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湖南大學2020屆ACM新生賽 全部題解

2021-01-04 16:11:29 其他

新生賽過后，熬了4天夜，終于把模型機驗收完了，還有一星期多期末考試，抽空寫個題解，

A Counting 0 and 1 in string
0->1 1->10
1是由0，1轉移過來，0是由1轉移過來，
因此列出狀態轉移的方程即可

#include <iostream>

using namespace std;

long long f0[100], f1[100];
int main()
{
    f0[0] = 1, f1[0] = 1;
    int t;
    cin >> t;

    for (int i = 1; i <= 50; i ++)
    {
        f0[i] = f1[i - 1];
        f1[i] = f0[i - 1] + f1[i - 1];
    }

    while (t --)
    {
        int n;
        cin >> n;
        cout << f0[n - 1] << ' ' << f1[n - 1] <<endl;
    }
    return 0;
}

B Where is the billiard ball going?
考試的時候腦子壞掉了，寫了三百多行的模擬還錯了，

考后思考：小球的最后位置x，y是相互獨立的，因此可以分別處理x的坐標和y的坐標，
小球的移動可看成光線的反射和直射，

例如對于處理x ： 可以先假設臺球桌面是無限大的，因此算出t秒后球的位置，球的位置模上（x - 2r）或是t秒后球在桌面上的位置，或是球相對桌面的鏡面反射，因此只需要判斷球是在原本的位置上，還是在鏡面反射的位置上即可，最后注意邊界情況，如小球恰好停在邊界上，

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;
typedef long long LL;

int main()
{
    LL l, w, r, px, py, vx, vy, t;
    int T;
    cin >> T;
    while (T --)
    {
        cin >> l >> w >> r >> px >> py >> vx >> vy >> t;
        LL len = l - r - r;
        
        px -= r;
        px = px + t * vx;
        int flag = (px >= 0) ? 1 : 0;
        LL res = abs(px) / len;
        px = (px % len + len) % len;
        
        if ((res % 2 == 0 && flag) || (res % 2 == 1 && !flag))
        {
            if (flag || (!flag && px != 0))
                px = px + r;
            else
                px = len + r;
        }
        else
        {
            if (flag || (!flag) && px != 0)
                px = len - px + r;
            else
                px = r;
        }
        
        LL wid = w - r - r;
        py -= r;
        py = py + t * vy;
        flag = (py >= 0) ? 1 : 0;
        res = abs(py) / wid;
        py = (py % wid + wid) % wid;
       if ((res % 2 == 0 && flag) || (res % 2 == 1 && !flag))
        {
            if (flag || (!flag && py != 0))
                py = py + r;
            else
                py = wid + r;
        }
        else
        {
            if (flag || (!flag) && py != 0)
                py = wid - py + r;
            else
                py = r;
        }
        
        cout << px << ' ' << py << endl;
    }
}

另一種思路：對于處理x，球的位置模上2（x - 2 * r），思路同上，但是少了一些邊界情況的判斷，

C Scissors-Paper

簡單的貪心，能出剪刀時就盡量出剪刀，不能出剪刀時就出布，可以證得是最優方案，

#include <iostream>

using namespace std;
string s;
int t;

int main()
{
    cin >> t;
    while (t --)
    {
        int bu = 0, jiandao = 0, ans = 0;
        int n;
        cin >> n >> s;
        for (int i = 0; i < n; i ++)
        {
            if (s[i] == 'P')
            {
                if (jiandao < bu)
                {
                    jiandao ++;
                    ans ++;
                }
                else
                {
                    bu ++;
                }
            }
            else if (s[i] == 'S')
            {
                if (jiandao < bu)
                {
                    jiandao ++;
                }
                else
                {
                    bu ++;
                    ans --;
                }
            }
        }
        cout << ans <<endl;
    }
    return 0;
}

