現象，惠更斯反對光的微粒說，認為光是波動的，光向外傳播類似于將石頭擲于水中，波向外傳播，每一點都是一個源，再次向外傳播，這與光是粒子的，類似于打子彈，是一個粒子一個粒子的向前傳播的學說相矛盾，惠更斯運用他波動理論中的次波原理，不僅成功地解釋了反射和折射定律，還解釋了方解石的雙折射現象，這個時期也可以說是幾何光學向波動光學過渡的時期，是人們對光的認識逐步深化的時期，

1801年，楊氏干涉實驗證明了光的波動性，托馬斯·楊把一支蠟燭放在一張開了一個小孔的紙前面，這樣就形成了一個點光源，在帶孔的紙后面再放一張紙，將第二張紙開出兩道平行的狹縫，從小孔中射出的光穿過兩道狹縫投到螢屏上，到達不同位置時位相不同，疊加后出現強度的增強或減弱，會形成一系列明、暗交替的條紋，這就是著名的雙縫干涉條紋，雖然這一實驗充分證明了光具有波動性，但是光的波動理論仍然不被人們認可，光的波動性一直處于爭論之中，

當時歐洲科學中心，法國科學院提出了一個著名的題目—泊松亮斑，菲涅爾成功地利用這一題目證明了光的波動性，菲涅爾將屏孔的尺寸改變成與波長量級相當的大小，實驗中發現螢屏上出現了干涉條紋，中間出現了亮斑，證明了光的波動性，

光的波動性被認可后，促進了電磁學的快速發展，麥克斯韋方程是現代電磁學的基礎，而光的所有性質都可以用麥克斯韋方程來解釋， “光也是一種電磁波”這一觀點逐漸被大家認可，從無線電波到伽馬射線都是電磁波，光只是其中很小的一部分，這時光的波動學說是全盛時期；

二，光所引起的兩次思考：

19世紀末，經典物理的大廈已經建成，湯姆遜在新年祝詞中講到，經典物理中只剩下“兩朵黑云”，其中一朵與光學緊密相關，即波動理論的困惑，用波動理論計算黑體輻射會無限大的增強—瑞利金斯曲線，與實際測量不符，即紫外災難，為了解釋這個難題，數學家普朗克從物質的分子結構中借用不連續的概念，提出了量子論，他認為光具有量子化特性，能量是一份一份的，并不是連續的，即光是粒子的，這可以很好地解釋紫外災難，

愛因斯坦提出光量子學說，用光電效應證明了光的粒子性，并獲得諾貝爾物理學獎，這標志著光科學的研究進入了量子光學時期，而另一個促進量子力學誕生的重要研究是對“太陽黑線”的研究，應用光譜儀測量陽光照射的譜線中總是有幾條穩定存在的譜線，起初人們無法判定黑色譜線的來源，后確定為太陽光到達地球的程序中吸收了大氣中的某些元素，于是在太陽光譜中就沒有這些頻率的光波，形成了暗線，但吸收線為單線，為了解釋此現象，波爾提出了原子構造學說，認為原子由原子核和核外電子組成，電子存在不同的能級，吸收光子后電子從下能級躍遷至上能級將光子能量吸收，由此提出了原子結構和能量不連續性，解釋了太陽黑線現象，量子力學由此誕生，

我們可以看到，光學在量子力學的建立程序中做出了重要的貢獻，光子概念的提出、光電效應的發現、紫外災難的解釋、光譜暗線的解釋，以及能級的概念提出等，這些研究奠定了當代量子物理學的框架，而量子物理學的發展又促進了光學的巨大發展，

剩下的另一朵烏云是關于光速不變的問題，這個問題的本質是在否認光在以太為介質的連續稠密中震蕩傳播，邁克爾遜莫雷實驗早就否認了這點，否則應該出現的干涉條紋呢？他的實驗說明光速不會因為參考系的變換而變換，

也就是說以光速去追光，測量后發現，光速還是c,

我個人第一次的直覺覺得，這個我們測量的原因有關，想象一下，你去測量光，假設光是波，那么人類怎樣去探測光呢？

我想假設任何速度的測量都是需要力學量（廣義的）去測量的，那么他們的觀測是在光耦合到探測器的發生的一個很小的時間內發生的，那么測得的量極有可能是耦合時的光速，
你可能說！不對，最早光速的探測就沒有任何探測器，用的是肉眼去看齒輪縫隙的明暗變化！
你錯了，眼睛不過也是一種低精度的探測器罷了，最早的光速測量方法如下：

