提要鉤玄：本文主要介紹佇列的結構、基本原理及操作，涉及到兩種實作：順序佇列和鏈佇列，

1. 什么是佇列？

先舉一個日常例子，排隊買飯，

大家按先來后到的順序，在視窗前排隊買飯，先到先得，買完之后走開，輪到下一位買，新來的人排在隊尾，不能插隊，

可見，上面的“隊”的特點是只允許從一端進入，從另一端離開，

這樣的一個隊，放在資料結構中就是“佇列”，

首先，佇列是一個線性表，所以它具有線性表的基本特點，

其次，佇列是一個受限的線性表，受限之處為：只允許從一端進入佇列，從另一端離開，

根據以上特點，可以畫出示意圖：

出隊元素 1，入隊元素 4 之后：

下面是幾個相關名詞：

• 入隊：進入佇列，即向佇列中插入元素
• 出隊：離開佇列，即從佇列中洗掉元素
• 隊頭：允許出隊（洗掉）的一端
• 隊尾：允許入隊（插入）的一端
• 隊頭元素：佇列中最先入堆疊的元素
• 隊尾元素：佇列中最后入堆疊的元素

我們可以直接將隊頭元素看作隊頭，隊尾元素看作隊尾，（這些名詞概念，有所理解即可，不必細究）

佇列的重要特性是在隊尾進行入隊操作，在隊頭進行出隊操作，所以上圖元素的入隊順序為：1、2、3，出隊順序為：1、2、3，也即，先入隊的先出隊（First In First Out, FIFO），后入隊的后出隊（Last In Last Out, LILO）.

總結一下，佇列是一種只允許在一端進行插入操作，在另一端進行洗掉操作的先入先出的受限的線性表，

2. 佇列的實作思路

和堆疊一樣，佇列也可以有兩種實作方式：陣列實作的順序佇列和鏈表實作的鏈佇列，

2.1. 陣列實作——順序佇列

一個用陣列實作的順序佇列如下圖所示：

可以看到，要實作一個順序佇列，我們需要以下結構：

• 存盤資料的陣列 —— data[]
• 表示佇列的最大容量的值 —— MAXSIZE
• 標識隊頭端的隊頭下標 —— front
• 標識隊尾端的隊尾下標 —— rear

front 和 rear 會隨著入隊和出隊操作而變化，為了方便起見，我們規定在非空佇列中，隊尾下標是隊尾元素的下一個元素的下標，

了解了結構之后，我們可以很容易使用 C 語言的結構體實作它：

#define MAXSIZE 5 //順序佇列的最大存盤容量
/*順序佇列的結構體*/
typedef struct {
    int data[MAXSIZE];
    int front; //隊頭下標
    int rear; //隊尾下標
} QueueArray;

2.2. 鏈表實作——鏈佇列

我們使用帶頭節點的單鏈表來實作佇列，如下圖所示：

可以看到，要實作一個鏈佇列，需要以下結構：

• 單鏈表的基本單元結點 —— QueueNode
  • 存盤資料的資料域 —— data
  • 指向下一個結點的指標域 —— next
• 指向鏈表的頭指標 —— head
• 標識隊頭端的隊頭指標 —— front
• 標識隊尾端的隊尾指標 —— rear

其中，頭指標 head 和隊頭指標 front 都指向了單鏈表的第一個結點，所以這個指標可以合二為一，隊頭指標即頭指標，

如此一來，我們可以借助鏈表的尾插法實作佇列的入隊操作，借助鏈表的頭刪法實作佇列的出隊操作，

搞清了結構，用結構體實作如下：

/*單鏈表的結點的結構體*/
typedef struct QueueNode {
    int data; //資料域
    struct QueueNode *next; //指標域
} QueueNode;

/*鏈佇列的結構體*/
typedef struct {
    QueueNode *front; //隊頭指標
    QueueNode *rear; //隊尾指標
} QueueLink;