D Treasure cave
如果有一對數（2個）相等，則輸出這個數，
如果有兩對不同的數相等，則不能滿足方案，
如果三個及以上的數相等，不能滿足方案，

#include <iostream>
#include <algorithm>
const int N = 1e5 + 10;
int a[N];

using namespace std;

int main()
{
    int t, x, n;
    cin >> t;
    while (t --)
    {
        int equals = 0, is_success = 1, num = 0;
        cin >> n >> x;
        for (int i = 0; i < n; i ++)
        {
            scanf("%d", &a[i]);
        }
        a[n] = x;
        sort(a, a + n + 1);
        for (int i = 0; i <= n; i ++)
        {
            if ( (i <= n - 1) && a[i] == a[i + 1])
            {
                equals ++;
                num = a[i];
                if (equals >= 2)
                {
                    is_success = 0;
                    break;
                }
            }
            if ((i <= n - 2) && a[i] == a[i + 1] && a[i] == a[i + 2])
            {
                is_success = 0;
                break;
            }
        }
        if (!is_success)
            cout << 0 <<endl;
        else
        {
            if (equals == 1)
                cout << num << endl;
            else
                cout << a[n] <<endl;
        }

    }
    return 0;
}

E Chicken and rabbit in the same cage

思路：搜索
因為k比較小，搜索k，
注意到：the starfish with fewer tentacles has higher value，因此注意搜索時的列舉順序即可，

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;
int t, n, m, k;
bool is_success = 0;
typedef long long LL;
int a[10];
int b[10];

struct spice
{
    int cnt;
    int bianhao;
    bool operator < (spice W)
    {
        return cnt < W.cnt;
    }
};
spice person[100];

void dfs(int step, int sum)
{
    if (is_success)
        return;
    if (step == k)
    {
        a[k] = n - sum;
        long long num = 0;
        for (int i = 1; i <= k; i ++)
            num += (LL)a[i] * person[i].cnt;
        if (num == m)
        {

            for (int i = 1; i <= k; i ++)   b[person[i].bianhao] = a[i];
            for (int i = 1; i <= k; i ++)   cout << b[i] << ' ';
            cout << endl;
            is_success = 1;
        }
        return;
    }

    for (int i = n - sum; i >= 0; i --)
    {
        a[step] = i;
        dfs(step + 1, sum + i);
    }
}

int main()
{
    cin >> t;
    int ss = 0;
    while (t --)
    {
        is_success = 0;
        cin >> n >> m >> k;
        for (int i = 1; i <= k; i ++)
        {
            cin >> person[i].cnt;
            person[i].bianhao = i;
        }
        sort(person + 1, person + k + 1);
        dfs(1, 0);
        if (!is_success)
            cout << -1 << endl;
        else
            ss ++;
    }
    cout << ss;
    return 0;
}

F forest
是這次比賽的防AK題（然而最多的人才做了7道，我好菜呀）

動態規劃法
f[i][j][k] 表示前i棵樹中，能看到j棵樹，且其中最高的樹高為k的需要的最小運算元，本題狀態轉移時從i -> i + 1，比較方便，

f[i + 1][j][max(a[i + 1], k)] = min(f[i][j][k]) （不選擇a[i + 1]）

f[i + 1][j + 1][a[i + 1]] = min(f[i][j][k]) （a[i + 1]大于k時,選擇a[i + 1]）

f[i + 1][j + 1][k + 1] = min(f[i][j][k] + k + 1 - a[i + 1]) （a[i + 1]小于等于k，選擇a[i + 1])

#include <iostream>
#include <map>

using namespace std;
const int N = 110;

typedef long long LL;
map<int, LL> f[N][N];
int a[N];
#define x first
#define y second