用兩個齒輪數不同轉速不同的齒輪在一個軸上轉動（兩個齒輪的距離已知），讓光從左通過尺牙達到右邊的螢屏上，由于延時效應的存在，光會
在右邊的螢屏上周期性出現，明亮周期為T黑暗周期為t，假設第一個齒輪轉速為a,齒數為na,第二個齒輪轉速為b,齒數為nb, 半徑都為r，每個尺牙占據固定弧長p, 兩個齒輪距離為L，那么:

對于一個齒輪就是有：

T = ( 2 ? p i / n ? p ) / w ? r , t = p / w ? r ; T=(2*pi/n-p)/w*r,t=p/w*r; T=(2?pi/n?p)/w?r,t=p/w?r;

明暗成了一種方波表示：
a齒輪的方波
b齒輪的方波

得知了兩者的方波就可以對兩個方波級聯的系統相乘為新的方波，而這個方波的形狀由光程決定，l這個距離會讓，有一定的延時效應的存在，也就是說會延時個
t i m e = l / c ; time=l/c; time=l/c;
造成
t i m e ? ( w a ? w b ) time*(wa-wb) time?(wa?wb)
的相位差；
（讓第二個方波平移這個距離后再讓兩個波相乘），這樣通過觀察相乘后的方波周期就可以確定光速！（相位差和不同的轉速（一定要不同！）會導致這個問題的周期性！）
這樣測出來的光速其實已經達到了2.9kkm/s,非常精準了，這還是在沒有發明電力的時代人們通過蒸汽機測得！
牛逼！
后來人們又通過邁克爾遜莫雷實驗測得了光速，后來麥克斯韋又通過電磁理論預言了電磁波并嚴格計算出來了光速；
我們可以發現，通過光的直線傳播（粒子說）和波動理論兩個方面
都解決了光速的問題，光速的測量方法又讓波粒二象性大獲成功；

是這樣嗎？？

回顧歷史，回顧今天，本人覺得，no，這個我們后面再說，避免太過硬朗，以至于大家感到厭煩！

kekeke,一不小心有又展開太多，讓我們繼續，剛才我們說的是探測程序，探測是在探測器耦合光某種方式（眼睛也是探測器），很可惜的是，我們目前并沒有很明確的探測器跟光的耦合實際程序，進入探測器的那一瞬間，我們是如何探測這個程序的呢？noop,我們無法探測程序，我們只是讓結果在模型的標準下去調整我們的理論和引數，我們能看到光還沒傳播到眼睛的畫面嗎？我知道，你不知道我想說啥，其實我也很難用語言說出來，，，
給我點時間以后我會說清這種感覺！

三：老愛的理論：
我覺得個人來說，廣相在我心里的地位高于quantum,所以我們從老愛說起來！先！
所以，那你光速不變是哪里出了問題呢？

還記得我在第一章說的希爾伯特空間嗎？
愛因斯坦的狹義相對論這事兒其實跟阿爾伯特關系不大，，，，，
洛倫茲老人家的四維旋轉早就解決了他的一切數學基礎，更本質，更優美；
咋弄！？
來： 問題的核心是參考系無論咋動，光速不變，給你兩分鐘，你來構造一個函式，光速永遠不變：

time up …
先給出速度疊加公式（先不證明，體驗最重要），v1是坐標系相對速度，v2是這個坐標物體的速度；
v 1 與 v 2 疊 加 = ( v 1 + v 2 ) / ( 1 + v 1 ? v 2 / c 2 ) ; v1與v2疊加=(v1+v2)/(1+v1*v2/c^2); v1與v2疊加=(v1+v2)/(1+v1?v2/c2);
這樣，你試試
c " + " c = ( c + c ) / ( 1 + c 2 / c 2 ) = c ; c"+"c=(c+c)/(1+c^2/c^2)=c; c"+"c=(c+c)/(1+c2/c2)=c;

