作者：Steven
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注：本文所講內容為本人碩士畢業論文：《基于干涉影像質量分析的激光干涉儀抗振技術研究》，如有參考需要標注來源哈，如有疑問可以評論回復也可以郵箱1257147469@qq.com聯系我，

前言

對干涉圖組進行相位求解并完成解包裹后，可以得到一個傾斜的波面，從肉眼無法直觀地看出波面的相關資訊，因此需要通過Zernike多項式來擬合一個與所求波面最接近的理想波面，并根據擬合出的波面得到相關的系列像差資訊和PV、RMS值，以此可以進一步完成光學系統成像質量的評價作業和面形的測量作業，

本文介紹了Zernike擬合的相關知識，包括Zernike多項式背景和發展、Zernike擬合具體實作程序、代碼實作、參考文獻、附錄，

一、Zernike多項式背景和發展

通常光學成像系統在實際成像程序中，因系統本身的非理想特征，而使光線在經系統各面的傳輸程序中的路線出現偏差，進而形成各類像差，使結果顯示出影像模糊、尺寸變化、形態例外等缺陷，像差是對光學系統成像質量的重要評價指標，對其校正是光學系統設計中非常關鍵的環節，一般來說，像差可分為球差、慧差、畸變、場曲、像散、位置色差和倍率色差七種，每種像差的形成原因和特征各不相同，因而可以根據其特征分析建立數學模型，并以此作為像差函式，該函式還可展開為冪級數或一組正交多項式，

澤尼克（Zernike）[1] [2]在利用刀口檢驗法和相襯法對一塊圓形反射鏡作測驗時，推匯出一套可表征不同像差函式的多項式，稱作Zernike多項式，因其同像差多項式形式一致，常被用來擬合波面并對波前特性作分析，后來諸多學者在此基礎上深入研究，提出了各類改進方案并進行了系列實驗測驗：中國科學院的惠梅[3]提出了一種基于Zernike多項式的波前資料擬合方法，通過閾值設定將誤差點用掩膜過濾，有效提高測量精度；哈爾濱工業大學的劉劍鋒等人[4]基于Zernike多項式推匯出傅里葉變換公式，通過分析頻域中資訊以實作對面形誤差的擬合；浙江大學的鄭臻榮等人[5]在成像物鏡設計中，應用Zernike多項式對自由曲面波像差進行分析，解決了自由曲面在成像系統設計中應用難度較大的問題；中國科學院的劉偉偉等人[6]結合三階Zernike多項式，有效校正了全息陣列光鑷中因演算法導致的像差；蘇州大學的王毅和余景池[7]根據Zernike36項系數，實作了對超精密車削系統的誤差補償，該方法效率高、穩定性好且準確；西班牙的I. Area等人[8]提出了一種通過差分算子和連接矩陣生成廣義Zernike多項式的演算法，

目前，Zernike多項式廣泛應用于光學領域，特別是光學成像系統檢測方面，是擬合波前的主要手段之一，在不同強度的振動環境下，擬合同一面形所得PV和RMS值的結果并不相同，根據這一特性可以判斷抗振技術的能力強弱，當抗振效果好時，振動環境和無振動環境的結果相差不大，當然它也有一定的局限性：一方面，Zernike多項式無法直接計算出波面檢測時的擾動資訊，當外在振動過大時，其資料結果會隨之出現不穩定的大區間波動情況，甚至可能出現無法擬合的情況；另一方面，它也無法有效描述某些車間加工中存在的機器制造誤差，

綜合來看，Zernike擬合是比較經典的波面擬合手段，不僅可以獲得36項成像質量指標，也可以通過擬合后波面的PV、RMS值波動情況分析，來評價系統抗振性能等等，

二、Zernike擬合具體實作程序

在考慮光學系統像差時，像差函式因其光學結構不同而有所差異，與Zernike多項式相關的兩個重要考慮方面分別是：1）系統的光瞳形狀；2）是否為旋轉對稱結構，本文講解的zernike擬合方法，是基于含圓形光瞳且不含旋轉對稱軸的結構，因此只說明對此類情況下的Zernike實作（其實只要把這個搞懂了，其他的類似擬合方法都清楚了，最初我研究Zernike擬合的時候，我們課題組糾結了許久它的實作邏輯，搞明白了發現還挺簡單的，，，），

在沒有旋轉軸對稱的光學系統中，其像差函式不僅包含 $\cos (m \theta)$ 部分，還包含 $\sin (m \theta)$ 部分，將像差函式展開正交Zernike圓多項式 $\mathrm{Z}_{s}(\rho, \theta)$ 形式[9]：

$W(\rho, \theta)=\sum_{s} a_{s} \mathrm{Z}_{s}(\rho, \theta)$

(1)

其中， $W(\rho, \theta)$ 為擬合波面， $a_{s}$ 為多項式各項系數， $\rho$ 表示距離原點的長度， $\theta$ 表示相對原點的角度，多項式部分具體可分為三部分：

$\mathrm{Z}_{s}(\rho, \theta)=\left\{\begin{array}{c} \sqrt{2(n+1)} R_{n}^{m}(\rho) \cos (m \theta), m>0 \\ \sqrt{2(n+1)} R_{n}^{m}(\rho) \sin (m \theta), m<0 \\ \sqrt{n+1} R_{n}^{0}(\rho), m=0 \end{array}\right.$

(2)

一般n為7，即總項數為36，n值小的多項式靠前，n值一定時m值小的多項式靠前，按此順序列出正交Zernike多項式 $\mathrm{Z}_{s}(\rho, \theta)$ 的36項運算式，如圖1所示，該順序同我分享的Matlab-zernike擬合程式里的順序一致，多項式同《光學車間檢測》這本書中第383-384頁提到的一致，順序可能有區別，