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i ++)    cin >> a[i];
    
    
    f[0][0][0] = 0;
    for (int i = 0; i <= n; i ++)
    {
        for (int j = 0; j <= n; j ++)
        {
            for (auto g: f[i][j])
            {
                int x = g.x;
                int y = max(g.x, a[i + 1]);

                if (!f[i + 1][j].count(y))   f[i + 1][j][y] = f[i][j][x];
                else f[i + 1][j][y] = min(f[i + 1][j][y], f[i][j][x]);
                
                if (a[i + 1] > x)
                {
                    if (!f[i + 1][j + 1].count(a[i + 1]))   f[i + 1][j + 1][a[i + 1]] = f[i][j][x];
                    else f[i + 1][j + 1][a[i + 1]] = min(f[i][j][x], f[i + 1][j + 1][a[i + 1]]);
                }
                
                else
                {
                    int k = x + 1;
                    if (!f[i + 1][j + 1].count(k))  f[i + 1][j + 1][k] = f[i][j][x] + k - a[i + 1];
                    else     f[i + 1][j + 1][k] = min(f[i + 1][j + 1][k], f[i][j][x] + k - a[i + 1]);
                }
            }
        }
    }
    
    //  for (int i = 0; i <= n; i ++)
    //      for (int j = 1; j <= n; j ++)
    //      {
    //          for (auto x: f[i][j])
    //              printf("--i%d--j%d--k%d--val%lld\n", i, j, x.first, x.second);
    //      }
     //   cout << f[1][1][0];
    
        for (int j = 1; j <= n; j ++)
        {
            LL res = 1e18;
            for (auto x: f[n][j])
            {
                res = min(res, x.second);
            }
            cout << res << ' ' ;
        }
}

貪心法
期末考試后補
出題人rain_w ：還可以用并查集+線段樹優化，使n可以到1e6，

G Lucky numbers

搜索，for回圈皆可

#include <iostream>

using namespace std;
int book[10];
int a[10];

void dfs(int step)
{
    if (step == 10)
    {

            int num1 = 100 * a[1] + 10 * a[2] + a[3];
            int num2 = 100 * a[4] + 10 * a[5] + a[6];
            int num3 = 100 * a[7] + 10 * a[8] + a[9];
            if (num1 + num2 + num3 == 999 && num1 < num2 && num2 < num3)
            {
                cout << num1 << ' ' <<num2 << ' ' <<num3 <<endl;
            }
        return;
    }
    for (int i = 1; i <= 9; i ++)
    {
        if (!book[i])
        {
            book[i] = 1;
            a[step] = i;
            dfs(step + 1);
            book[i] = 0;
        }
    }
}

int main()
{
    dfs(1);
    return 0;
}

H Maximum subsegment product
簡單的DP
f[i] 表示從1到i最大的乘積值
狀態轉移：f[i] = max(f[i], f[i - 1] * f[i]);

#include <iostream>

using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
double f[N];

double maxn = 0;

int main()
{
    f[0] = 1;
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        cin >> f[i];
    }

    for (int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        f[i] = max(f[i], f[i - 1] * f[i]);
        maxn = max(f[i], maxn);
    }

    printf("%.2lf", maxn);
    return 0;
}

I How many sequences?

組合數問題，
m為序列長度，n為不超過的數
答案為C（m, m + n + 1）
比如說m=5，n=4
則序列44444 則表示(0, 1) -> (0, 4) -> (5, 4)
序列11111表示(0, 1)->(5, 1)->(5,4)
序列12344表示(0, 1)->(1, 1)->(1, 2)->(2, 2)->(2, 3)->(3, 3)->(3,4)->(4, 4)->(5,4)

求組合數通過求階乘逆元/盧卡斯定理（之前博客不同范圍求組合數）

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;
int n;
const int N = 2e6 + 10;
int fact[N]; //n的階乘
int infact[N]; //n的階乘的逆元
int MOD = 1e9 + 7;
typedef long long LL;

int qumi(int p, int k, int m) //快速冪
{
    int res = 1;
    while (k)
    {
        if (k & 1)  res = (LL)res * p % m;
        p = (LL)p * p % m;
        k >>= 1;
    }
    return res;
}

int main()
{
    fact[0] = infact[0] = 1; 
    cin >> n;
    for (int i = 1; i < N; i ++)
    {
        fact[i] = (LL)fact[i - 1] * i % MOD;
        infact[i] = (LL)infact[i - 1] * qumi(i, MOD - 2, MOD) % MOD;  // (a * b)^-1 和 (a ^ -1) * (b ^ -1) 同余 
    }
    
    while (n --)
    {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        a = a + b - 1;
        cout << (LL)fact[a] * infact[b] % MOD * infact[a - b] % MOD <<endl;
    }
}