昂，光速不變，也許你還能構造出新的方程，請留言給俺，，
來，我們來一起推導一下它，并看一下它的物理意義!
怎么去推到呢？
假設x‘是一個坐標系相對于x速度為v;則有：

x ′ = x ? v ? t x'=x-v*t x′=x?v?t

這是笛卡爾變換，沒什么不對！
對吧
也就是說：
真實的相對速度為v時，以上公式成立，
（我為什么說是真實速度呢？
因為我認為測量的速度并不是真實的速度！
曾在一本失傳絕學上看過解釋菲索實驗的書，里面基本是在否認狹義相對論，里面解釋狹義相對論是一種近似！并且詳細解釋了一些不能被解釋的現象；；；；；）
ok,言歸正傳！
剛才說了x’相對x速度為v時候的坐標變換，
那么x相對x’時候的變換規律會變嗎？！
當然不會變，仍然是
x = x ′ ? v ? t x=x'-v*t x=x′?v?t
因為必須對稱，兩個坐標系是公平的，
那么
如果x’相對于x以v運動,就有：
x ′ = x ? v ? t ; x = x ′ + v ? t ; x'=x-v*t; x=x'+v*t; x′=x?v?t;x=x′+v?t;
帶入x’，則：
x = x ′ + v ? t = x ? v ? t + v ? t = x x=x'+v*t=x-v*t+v*t=x x=x′+v?t=x?v?t+v?t=x

沒毛病！！
說明這個理論自身嚴格自洽；也就是說笛卡爾在數學上是自洽的！
他在說兩個平面的夾角（法線夾角）不變的情況下平移兩個平面的關系！
那么就會還有平移兩個平面但夾角變的情況對吧！
我們來試一下！假設旋轉角度和位移成正比比例為q,（這是我獨創的方法哦，，請看下去！）
那么根據投影定理：

x = ( x ’ ? v ? t ′ ) / c o s ( q ′ ) ; q ′ = ? k v t ′ ; x=(x’-v*t')/cos(q');q'=-kvt'; x=(x’?v?t′)/cos(q′);q′=?kvt′;
x ′ = ( x + v ? t ) / c o s ( q ) ; q = k v t ; x'=(x+v*t)/cos(q);q=kvt; x′=(x+v?t)/cos(q);q=kvt;

如果光速不變是正確的；
那么我們將會有：
x = c t ; x=ct; x=ct;
x ′ = c ? t ′ x'=c*t' x′=c?t′
那么帶入后就有：
c ? t = ( c ? t ’ ? v ? t ′ ) / c o s ( q ′ ) ; q ′ = ? k v t ′ ; c*t=(c*t’-v*t')/cos(q');q'=-kvt'; c?t=(c?t’?v?t′)/cos(q′);q′=?kvt′;
c ? t ′ = ( c ? t + v ? t ) / c o s ( q ) ; q = k v t ; c*t'=(c*t+v*t)/cos(q);q=kvt; c?t′=(c?t+v?t)/cos(q);q=kvt;

這兩個式子，
那么我們再把他們帶入求解
那么就有：
c o s ( q ) ? c o s ( q ′ ) = 1 ? v 2 / c 2 ; q = k v t , q ′ = k v t ′ cos(q)*cos(q')=1-v^2/c^2;q=kvt,q'=kvt' cos(q)?cos(q′)=1?v2/c2;q=kvt,q′=kvt′

這樣我們如果要相信t和t’的同時性，那么cos(q)=cos(q’)；
這樣：
c o s ( k v t ) = 1 ? v 2 / c 2 cos(kvt)=1-v^2/c^2 cos(kvt)=1?v2/c2
正好他小于等于一；
k = a c o s ( 1 ? v 2 / c 2 ) / v t ; k=acos(1-v^2/c^2)/vt; k=acos(1?v2/c2)/vt;
可以看出k隨著時間而變；
以上是我對狹義相對論的解釋；

上圖就是狹義相對論；
（這里有一個問題，就是cos(q)為什么要等與cos(q’),我有著巨大的疑問，就這樣取算術平均數到底意味著什么？
意味著時空對稱；
從骨子里這樣就是一個荒謬的假設，左右為什要對稱？
這就造就了相對論中不可能有非對稱的場，或者說之后的廣相也受到了其對稱的影響；）
也就是說狹義相對論不過是平面走著走著同時還在轉動，在四維空間里是一個洛倫茲旋轉群罷了；

