目錄
- 一、線性回歸
- 二、梯度下降法的數學原理
- 三、梯度下降法優化
- 四、Python實作
一、線性回歸
??關于線性回歸的詳細介紹可以參見我的上一篇博文《線性回歸：最小二乘法實作》，在《線性回歸：最小二乘法實作》中我已經說明了線性回歸模型建立的關鍵在于求解：
\[(w^*, b^*)=\arg\min\sum^{m}_{i=1}{{(f(x_i)-y_i)^2}} \]??這里再介紹另一種求解演算法：梯度下降法，
二、梯度下降法的數學原理
??假設有以下問題：
\[w=\arg\min f(w) \]??通過泰勒一階展開則有：
\[f(w)=f(w_0)+(w-w_0)?f(w_0) \]??圖示如下：
??這里的\(w-w_0\)表示了移動的步長和方向，那么可以有\(w-w_0=\eta\gamma\)，\(\eta\)為實數，表示移動的步長，\(\gamma\)為一個單位向量，表示步長移動的方向，\(f(w_0)+(w-w_0)?f(w_0)\)則是\(f(w)\)在\(w\)處的鄰近估計，此處要求\(\eta\)較小，否則將導致估計的精確度降低，
??梯度下降演算法的目的是讓優化函式\(f(w)\)盡快到達全域最小值，所以便有了第一個條件：
??由于\(\eta\)是一個大于0的常數，所以可以暫不考慮，那么就需要滿足\(\eta\gamma?f(w_0)≤0\)并且盡可能小，又有：
\[\gamma?f(w_0)=|\gamma||?f(w_0)|\cos \alpha \]所以想要使\(\eta\gamma?f(w_0)≤0\)并且盡可能小則需要滿足條件：
\[condition2:\cos \alpha=-1 \]??換句話說，也就是要求單位向量\(\gamma\)和\(?f(w_0)\)方向完全相反，所以便可以得到以下結論：
\[condition3:\gamma=\frac{-?f(w_0)}{|?f(w_0)|} \]??將\(condition3\)帶入\(w-w_0=\eta\gamma\)，則有：
\[condition4:w-w_0=\eta\frac{-?f(w_0)}{|?f(w_0)|} \]??由于\(\eta\)和\(|?f(w_0)|\)都是大于0的實數，所以可以合并為新的\(\eta^*=\frac{\eta}{|?f(w_0)|}\)，再對等式進行移項便可以得到：
\[condition5:w=w_0-\eta?f(w_0) \]??\(condition5\)便是梯度下降演算法中\(f(w)\)的引數\(w\)的更新公式，同時這也解釋了為什么需要以梯度的反方向來更新權重，
三、梯度下降法優化
??下面就用梯度下降演算法來對線性回歸模型進行優化，這里將線性回歸模型的代價函式E寫為如下形式（方便運算）：
\[E=\frac{1}{2m}\sum^{m}_{i=1}{(f(x_i)-y_i)^2} \]對其求導：
\[\frac{\partial E}{\partial w}=\frac{1}{m}\sum^{m}_{i=1}{(wx_i-y_i)\frac{\partial (wx_i-y_i)}{\partial w}}=\frac{1}{m}\sum^{m}_{i=1}{(wx_i-y_i)x_i} \]??由前面的\(condition5\)可以得到權重的更新公式：\(w^*=w+\Delta w\)，此處的\(\Delta w=-\eta?f(w_0)\)，所以最終可以得到權重的更新公式為：
\[w^*=w+\frac{\eta}{m}\sum^{m}_{i=1}{(y_i-wx_i)x_i} \]四、Python實作
??由之前推匯出的更新公式可以實作出以下擬合演算法：
def _gradient_descent(self, X, y):
for i in range(max_iter):
delta = y - self._linear_func(X)
self.W[0] += self.eta * sum(delta) / X.shape[0] # 第一列全部為1
self.W[1:] += self.eta * (delta @ X) / X.shape[0]
??匯入波士頓資料集進行測驗：
if __name__ == "__main__":
from sklearn import datasets
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.preprocessing import MinMaxScaler
boston = datasets.load_boston()
X = boston.data
y = boston.target
scaler = MinMaxScaler().fit(X)
X = scaler.transform(X)
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, train_size=0.7, test_size=0.3)
lr = LinearRegression().fit(X_train, y_train)
y_pred = lr.predict(X_test)
from sklearn.metrics import mean_squared_error
print(mean_squared_error(y_test, y_pred))
plt.figure()
plt.plot(range(len(y_test)), y_test)
plt.plot(range(len(y_pred)), y_pred)
plt.legend(["test", "pred"])
plt.show()
均方誤差：
代價曲線：
擬合曲線：
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