毀滅吧,傅里葉分析
- 一,求求了,老師,課本,放過我
- 二,開場白
- 三,微信運動帶你學頻域
- 四,傅里葉級數?無限套娃
- 五,所以,這就是頻域
- 正弦波
- 坐標系
一,求求了,老師,課本,放過我
首先我不得不說,傅里葉分析是老折磨王了🙂
- 傅里葉分析不過是一種數學的工具,使用它用以解決一系列實際問題.
- 然而,老師,你在干什么?課本,你在干什么?傅里葉變換?傅里葉級數?能用來干什么?
- 不得不說,把知識和現實分離是某些老師和課本的"必修課"[狗頭]
-
oh!shit
不會真的有人喜歡學這種傅里葉吧… - 這么有趣的東西,搞成這么個鬼玩意兒,實在是令人深惡痛絕.
- 然而,傅里葉變換實際上非常的有趣,它甚至可以顛覆一個人的思維模式,他廣泛的應用于各個領域…
- let’go ahead!
二,開場白
開始正文之前還是要在定下一個基調:學習從來不像看電視,玩游戲那么簡單,即使我講的十分有趣[ahhahahahahaha].請讀者保持一點耐心,慢慢的讀,相信能解決你心中一直存留的疑問,起碼比你看書要輕松得多.
三,微信運動帶你學頻域
- 我們的世界以時間為線,串聯起來.
- 你的身高體重,朋友圈子,發量都會隨著時間發生變化
- 似乎世界是永遠不停的在運動,但從某種意義上來說,世界,是靜止的.(當然運動是絕對的,靜止是相對的,別xxxxxx)
我是一個喜歡運動的人,在構思這篇文章的時候,我一直在想能用什么樣的比喻能夠清晰的表達頻域和時域之間的關系,然后,我想到了微信運動.
這是我最近的微信運動資料
4.2號的跑步資料
在跑步計數軟體中,隨著你不斷地跑,地圖上的路徑會隨著時間不斷地延申,這就是你在時域中的表現.
當我把微信運動里面的資料用離散的圖將我們的資料表現出來,我們可以更直觀的發現,每一天的跑的步不過就是一個數就能表示
-
所以其實,上面那個有路徑的圖便是你在時域中運動表示
-
而步數記錄,就是你在頻域中的路徑表示
-
每一天你都會隨著時間的推移,產生不同的路徑(時域),但是在微信運動中,只有那永恒不變的步數(頻域).
-
在數學上并不是很恰當,但是表示的意義十分貼切
-
那么貫穿時域和頻域的分析方法,就是傅里葉分析,傅里葉分析包含了傅里葉級數和傅里葉變換,我們慢慢道來
四,傅里葉級數?無限套娃
一說到級數,很多小伙伴估計又要頭大了.我們還上圖.
我先問問,如果我說我可以用不同的正弦函式疊加出一個矩形函式,你覺得可能嗎?
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f(x)=(8 sin(x))/(π)
-
f(x)=(8 sin(x))/(π)+(8 sin(3 x))/(3 π)
是不是已經有一點矩形的樣子了? -
f(x)=(8 sin(x))/(π)+(8 sin(3 x))/(3 π)+(8 sin(5 x))/(5 π)
-
f(x)=(8 sin(x))/(π)+(8 sin(3 x))/(3 π)+(8 sin(5 x))/(5 π)+(8 sin(7 x))/(7 π)
-
已經很像矩形了吧.不管你信不信,事實就是可以疊加出矩形,只要正弦波函式足夠多.
-
你問我要多少?那肯定是無窮多個,上帝創造出了這么好的工具給你用,已經很不錯了,你還想洞穿上帝的引數???[狗頭]{實際上對應了無窮級數}
五,所以,這就是頻域
正弦波
我們先回想一下,正弦波的定義.如果你想不出來,就看這
其實,正弦波就是一條線段在做圓周運動時,對X的投影.
或者像這樣(實在是太美了)
坐標系
頻域和時域,我們都是用坐標軸構成的坐標系表示的.
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我們不要太嚴謹的去構建一下
-
在時域中,我們首先有0,有了最小的量(假如為1),然后才能去表示各種各樣的函式
-
那么在頻域中,我們用傅里葉級數中頻率最小的作為我們1,頻率為零我們作為0,于是
實際上,頻率為0的也就是我們熟知的直流分量,它只影響全部的波形相對于數軸整體向上或是向下移動. -
上圖也就表示了矩形波在頻域和時域中的影像.
-
這一張圖,完美的展示了傅里葉級數在時域中的表示,在頻域中的表示,以及對應的轉換關系,或許,你的教材上,就缺了這么一張圖.
前方高能!!!
摘自知乎Heinrich大佬的一點兒雞湯:
世界上每一個看似混亂的景象
實際都是一條時間軸上不規則的曲線,
但實際上這些曲線都是由這些無窮無盡的正弦波組成.
我們看似不規律的事情反而是規律的正弦波時域上的投影,
而正弦波又是一個個旋轉的園在直線上的投影.
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