所以聰明的你也應該發現了，好像數學模型對應的物理情況總能在物理中找到，或許你在數學中從未有實際對應的理論會有重大意義呢，

我們繼續，我們是為了什么才說的光速不變呢，是為了說光對于兩次物理革命的貢獻，對吧！
第二次關于對光的革命即使量子力學，讓我們走近quantum physics,看看他到底在講些什么！

四，quantum pyhscis：
其實量子力學還是比較完善的一門學科！它的很多理論非常自洽，而且更加數學而非像是相對論那種拼湊起來的理論；用數學工具強行的解決一塊一塊問題，像是一個煎餅果子；
量子力學對于光的最大貢獻其實是光場的再次量子化，就是把所謂量子場論，（標量場）
“光子是唯一一個在作為粒子之前被當成場探測的粒子. 因此發展量子場論形式體系的第一個
實體與輻射相聯系是十分自然的, 直到后來, 才應用到其它粒子和場.”
————溫伯格
；
一，初步唯象低速理論：
什么是量子力學？
答：量子力學是建立在希爾伯特空間的符合酋變換的可測量復合系統；
（希爾伯特空間我不在解釋我第一章有）
酋變化就是指隨著時間的演化他的絕對值不變；
可測量就是算子符合投影定則，（某個特征值的測量概率等于這個態在總體中的占有比）
復合系統也就是可以用張量積來直乘他的不同基從而形成系統的基；（比如自旋————空間耦合，描述自選一組基，空間耦合一組基，直乘即可描述復合系統也即是自旋空間耦合態；）

量子力學為了描述粒子的波動性（波動性代表概率，在實驗中仍然使用全同粒子系綜去確定，而非單個粒子（這樣可能與糾纏態？所以可能并不是隨機的）），仍然采用經典波動方程去描述事件，

當 波 = e x p ( i E t ? i P x ) ； d 波 / d t = i E ? 波 ； d 波 / d x = ? i p ? 波 ； 當波=exp(iEt-iPx)； d波/dt=iE*波； d波/dx=-ip*波； 當波=exp(iEt?iPx)；d波/dt=iE?波；d波/dx=?ip?波；
d 波 / ( i E ? d t ) = 波 ； d 波 / ( ? i p ? d x ) = 波 ； d波/(iE*dt)=波； d波/(-ip*dx)=波； d波/(iE?dt)=波；d波/(?ip?dx)=波；
d 波 / ( i E ? d t ) = d 波 / ( ? i p ? d x ) ; d波/(iE*dt)= d波/(-ip*dx); d波/(iE?dt)=d波/(?ip?dx);
而經典理論中：
E = P 2 / 2 M ; E=P^2/2M; E=P2/2M;
則：
d 2 波 / d 2 x = ? p 2 ? 波 ； d 2 波 / d 2 x = ? 2 M ? E ? 波 = 2 M ? ( ? i ) ? i ? E ? 波 ； d^2波/d^2x=-p^2*波； d^2波/d^2x=-2M*E*波=2M*(-i)*i*E*波； d2波/d2x=?p2?波；d2波/d2x=?2M?E?波=2M?(?i)?i?E?波；
d 2 波 / d 2 x = 2 M ? ( ? i ) ? d 波 / d t ； d^2波/d^2x=2M*(-i)*d波/dt； d2波/d2x=2M?(?i)?d波/dt；
這就是薛定諤方程，它的核心思想是：
E = P 2 / 2 M ; E=P^2/2M; E=P2/2M;
（薛定諤方程，不過是個非相對論波動方程；）
這樣我們建立起來一系列理論，然后我們會發現在希爾伯特空間里自然有施瓦茨不等式