J Sakuyalove Loves Math

我不知道pell方程，是打表找規律做的，發現數不是完全平方數就滿足規律，

#include <iostream>
#include <cmath>

using namespace std;

int main()
{
    int T;
    cin >> T;
    while (T --)
    {
        int n;
        cin >> n;
        int ss = sqrt(n);
        if (ss * ss == n)
            cout << "no" <<endl;
        else
            cout << "yes" <<endl;
    }
    return 0;
}

K Sakuyalove Loves Games
出題人Sakuyalove：子彈的下降，相當于人的上升，因此只要人往左上，上，右上走不遇到子彈并且能走到頂部，就輸出yes，

我的暴力做法：陣列blt保存子彈的坐標，用陣列st記錄人的橫向的坐標和當前所在時間，人每次走時，只要判斷每個子彈是否落在人的身上決定能否走，當經過時間大于地圖的縱向長度（n），就輸出yes，
顯然暴力做法復雜度大，每次操作需要判斷每個子彈能否落在人身上，

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;
const int N = 110;
typedef pair<int, int> PII;
PII blt[N * N];   //子彈
int cnt;
char g[N][N];     
int st[N][N];   // y坐標和t時間
int n, m;
PII person;      //人的位置
#define x first
#define y second
PII q[N * N];
int tt, hh;

int dy[3] = {-1, 0, 1};
bool judge(int y, int t)
{
    if (y <= 0 || y > m)    return true;
    if (st[y][t])    return true;
    int x = person.x;
    for (int i = 0; i < cnt; i ++)
    {
        if (t == x - blt[i].x && blt[i].y == y)
           return true;
    }
    return false;
}

int main()
{
    int T;
    cin >> T;
    while (T --)
    {
        memset(st, 0, sizeof st);
        cnt = 0;
        bool is_success = 0;
        cin >> n >> m;
        for (int i = 1; i <= n; i ++)
            for (int j = 1; j <= m; j ++)
            {
                cin >> g[i][j];
                if (g[i][j] == 'S')
                {
                    person.x = i, person.y = j;
                    // cout << "!!!";
                }
                else if (g[i][j] == 'O')
                    blt[cnt ++] = {i, j};
            }
        
        // printf("---%d--%d\n", person.x, person.y);
        hh = tt = 0;
        st[person.y][0] = 1;
        q[0] = {person.y, 0};
        while (hh <= tt)
        {
            auto p = q[hh ++];
            int t = p.y;
            if (t >= n)
            {
                is_success = 1;
                cout << "yes" << endl;
                break;
            }
            int y = p.x;
            
            for (int i = 0; i < 3; i ++)
            {
                int ey = y + dy[i];
                int et = t + 1;
                if (judge(ey, et)) continue;
                q[++ tt] = {ey, et};
                st[ey][et] = 1;
            }
        }
        if (!is_success)
        {
            cout << "no" << endl;
        }
    }
}

L Sakuyalove Loves Circles

對于四個點x1, y1, x2, y2, x3, y3, x4, y4
可以分別求出x1, y1, x2, y2, x3, y3三個點中垂線的交點（X0, Y0）
x1, y1, x2, y2, x4, y3三個點中垂線的交點(X1, Y1)
（首先要判斷不存在交點的情況，即兩條直線平行）

