因為我上課沒好好聽

什么是浮點數

浮點數，是與定點數相對的概念，指小數點位置約定在固定位置的數，

浮點數的存盤標準：IEEE754

浮點數在計算機中以遵循IEEE754浮點數計數標準的方式存盤，

IEEE 754規定了四種表示浮點數值的方式：單精確度（32位）、雙精確度（64位）、延伸單精確度（43位元以上，很少使用）與延伸雙精確度（79位元以上，通常以80位實作），

浮點數的數學表示：Sign,Exponent和Significand

X = ( ? 1 ) S × M × R E X=(-1)^{S}\times M\times R^{E} X=(?1)S×M×RE

S，Sign：符號位，決定該浮點數的正負
M，Mantissa/Significand：尾數，取值為[1,2)的二進制小數，
R，Radix base：基數，對浮點數加權，權重為2的E次冪，
E，Exponent：階/指數，二進制定點（無符號）整數，

考試的時候問你尾數是什么，你要回答小數點后那部分

在基數R一定的情況下:
尾數M的位數反映數X的有效位數，它決定了數的表示精度，有效位數越多，表示精度越高，
階E的位數決定數X的表示范圍，值確定了小數點的位置，

M位數越多，X越精確，
E越大，X越大

浮點數的資料型別：float與double

IEEE754規定浮點數有單精確度、雙精確度、延伸單精確度與延伸雙精確度四種型別，但是本文只對單精確度float與雙精確度double型別作分析學習，

在科學計數法中指數是可以取負數的，所以IEEE754規定計算機存盤浮點數時，階E需要在真實值基礎上再減去一個偏移值bias，即127(for float)或1023(for double)

M的取值為[1,2)，即M可寫為1.xxxx的形式，xxxx越長浮點數越精確，

規格化尾數M的小數點后第一位總是1，故規定第一位默認的1被省略，由此用23個數表示24位尾數，

浮點數的數值范圍

絕對值范圍為：
2 ? ( 2 e ? 1 ) × 2 ? m ≤ ∣ X ∣ ≤ ( 1 ? 2 ? m ) × 2 ( 2 m ? 1 ) 2^{-(2^{e}-1)} \times 2^{-m} \leq \left | X \right |\leq (1-2^{-m}) \times 2^{(2^{m}-1)} 2?(2e?1)×2?m≤∣X∣≤(1?2?m)×2(2m?1)
其中e和m分別表示階數與尾數的位數

float的取值范圍

在32位浮點數中，符號位占1位，尾數占23位，階數占8位，
不考慮階數全為0或全為1的情況下，8位二進制數取值范圍即[1,254]減去其偏移量127，得到階數的規格化范圍為 [-126,127]，

在正常情況下，階數不包括全為0或全為1的情況
實際的指數值 -127（保存為全0）以及 +128（保存為全 1）保留用作特殊值（見下文）

正數最小值為

1.00...0 × 2 00...1 = 1 × 2 ? 126 = 2 ? 126 1.00...0 \times 2^{00...1}=1 \times 2^{-126}=2^{-126} 1.00...0×200...1=1×2?126=2?126

正數最大值為

1.11...1 × 2 11111110 = ( 2 ? 2 ? 23 ) × 2 127 ≈ 3.4028234664 × 1 0 38 1.11...1 \times 2^{11111110}=(2-2^{-23}) \times 2^{127} \approx 3.4028234664 \times 10^{38} 1.11...1×211111110=(2?2?23)×2127≈3.4028234664×1038

于是對于正浮點數有：
1.0 × 2 ? 126 ≈ 1.1755 × 1 0 ? 38 ≤ F l o a t N u m ≤ ( 2 ? 2 ? 23 ) × 2 127 ≈ 3.4028 × 1 0 38 1.0 \times 2^{-126} \approx 1.1755 \times 10^{-38} \leq FloatNum \leq (2-2^{-23}) \times 2^{127} \approx 3.4028 \times 10^{38} 1.0×2?126≈1.1755×10?38≤FloatNum≤(2?2?23)×2127≈3.4028×1038

同理對于負浮點數有
? ( 2 ? 2 ? 23 ) × 2 127 ≈ ? 3.4028 × 1 0 38 ≤ F l o a t N u m ≤ ? 1.0 × 2 ? 126 ≈ ? 1.1755 × 1 0 ? 38 ≈ 3.4028 × 1 0 ? 38 -(2-2^{-23}) \times 2^{127} \approx -3.4028 \times 10^{38} \leq FloatNum \leq -1.0 \times 2^{-126} \approx -1.1755 \times 10^{-38} \approx 3.4028 \times 10^{-38} ?(2?2?23)×2127≈?3.4028×1038≤FloatNum≤?1.0×2?126≈?1.1755×10?38≈3.4028×10?38

double的取值范圍

在64位浮點數中，符號位占1位，尾數占52位，階數占11位，
不考慮階數全為0或全為1的情況下，11位二進制數取值范圍即[1,2046]減去其偏移量1023，得到階數的規格化范圍為 [-1022,1023]，

實際的指數值 -1023（保存為全0）以及 +1024（保存為全 1）保留用作特殊值

正數最小值為

1.00...0 × 2 00...1 = 1 × 2 ? 1022 = 2 ? 1022 1.00...0 \times 2^{00...1}=1 \times 2^{-1022}=2^{-1022} 1.00...0×200...1=1×2?1022=2?1022