這自然會推匯出不確定性原理，并且是廣義的！
讀者可以在格里菲斯的量子力學中找到答案；
好繼續，基于希爾伯特空間我們在坐標表象下寫出一系列勢能（坐標表象下的勢能用三維球坐標形式），這樣我們需要做兩個事：
1，求解在坐標表象下的特征值和向量；
2，如何對應到本力學量的表象下；
這是一個深不可見的數學世界，最后到我們甚至無法精確求解一些簡單的散射，只用一些近似，從這個層面上來說，工程師可以超越物理學家！
（實際上，我是個綜合學科者，我感受到了光靠科班的局限）
（波恩）
光，作為一個標量場，我們一般是將輻射場也就是矢勢量子化；然后寫成哈密頓形式，也就是類似于準粒子
如下:

別擔心，我也看不懂，我們主要看到他把A量子化了，完事；（這是量子場論的內容）

二，相對論性量子理論：
這個時候你不能再用薛定諤方程，因為它的基礎是
E = P 2 / 2 M ; E=P^2/2M; E=P2/2M;
而高速時候：
E = M C 2 ; E=MC^2; E=MC2;
E 2 = M 2 ? C 4 + P 2 ? C 2 ; E^2=M^2*C^4+P^2*C^2; E2=M2?C4+P2?C2;
所以同樣的道理就是用上述方程從exp(iEt-ipx)中解出E，p然后通過上述方程寫到一起：


這個方程叫克萊因高等方程;
他就是量子力學過渡到高速的起源，，，，，
然后你懂的，我知道我說得太多了，就此打住！

大家體驗了一波精神！嗯，很nice!

五，基本引數（繞了一大圈把什么是光搞清楚了，gg）
很開心，這里絕對沒有人了，能看下來的絕對是要么真的很捧場，要么就是瓜皮了，，，
感謝各位咱們來點實在的！
鏡頭，它是一個有厚度的折射片；
在我的世界里，經典光學的一切效應只能算近似，ok,我們來看看鏡頭的知識！
back to zero;
1,光電系統的構成：

我們已經說了我們是紅外仿真，也就是被動的光電系統，
光輻射和大氣衰減都說過了，現在傳播過來的光將會經過鏡片進入到相機，光學系統是將輻射光焦距在探測光焦平面上，然后通過焦平面上的探測器
掃描或者不掃描的方式轉換成電信號序列，經過處理后再次在顯示幕上呈現出來影像；
2,視場：
視場代表著攝像頭能夠觀察到的最大范圍，通常以角度來表示，視場越大， 觀測范圍越大，
瞬時視場角（Instantaneous Field Of View，IFOV），是指傳感器內單個探測元件的受光角度或觀測視野，它決定了在給定高度上瞬間觀測的地表面積，這個面積就是傳感器所能分辨的最小單元，IFOV越小，最小可分辨單元越小，影像空間解析度越高，IFOV取決于傳感器光學系統和探測器的大小
3，掃描型成像系統：
顧名思義，掃描型成像系統就是因為探測器的視場角太小了，需要一點一點去掃描了，
很呆，我國所有書上都是一行掃描然后換行，采用這種low的不談的方法，這里給個網址給那些寫書的人看：

https://www.bilibili.com/video/av4201747/
這叫希爾伯特曲線掃描法，不會因為掃描設備的漏掃描改變而混亂像素容錯率很高，求求你們上點心吧；
4，凝視型成像系統：
凝視型焦平面多用于觀測近物，它不是一列探測器，而是直接一個二維的探測面，直接讓光電效應記錄在每個平面上，當然這樣需要的時間回應肯定會差！
5，掃過比：
掃描程序中，相鄰的視場可能有重疊或間隙表明這種掃描重疊程度的系數稱為掃過比Os，
相鄰探測器之間的距離為d,大小為a,那么叫a/d為掃過比；
6,駐留時間
駐留時間就是掃過探測器張角的時間；
總視場像元素：
m = W h ? W v / ( a ? b ? O s ) ; m=Wh*Wv/(a*b*Os); m=Wh?Wv/(a?b?Os);;
幀周期：掃過一副完整的畫面所需要的時間：Tf ；
掃描效率：由于物理原因回掃時候會產生一個時間差Tf’ ;
單元探測器駐留時間：
t d = ( T f ? T f ′ ) / m ； td=(Tf-Tf')/m； td=(Tf?Tf′)/m；
7，時間和頻率關系：
f ( t i m e ) = w ? f ( s p a c e ) = ( a / t d ) ? f ; f(time)=w*f(space)=(a/td)*f; f(time)=w?f(space)=(a/td)?f;
；
六，重中之重！成像物理程序
1，光學系統的輻射衰減，模糊，幾何扭曲和漸暈
2，探測器時空濾波，空間采樣，噪聲；
3，信號處理的時域濾波，非線性回應和數字濾波；
4，監視器濾波和插值；
系統模型分類：
1，連續輸入————連續輸出；
2，離散輸入————離散輸出；
3，連續輸入————離散處理————連續輸出；
（輸入場景解析度是探測器的16倍，這時我們才能認為輸入場景是連續的）
七，本章的重點！：光學系統（衍射，各種像差和扭曲）
本博主羅嗦了一大堆，從光是什么，相對論，量子力學，光學成像，最終終于迎來了：
光學仿真；
沒錯咱們是光學仿真啊！我都跑題成啥了，，，，
好！來，我們先來對衍射進行分析：
1，衍射
菲涅爾說光是由不斷地波前疊加的傳播方式；
其實達芬奇的書里早就說了這點，不過達芬奇那時已經去世了，，