如果交點重合，則在一個圓上，否則不在
需要先手寫推出交點的坐標，然后代入公式即可

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cmath>

using namespace std;

const double eps = 1e-8;

double X0, Y0, X1, Y1;

double fun1(double x1, double y1, double x2, double y2, double x3, double y3, bool & p)
{
    double m = (x3 - x1) * (y2 - y1) - (x2 - x1)*(y3 - y1);
    if (fabs(m) < eps)
    {
        p = 0;
        return -1;
    }
    return ((y3 - y2) * (y3 - y1) * (y2 - y1) + (x3 - x1) * (x3 + x1) * (y2 - y1) - (x2 - x1) * (x2 + x1) * (y3 - y1)) / 2 / m;
}

double fun2(double x1, double y1, double x2, double y2, double x3, double y3, double X)
{
    if (fabs(y2 - y1) < eps)
        return - (x3 - x1) * (X - (x1 + x3) / 2) / (y3 - y1) + (y1 + y3) / 2;
    return - (x2 - x1) * (X - (x1 + x2) / 2) / (y2 - y1) + (y1 + y2) / 2;
}

int main()
{
    double x1, y1, x2, y2, x3, y3, x4, y4;
    int T;
    cin >> T;
    
    while (T --)
    {
        bool is_success = 1;
        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2 >> x3 >> y3 >> x4 >> y4;
        
        X0 = fun1(x1, y1, x2, y2, x3, y3, is_success);
        X1 = fun1(x1, y1, x2, y2, x4, y4, is_success);
        
        if (is_success)
        {
            Y0 = fun2(x1, y1, x2, y2, x3, y3, X0);
            Y1 = fun2(x1, y1, x2, y2, x4, y4, X1);
        }
        
        if (is_success == 1 && fabs(X0 - X1) < eps && fabs(Y0 - Y1) < eps)
            cout << "yes" << endl;
        else
            cout << "no" << endl;
    }
}

隊友思路：
注意是凹四邊形時的情況
在這里插入圖片描述

在這里插入圖片描述
根據定理，判斷B,C在AD的同側還是異側，然后使用余弦定理，同側則cosABD,cosACD相等，否則相反

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const double eps=1e-10;
typedef pair<double,double> PII;
#define x first
#define y second
double len(PII p)
{
    double res=sqrt(p.x*p.x+p.y*p.y);
    //printf("%.2lf\n",res);
    return res;
}

double len2(PII p)
{
     double res=(p.x*p.x+p.y*p.y);
    //printf("%.2lf\n",res);
    return res;
}
double cha(PII p1,PII p2)
{
    double res=p1.x*p2.y-p1.y*p2.x;
    //printf("%2.lf\n",res);
    return res;
}
int main()
{
    int t;cin>>t;
    while(t--)
    {
        PII A,B,C,D;
        cin>>A.x>>A.y;
        cin>>B.x>>B.y;
        cin>>C.x>>C.y;
        cin>>D.x>>D.y;
        PII BA,BD,CA,CD, AD;
        BA.x=A.x-B.x;BA.y=A.y-B.y;
        BD.x=D.x-B.x;BD.y=D.y-B.y;
        CA.x=A.x-C.x;CA.y=A.y-C.y;
        CD.x=D.x-C.x;CD.y=D.y-C.y;
        AD.x=D.x-A.x;AD.y=D.y-A.y;
        /*if(cha(BA,BD)<eps||cha(CA,CD)<eps)
        {
            puts("no");
            continue;
        }*/
        double s1=(len2(CD) + len2(CA) - len2(AD)) /  2/ len(CD) / len(CA);
        
        double s2=(len2(BD) + len2(BA) - len2(AD)) /  2/ len(BD) / len(BA);
        //printf("%.2lf\n%.2lf\n",o1,o2);
        if(cha(BA,BD)*cha(CA,CD)>0&&fabs(s1-s2)<eps)
            puts("yes");
        else if(cha(BA,BD)*cha(CA,CD)<0&&fabs(s1+s2)<eps)
            puts("yes");
        else puts("no");
    }
    return 0;
}

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