3. 佇列的狀態

3.1. 順序佇列（問題版）

【空佇列】：空佇列中沒有元素，此時，隊頭下標和隊尾下標均為 0，即front = rear = 0：

【非空非滿佇列】：佇列不是空佇列且有剩余空間：

【滿佇列】：順序佇列分配的固定空間用盡，沒有多余空間，不能再插入元素，此時 front = 0，rear = MAXSIZE：

從上圖中可以看出，非空佇列的隊尾下標 rear 始終是隊尾元素的下一個元素的下標，

3.2. 假滿佇列

以上是用陣列實作的順序佇列的三種狀態，但上圖中三種佇列是存在問題的，那就是佇列的存盤問題！

先再次明確佇列的兩條重要特性：

• 佇列只允許在隊頭洗掉元素，在隊尾插入元素
• 我們規定：front 是隊頭元素的下標，rear 是隊尾元素的下標，二者會隨著出隊和入隊操作而變化

由于上面的三幅圖中 front 都在下標 0 處，所以不容易看出問題，請看下面的程序圖：

簡單用文字描述以下上述程序：

圖1：空佇列

圖2：進隊 3 個元素：1、2、3

圖3：出隊 2 個元素：1、2

圖4：入隊 2 個元素：4、5

到此為止，一切正常，

圖5：入隊 1 個元素，但在圖4中 rear = 5已經超出陣列的最大范圍，所以圖5入隊一個元素會報錯，這個佇列不能再插入元素了，

圖5的佇列滿了嗎？沒滿！能繼續插入元素嗎？不能！有剩余空間卻不能用，這就好比有空房的酒店不讓客戶入住，這叫不會做生意，

滿佇列的是空間用盡，不能再插入元素的佇列，雖然圖5的佇列也不能繼續插入元素了，但它還有剩余空間，所以這樣的佇列還不能稱之為滿佇列，可稱之為假滿佇列，

之所以假滿佇列存在問題，是因為順序佇列的空間是有限的，通過若干入隊操作之后，我們的 rear “跑”到陣列外從而導致越界了，

明明才存盤了一個元素，卻因為假滿，整個佇列不能再存盤了，這樣的佇列肯定不是合格的資料結構，

怎么解決呢？報錯是 rear 越界導致，而佇列的前大部分都是空閑的，所以當 rear 越界時，我們可不可以將其移動到下標 0 處呢？

顯然是可以的，這樣就構成了一個“回圈”，我們稱這種 front 和 rear可以回圈利用的佇列為回圈佇列，

3.3. 回圈佇列

為了突出“回圈”二字，我們將這種順序佇列畫成一個圓：

回圈佇列的 rear 和 front 能夠在佇列中一圈一圈地轉，像鐘表的時針和分針一樣，不會再出現不能利用的空間了，

順序佇列的形式從“直的”變成這種可回圈的之后，對于狀態的判斷也改變了，

【空佇列】：佇列中沒有元素，如上圖，

請注意，空佇列的條件并不是 front = rear = 0，比如一個空佇列經過 3 次入隊和 3 次出隊操作后仍為空佇列：

所以，回圈佇列為空佇列時，條件應該為 front = rear

【滿佇列】：佇列中沒有空閑空間

上圖是一個最大容量為 8 的空佇列，入隊 7 個元素后，佇列中還剩 1 個空閑位置，如果此時我們再入隊 1 個元素：

此時佇列中確實沒有空閑空間了，但注意，此時佇列滿足了 rear = front ，但滿足 rear = front的佇列不應該是空佇列嗎？

這就產生誤會了，

不如我們退一步海闊天空，少用一個元素，借此來消除誤會，如下圖，規定這樣是一個滿佇列，

我們規定，front 出現在 rear 的下一個位置時，佇列為滿佇列，

比如在上圖的滿佇列中， front = 3 在 rear = 2 的下一個位置，

所以佇列為滿佇列的判定條件為：rear + 1 = front，但這的條件是不準確的，

因為回圈佇列中的 front 和 rear 都是回圈使用的，就像鐘表的時針一樣，所以我們僅根據下標的大小來判斷位置是不合理的，下面兩個均是滿佇列，右圖不滿足rear + 1 = front：

就像鐘表的時針滿 12 歸零一樣，front 和 rear 也應該滿某個數后歸零，這個數就是 MAXSIZE，

比如 rear = 7 時，如果按平常做法來 ，下一步應該是 rear = 8，但在這里，我們讓其歸零，所以下一步應該是 rear = 0，

用數學公式來表示上面的歸零程序就是：rear % MAXSIZE

所以滿佇列的判斷條件應該為：(rear + 1) % MAXSIZE = front，

【非空非滿佇列】很好理解，不再贅述，

3.4. 鏈佇列

我們使用帶頭結點的單鏈表來實作鏈佇列，

【空佇列】：即一個空鏈表，此時隊頭指標（兼鏈表頭指標）和隊尾指標均指向頭結點，

【非空佇列】：不像順序佇列那樣有空間的限制，鏈佇列的空間是不受限制的（只要你的記憶體足夠大），所以自然不存在“滿佇列”“回圈佇列”的概念，

4. 初始化

在進行佇列的操作前，應該先將其初始化出來，即初始化一個空佇列出來，

4.1. 順序佇列

將佇列的隊頭下標和隊尾下標置為 0 即可，

/**
 * 初始化順序佇列：將隊頭下標和隊尾下標置為0
 * queue: 指向佇列的指標
 */
void init(QueueArray *queue)
{
    queue->front = 0;
    queue->rear = 0;
}

4.2. 鏈佇列

創造出頭結點，然后將隊頭指標和隊尾指標均指向頭結點即可，

/**
 * 初始化鏈佇列：將隊頭指標和隊尾指標指向頭結點
 */
void init(QueueLink *queue)
{
    //創造頭結點
    QueueNode *head_node = create_node(0);
    //隊頭指標 隊尾指標指向頭結點
    queue->front = head_node;
    queue->rear = head_node;
}

5. 入隊操作

入隊操作只允許元素從隊尾進，

5.1. 順序佇列

前面我們規定，順序佇列的隊尾下標為隊尾元素的下一個元素，所以直接將待入隊元素放入隊尾下標處，然后隊尾下標“加一”，（注意：回圈佇列中的加一要對 MAXSIZE 取模）