（達芬奇）

1818年菲涅爾論證了波動理論的衍射效應，菲涅爾認為波是由波前不斷疊加的結果；
之后的基爾霍夫更加數學化了他的理論，并成為了嚴格意義上的理論；

（菲涅爾）

1896年，索莫非第一次解出了衍射的方程；

（索莫非）
我們假設：
有一定能量的波在傳播；那么肯定的沿傳播方向的能量最大，做一個角分布：
k ( t h ) k(th) k(th)
th是法線和沿某方向傳播的夾角，k(th)表示的就是振幅的調節，k(0)最大；
這樣在傳播面為r0的波面上的某一點（這時作為震源）二次波有：

A = A 0 ? e x p ( i k r 0 ) / r 0 ; （ 是 球 面 上 ） 某 點 的 振 幅 A=A0*exp(ikr0)/r0;（是球面上）某點的振幅 A=A0?exp(ikr0)/r0;（是球面上）某點的振幅
d U ( t h ) = k ( t h ) ? A ? e x p ( i k s ) / s ? d s ; ( 發 現 是 球 面 上 這 點 的 法 線 ， 角 度 為 指 向 某 一 點 p 的 角 度 ) dU(th)=k(th)*A*exp(iks)/s*ds;(發現是球面上這點的法線，角度為指向某一點p的角度) dU(th)=k(th)?A?exp(iks)/s?ds;(發現是球面上這點的法線，角度為指向某一點p的角度)

經過基爾霍夫的傾心計算：
K （ t h ) = ? i / ( 2 ? l a m u d a ) ? ( 1 + c o s ( t h ) ) ; K（th)=-i/(2*lamuda)*(1+cos(th)); K（th)=?i/(2?lamuda)?(1+cos(th));
這說明反方向為零，正方向最大，符合我們的直覺；
d U ( t h ) = ? i / ( 2 ? l a m u d a ) ? ( 1 + c o s ( t h ) ) ? A ? e x p ( i k s ) / s ? d s dU(th)=-i/(2*lamuda)*(1+cos(th))*A*exp(iks)/s*ds dU(th)=?i/(2?lamuda)?(1+cos(th))?A?exp(iks)/s?ds
A = A 0 ? e x p ( i k r 0 ) / r 0 ; （ 是 球 面 上 ） 某 點 的 振 幅 A=A0*exp(ikr0)/r0;（是球面上）某點的振幅 A=A0?exp(ikr0)/r0;（是球面上）某點的振幅
這就是衍射的全部內容了，完；
以上公式稱為：菲涅爾基爾霍夫積分公式
那么怎么運用它呢？（這里要強調，首先這個是衡穩波面，不隨著時間改變，而且介質各向同性， ）
當然就是讓它對于波陣面整個去積分，然后得出p點的振幅，
對于可以忽略exp二階以上的叫————夫瑯禾費衍射；
不可以忽略的叫————菲涅爾衍射；