當然，在不同的應用和機構會采用不同的排列順序和Zernike多項式，比如美國Zygo公司采取的就是如圖2所示的多項式和順序，許多公司也以Zygo作為標準（畢竟在這領域是老大哥，，40年發展太超前了，沒辦法，希望國內技術能早日超越它們，技術壁壘太難受了），下圖取自Zygo軟體使用手冊，目前我做相關研究用的也是這套多項式，和Zygo同一標準也是為了方便對比差異性，

繼續講，假設擬合波面 $W(\rho, \theta)$ 的尺寸為ROW×COL，ROW為行數，COL為列數，為了模擬像差函式的3D圖形，需要先生成所需的網格資料（meshgrid操作）：設定一行x坐標，從-1到1，等距離分為COL份，將該行資料復制ROW行，建立X矩陣；設定一列y坐標，區間從1到-1，等距離分為ROW份，將該列資料復制COL列，建立Y矩陣，結合求得的X和Y矩陣，將其笛卡爾坐標系轉換為極坐標系可得到兩個矩陣資料資訊R和Th，分別是 $\rho$ 和 $\theta$ 的網格資料，其對應公式為：

$\mathrm{R}(\mathrm{i}, \mathrm{j})=\sqrt{X(i, j)^{2}+Y(i, j)^{2}}$

$\operatorname{Th}(\mathrm{i}, \mathrm{j})=\arctan \left(\frac{Y(i, j)}{X(i, j)}\right)$

(3)

對每個像差函式，根據表1中對應的多項式運算式，再結合R和Th矩陣中各個像素點對應的 $\rho$ 和 $\theta$ 兩項資料值，可得到此函式在對應點下的對應值，進而求得關于此函式尺寸大小為ROW×COL的矩陣資訊，將矩陣資料以三維圖展示，可直觀看到其3D模擬樣貌，36項像差的樣貌圖見文章最后的附錄，

將上述的36項像差對應的矩陣進行變形，尺寸大小從ROW×COL變為（ROW*COL）×1，將原矩陣每行的資料按行序號順序，依次以列資料形式放置在新矩陣內，之后，將36個變形后的矩陣按多項式順序，合并在一起構成尺寸大小為（ROW*COL）×36的Zernike綜合矩陣Z，將所需要擬合的解包裹后相位矩陣，同樣變形為（ROW*COL）×1的新矩陣I，

此時，可通過矩陣求解計算Zernike36項系數，待解X矩陣大小為36×1：

ZX=I

(4)

式(4)的意義可以理解為：對整幅圖上任何一個像素點而言，均滿足該點對應的36項多項式值分別乘以對應的系數并累加，其結果約等同于該點在所需擬合的解包裹后相位圖內的數值，

Zernike多項式的第一項為平移，第二三項分別是沿x和y方向的傾斜，將解包裹后相位矩陣減去Zernike前三項矩陣和對應系數的乘積和，即可得到不含傾斜量和平移量的真實面形圖，對解包裹后相位資訊經上述處理，得到的面形圖如圖3所示（對圓形干涉圖外區域進行了屏蔽操作），

對4-36項矩陣和對應系數的乘積進行求和，可得到不含傾斜量和平移量的理想面形圖，如圖4所示，

對圖3所示的面形資訊進行相關計算：先進行單位的轉換，前文計算得到的結果均為相位資訊（單位：rad），轉為長度資訊（單位：λ）；再計算PV值（面形最大值和最小值之差）和RMS值（面形的均方根值），

綜上所述，便是Zernike擬合的原理和其實作程序，講的很細，大家不要嫌我啰嗦，，如果我當時研究這個的時候有人講的細節一些，可能會給我節省許多時間，

三、代碼實作

matlab代碼見：https://download.csdn.net/download/zhaitianbao/16237072?spm=1001.2014.3001.5503

C++代碼考慮到商業保密性暫不公開分享，如有想法可評論或者郵箱聯系我，一起交流學習~

四、參考文獻

[1]Zernike F . Diffraction theory of the knife-edge test and its improved form, the phase-contrast method[J]. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 1934, 94(2):377-384.

[2]F. Zernike. Beugungstheorie des schneidenver-fahrens und seiner verbesserten form, der phasenkontrastmethode[J]. Physica,1934(1):689-704

[3]惠梅,牛憨笨.運用澤尼克多項式進行物面波前資料擬合[J].光子學報,1999(12):3-5.

[4]劉劍峰,龍夫年,張偉,王治樂.基于澤尼克多項式進行面形誤差擬合的頻域分析[J].光學學報,2005(08):1062-1066.

[5]鄭臻榮,孫旭濤,繆盈盈,顧培夫,劉旭.應用澤尼克多項式自由曲面的成像物鏡設計[J].浙江大學學報(工學版),2008,42(12):2202-2206.

[6]劉偉偉,任煜軒,高紅芳,孫晴,王自強,李銀妹.澤尼克多項式校正全息陣列光鑷像差的實驗研究[J].物理學報,2012,61(18):524-531.

[7]王毅,余景池.基于澤尼克多項式系數的大相對孔徑表面超精密車削誤差的補償方法[J].紅外與激光工程,2012,41(03):724-728.

[8]A I A , B D K D , C E G . Recursive computation of generalised Zernike polynomials[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2017, 312(2):58-64.

[9]李萌陽,李大海,趙霽文,章辰,王瓊華.基于方形域內標準正交矢量多項式的波前重建[J].光學學報,2014,34(07):144-150.