正數最大值為

1.11...1 × 2 11...10 = ( 2 ? 2 ? 52 ) × 2 1023 ≈ 1.7976931348623157 × 1 0 308 1.11...1 \times 2^{11...10}=(2-2^{-52}) \times 2^{1023} \approx 1.7976931348623157 \times 10^{308} 1.11...1×211...10=(2?2?52)×21023≈1.7976931348623157×10308

于是對于正浮點數有：
1.0 × 2 ? 1022 ≈ 2.2251 × 1 0 ? 308 ≤ D o u b l e N u m ≤ ( 2 ? 2 ? 52 ) × 2 1023 ≈ 1.7977 × 1 0 308 1.0 \times 2^{-1022} \approx 2.2251 \times 10^{-308} \leq DoubleNum \leq (2-2^{-52}) \times 2^{1023} \approx 1.7977 \times 10^{308} 1.0×2?1022≈2.2251×10?308≤DoubleNum≤(2?2?52)×21023≈1.7977×10308

同理對于負浮點數有
? ( 2 ? 2 ? 52 ) × 2 1023 ≈ ? 1.7977 × 1 0 308 ≤ D o u b l e N u m ≤ ? 1.0 × 2 ? 1022 ≈ ? 2.2251 × 1 0 ? 308 -(2-2^{-52}) \times 2^{1023} \approx -1.7977 \times 10^{308} \leq DoubleNum \leq -1.0 \times 2^{-1022} \approx -2.2251 \times 10^{-308} ?(2?2?52)×21023≈?1.7977×10308≤DoubleNum≤?1.0×2?1022≈?2.2251×10?308

浮點數的特殊取值

Single-precision floating-point format:
https://en.wikipedia.org/wiki/Single-precision_floating-point_format
Double-precision floating-point format:
https://en.wikipedia.org/wiki/Double-precision_floating-point_format

這里貼一個小工具，在IEEE754的標準下手動控制輸入Sign,Exponent和Mantissa的值，輸出對應的十進制值，二進制值，十六進制值，非常簡單直觀
https://www.h-schmidt.net/FloatConverter/IEEE754.html

常見浮點數特殊值取值如下表

更多特殊值見上floating-point format from Wikipedia

浮點數與其他數制的轉換

將十進制數-0.75轉換為IEEE754的單精度浮點數格式表示
(-0.75) ₁₀ = (-0.11) ₂ = (-1.1) ₂ × 2^-1 = (-1)^s × 1.f × 2^e-127
s = 1，f = 0.100…0，e = (127-1) ₁₀ = ( 01111 1110 ) ₂ ，表示為單精度浮點數格式為 1 0111 1110 1000 0000…0000 000，用十六進制表示為BF40 0000H

求IEEE754單精度浮點數C0A0 0000H的值是多少
將C0A0 0000H展開為一個32位單精度浮點數：1 10000001 010 0000…0000.
s = 1，f = (0.01) ₂ = (0.25) ₁₀ ，階碼e = (10000001) ₂ = (129)₁₀
所以其值為( -1 )^s × 1.f × 2^e-127 = （-1）¹ × 1.25 × 2^129-127 = -1.25 × 2² = -5.0

浮點數運算

五種例外情況

1.無效運算（無意義）

-運算時有一個數是非有限數，如：
加/減 ∞，0 × ∞，∞ / ∞等

-結果無效，如：
源運算元是NaN、0 / 0、x REM 0、∞ REM y等

2.除以0
結果即無限大

3.階上溢
對于float，指階碼exponent > 1111 1110，即大于127

4.階下溢
對于float，指階碼exponent < 0000 0001，即小于-126

5.結果不精確
舍入時引起的例外，如1/3、1/10等不能精確表示為浮點數

浮點數加法

設X_m、Y_m分別是X和Y的尾數，X_e、Y_e分別是X和Y的階碼

1.對階

對階的目的是使兩數階碼相等

小階向大階看齊，階碼小的數的尾數向右移，右移位數等于兩個階碼差的絕對值Δ_e = Y_e - X_e，

IEEE754尾數右移時，要將隱藏的“1”移到小數部分，高位補0，移出的低位保留到特定的“附加位”上

2.尾數加減

X_m × 2^(X_e-Y_e) ± Y_m

3.尾數規格化

當尾數高位為0，則需左規：尾數左移一次，階碼減一，直到MSB（階碼最高位）為1

每次階碼減一后要判斷階碼是否下溢，階碼下溢則結果為0

當尾數最高位有進位，則需右規：尾數右移一次，階碼加一，直到MSB為1

每次階碼加一后要判斷階碼是否上溢，階碼上溢則結果溢位

右規最多只需要一次，因為即使是最大的兩個尾數相加(1.11…1+1.11…1)，其結果也不會達到4，故尾數的整數部分最多有2位，保留一個隱含的"1"后，最多只有一位被右移到小數部分

4.舍入

如果尾數比規定數位長（有附加位），則需考慮舍入（舍入的方式有多種）
沒寫完，等我考完試

5.校驗

若運算結果尾數為0，則說明結果為0，即階碼和尾數均應為0，需要將階碼也置0.

用二進制浮點數形式計算0.5 +（-0.4375）的值
(0.5)₁₀ = 1.000 × 2^-1（大階），(-0.4375) = -1.110 × 2^-2（小階）
對階： -1.110 × 2^-2 → 0.111 × 2^-1
加減： 1.000 × 2^-1 + (-0.111 × 2^-1) = 0.001 × 2^-1
左規： 0.001 × 2^-1 → 1.000 × 2^-4
判斷溢位：否
所以結果為1.000 × 2^-4 = 0.0001000 = 1/16 = 0.0625