有以下公式：
U ( p ) = ∫ ∫ k ( t h ) ? A 0 ? e x p ( i k ( r + s ) ) / r s ? d s ; U(p) = \int\int k(th)*A0*exp(ik(r+s))/rs*ds; U(p)=∫∫k(th)?A0?exp(ik(r+s))/rs?ds;
對于方孔（大小a*b）：
U ( p ) = ∫ ∫ s q r t ( I 0 ) ? s i n ( k p a ) ? s i n ( k p b ) / ( k p a ? k p b ) ; U(p) = \int\int sqrt(I0)*sin(kpa)*sin(kpb)/(kpa*kpb); U(p)=∫∫sqrt(I0)?sin(kpa)?sin(kpb)/(kpa?kpb);

其中I0是中心點輻射；
I 0 = s q r t ( P ? d ) / ( l a m u d a ? R ) ; P 是 入 射 到 孔 上 的 功 率 d 是 孔 徑 R 是 距 離 l a m u d a 是 波 長 I0=sqrt(P*d)/(lamuda*R);P是入射到孔上的功率d是孔徑R是距離lamuda是波長 I0=sqrt(P?d)/(lamuda?R);P是入射到孔上的功率d是孔徑R是距離lamuda是波長
k是波矢
p是余弦之差

這是對于一個不時變的標量系統，如果是一幅影像就是把每一個點到達波陣面的衍射算一下再加起來；也就是卷積 啦，我們認為物體夠遠，到達時候的波陣面都是平面波，讓我們來算一下他的傅里葉卷積核：
H = ( 1 ? f x / f c x ) ? ( 1 ? f y / f c y ) ; H=(1-fx/fcx)*(1-fy/fcy); H=(1?fx/fcx)?(1?fy/fcy);
fcx,fcy分別是xy方向的截止頻率，k是波矢，p是余弦差值，
f c x = D y / l a m u d a ; f c y = D x / l a m u d a ; fcx=Dy/lamuda;fcy=Dx/lamuda; fcx=Dy/lamuda;fcy=Dx/lamuda;
我們仍然用matlab去做它的一個演示：

a=imread('C:\Users\ThinkPad\Desktop\光學仿真2\lj.jpg');  %你自己改圖片地址就行
figure(1),imshow(a,[]);   %figure(1)里面顯示原圖
aa=rgb2gray(a);  %轉成灰度

aaa=fft2(aa);  
d=input('請輸入d');
lamuda=input('請輸入lamuda');
fcy=d/lamuda;
fcx=d/lamuda;
aaaa=zeros(size(aaa));
for i=1:size(aaa,1)
    for j=1:size(aaa,2)
   aaaa(i,j)=aaa(i,j)*(1-i/(fcx*size(aaa,1)))*(1-j/(fcy*size(aaa,2)));%這里除以size是因為fft的頻率是n/N
    end
end
b=ifft2(aaaa);
figure(2),imshow(b,[]);  

(處理前)

處理后（只有當D比lamuda小時候衍射才明顯）（d=1;lamuda=1）

（d=0.1;lamuda=1）

(d=5，lamuda=1)

效果很不錯！！！！！
衍射效應也正是如此，我們瞇著眼睛看一下燈，會有很多的“線”
這些線就是衍射，跟我們圖中的“線”很像，衍射是成功的！
吼吼！！！
落地一個了！

同樣的對于圓孔衍射也有：
U ( p ) = 2 ? J 1 ( k a w ) / ( k a w ) ? s q r t ( I 0 ) ; U(p)=2*J1(kaw)/(kaw)*sqrt(I0); U(p)=2?J1(kaw)/(kaw)?sqrt(I0);
Jn是貝塞爾函式；
它的傅里葉為
H ( f x , f y ) = 2 / p i ? [ a r c o s ( f x / f c ) ? f x / f c ? s q r t ( 1 ? ( f x / f c ) 2 ) ] ; H(fx,fy)=2/pi*[arcos(fx/fc)-fx/fc*sqrt(1-(fx/fc)^2)]; H(fx,fy)=2/pi?[arcos(fx/fc)?fx/fc?sqrt(1?(fx/fc)2)];
給你們個機會！寫個程式仿真一下圓孔衍射！

喝口水，下一篇講解 像差和畸變等其他光學傳遞函式；
光學仿真三千問（講人話）

（第二篇———光學(第一小節)）
完