/**
 * 入隊操作
 * queue: 指向佇列的指標
 * elem: 入隊的資料
 * return: 0失敗，1成功
 */
int en_queue(QueueArray *queue, int elem)
{
    //判斷佇列是否已滿
    if ((queue->rear + 1) % MAXSIZE == queue->front) {
        printf("佇列已滿，無法繼續入隊，\n");
        return 0;
    }
    //元素入隊
    queue->data[queue->rear] = elem;
    //隊尾下標加一
    queue->rear = (queue->rear + 1) % MAXSIZE;
    return 1;
}

5.2. 鏈佇列

鏈佇列的入隊操作本質是單鏈表的尾插法：

/** * 入隊操作
 * queue: 指向佇列的指標
 * elem: 入隊的資料
 */
void en_queue(QueueLink *queue, int elem)
{
    //創造新結點
    QueueNode *new = create_node(elem);
    //入隊（尾插法）
    queue->rear->next = new;
    queue->rear = new;
}

6. 出隊操作

出隊操作只允許元素從隊頭出，

6.1. 順序佇列

將隊頭下標處的元素出隊，然后將隊頭下標“加一”（對 MAXSIZE 取模），

/**
 * 出隊操作
 * queue: 指向佇列的指標
 * elem: 指向保存出隊資料的變數
 * return: 0失敗，1成功
 */
int de_queue(QueueArray *queue, int *elem)
{
    //判讀佇列是否為空
    if (queue->front == queue->rear) {
        printf("佇列空，無元素可出，\n");
        return 0;
    }
    //元素出隊
    *elem = queue->data[queue->front];
    //隊頭下標加一
    queue->front = (queue->front + 1) % MAXSIZE;
    return 1;
}

6.2. 鏈佇列

鏈佇列的出隊操作本質上是單鏈表的頭刪法，注意，如果出隊的是佇列中最后一個元素，需要在出隊后，將隊尾指標重新指向頭結點，重新形成空佇列，

/**
 * 出隊操作
 * queue: 指向佇列的指標
 * elem: 指向保存變數的指標
 * return: 0失敗，1成功
 */
int de_queue(QueueLink *queue, int *elem)
{
    //判讀佇列是否為空
    if (queue->front == queue->rear) {
        printf("佇列空，無元素可出，\n");
        return 0;
    }
    QueueNode *front_node = queue->front->next; //隊頭元素
    //保存資料
    *elem = front_node->data;
    //隊頭元素出隊（頭刪法）
    queue->front->next = front_node->next;
    //如果元素出完，隊尾指標重新指向頭結點
    if (front_node == queue->rear)
        queue->rear = queue->front;
    free(front_node);
}

7. 遍歷操作

這里以列印整個佇列為例，介紹如何遍歷佇列，

順序佇列有隊頭下標和隊尾下標，鏈佇列有隊頭指標和隊尾指標，我們要做的就是借助一個臨時變數，從隊頭下標逐個遍歷到隊尾下標即可，

7.1. 順序佇列

借助臨時變數 i，從隊頭下標開始逐個“加一”直到隊尾下標結束，

開始標志為：i = front

加一操作為：i = (i + 1) % MAXSIZE

結束標志為：i % MAXSIZE = rear

/**
 * 列印佇列
 */
void output(QueueArray queue)
{
    int i = queue.front;
    while (i % MAXSIZE != queue.rear) {
        printf("%d ", queue.data[i]);
        i = (i + 1) % MAXSIZE;
    }
    printf("\n");
}

如何計算順序佇列的長度？當然你可以遍歷佇列然后借助計數變數來存盤長度，這樣比較麻煩，因為順序佇列是使用陣列實作的，所以順序佇列的長度我們可以直接根據下標計算出來，

如果是一個非回圈佇列，那很簡單，直接 rear - front 就是佇列的長度了，

但回圈佇列不能這樣直接減了，因為 rear 和 front 之間的位置關系是不確定的，

左圖 rear < front，我們可以將其長度看成兩部分組成：

• 下標 0 到 rear，長度為 rear - 0
• 下標 MAXSIZE - 1 到 rear，長度為 MAXSIZE - front

所以長度為 rear - front + MAXSIZE

為了滿足右圖 rear > front 的情況，如果按照上式，則此時多加了一個 MAXSIZE，所以需要對其再對 MAXIZE 取余，

所以回圈佇列的長度為 (rear - front + MAXSIZE) % MAXSIZE（空佇列也滿足），

7.2. 鏈佇列

借助指標 p 從隊頭元素遍歷至隊尾元素即可，

/**
 * 列印佇列
 */
void output(QueueLink *queue)
{
    QueueNode *p = queue->front->next; //p指向隊頭元素
    while (p != NULL) {
        printf("%d ", p->data);
        p = p->next;
    }
    printf("\n");
}

以上就是佇列的基本原理及操作，

完整代碼請移步至 GitHub | Gitee 獲取

如有錯誤，還請指正，

如果覺得寫的不錯，可以點個贊和關注，后續會有更多資料結構和演算法相關文章，

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