反賭科普宣傳——賭徒的謬誤

在賭博中，有一種“荷蘭賭式”的“倍賭”策略，即輸了加賭注加倍，直到贏了為止，似乎在所有人看來，只要本金足夠，似乎此法無往而不利，那么這種做法可不可取？背后潛藏的玄機又在哪呢？我們從一個簡單的游戲說起，

所用的概率論知識，一個正常上過大學的理工科的人都應該會懂，

游戲簡單介紹

在我們的家鄉廣泛流行著一個“機會游戲”，叫做“六合彩”，其游戲規則如下：人的年齡（虛歲）對應著十二生肖，比如今年（2021 年）的年齡的生肖從屬關系如下：
豬 狗 雞 猴 羊 馬 蛇 龍 兔 虎 牛 鼠 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 \begin{array}{|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|} \hline \text { 豬 } & \text { 狗 } & \text { 雞 } & \text { 猴 } & \text { 羊 } & \text { 馬 } & \text { 蛇 } & \text { 龍 } & \text { 兔 } & \text { 虎 } & \text { 牛 } & \text { 鼠 } \\ \hline & & & & & & & & & & 1 & 2\\ \hline 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10& 11& 12& 13& 14\\ \hline 15& 16 & 17& 18& 19& 20& 21& 22& 23& 24& 25& 26\\ \hline 27& 28& 29& 30& 31& 32& 33& 34& 35& 36& 37& 38\\ \hline 39& 40& 41& 42& 43& 44&45 & 46&47 & 48&49 & \\ \hline \end{array} 豬 3152739? 狗 4162840? 雞 5172941? 猴 6183042? 羊 7193143? 馬 8203244? 蛇 9213345? 龍 10223446? 兔 11233547? 虎 12243648? 牛 113253749? 鼠 2142638??
現有一個大型的賭博公司，作為莊家，隨機從這四十九個數字中抽取一個作為“開獎碼”，彩民可以根據相應的規則進行壓彩，壓中則贏錢，壓輸則輸錢，其壓彩規則主要有以下幾種：

1. 壓單個數字，一賠四十的賠率，本金吃，
2. 壓單雙（奇偶）， 80 % 80\% 80% 的賠率，本金返還，
3. “包頭”，亦即以生肖為單位，進行下注，一賠十，本金還，
4. 其它方式，諸如“紅藍綠波”的下注方式，由于篇幅限制，這里不再詳述，

通過下文的敘述，主要說明及闡述以下三點問題:

• 第一，從時間上看，某個個體長期壓，必輸；從空間上看，由于此游戲分布足夠廣，玩的人足夠多，每次開獎，作為賭博頭子的“六合彩”公司，必然贏錢，

• 第二，大部分彩民存在著一種謬誤心理：當單數或者雙數開了足夠多次了，不在開單數或者雙數的可能性大大增加，這時候就可以以“賭金加倍”的形式開始跟蹤壓彩，只要資產夠，最后必贏錢，彩民對“加倍賭注”的策略的信任揭示了人們對可能性的一種誤解，

• 第三，求神拜佛信資料，不會增加彩民贏錢的概率，這是不可取的做法，

不公平的游戲

容易看到，在這個賭博中某個彩民一次下注的收益的數學期望值 E ( x ) = ? 1 × 48 / 49 + 39 × 1 / 49 ≈ ? 0.1834 E(x)=-1 \times 48 / 49+39 \times 1 / 49 \approx-0.1834 E(x)=?1×48/49+39×1/49≈?0.1834（以壓單號為例,其它類似），這是個負值，通俗地說，一塊錢本該賠四十九塊錢，但是只賠了四十塊，于彩民而言，這是虧本的，也就是說，在你下注的次數足夠多時，對于你壓的每一塊錢，平均來看，都要虧一角八分錢，

大數定律告訴我們，隨著賭博次數（人數）的增加，開出某一個號碼的頻率會小有波動地穩定在概率附近，通俗地說，這就像是“擲硬幣”，隨著你擲硬幣次數的增加，整體上看，出現正面的次數與總次數的比值會越來越接近二分之一，不難理解，隨著下注次數的增加，由于每次“是否中獎”都是隨機的，彩民壓中的次數（以壓單個數字為例）與壓的總次數的比值一般會越來越接近 1 / 49 1/49 1/49，由于數學期望是負值，彩民會虧，

有一次在街上，碰到一個熟人，說他認識的 C C C 先生，由于壓“六合彩”發財了，我感興趣的只是這位“幸運的彩民”玩了多久“六合彩”，不妨假設，這個彩民玩了半年的六合彩，每周三次，把把必下注，那么他真的發財的概率（這就是這條訊息為真的概率）有多少呢？某個彩民要下注多少次，才能讓他輸錢的概率足夠穩定呢？換句話說，我們知道，彩民壓中的頻率會隨著賭博時間的增長而越來越接近概率，那么彩民究竟要下注多少次，才能使頻率足夠穩定，足夠接近概率呢？下面我用兩種方式進行計算，

首先，可用中心極限定理來求解，考慮“某人每次都壓一塊錢，那么下注的次數 n n n 至少要為多少，才有把握認為這個人不會贏錢”這個問題，不妨記

X i = { 1 , 此人第i次壓中 i = 1 , 2 , ? ? , n 0 , 其他 \boldsymbol{X}_{i}=\left\{\begin{array}{cc} \mathbf{1}, & \text { 此人第i次壓中 } & i=1,2, \cdots, n \\ \mathbf{0}, & \text { 其他 } \end{array}\right. Xi?={1,0,? 此人第i次壓中 其他 ?i=1,2,?,n

則 X 1 , X 2 … X i … X n X_{1}, X_{2} \ldots X_{i} \ldots X_{n} X1?,X2?…Xi?…Xn? 獨立同 0-1 分布,可以用 P ( 40 ∑ i = 1 n X i ? n ≤ 0 ) ≤ 95 % \mathrm{P}\left(40 \sum_{i=1}^{n} X_{i}-n \leq 0\right) \leq 95 \% P(40∑i=1n?Xi??n≤0)≤95% 來刻畫這個問題，

由中心極限定理，

P ( 40 ∑ i = 1 n X i ? n ≤ 0 ) ≈ Φ ( n ? 40 n p 40 n p ( 1 ? p ) + 0.5 ) ≥ 95 % \mathrm{P}\left(40 \sum_{i=1}^{n} X_{i}-n \leq 0\right) \approx \Phi\left(\frac{n-40 n p}{40 \sqrt{n p(1-p)}}+0.5\right) \geq 95 \% P(40i=1∑n?Xi??n≤0)≈Φ(40np(1?p) ?n?40np?+0.5)≥95%

其中 p = 1 / 49 p=1 / 49 p=1/49, 計算得到， n n n 至少要為 1244 ，通俗地講，當這個人下注次數達到1244 次時，可以說他幾乎已經不可能贏錢了，

下面我選擇另一種方式來探討這個問題，假設某個彩民只以單個號碼的形式下注，且每 次都只在一個號碼上壓一塊錢，截止目前共壓了 n n n 把，若要以 99 % 99 \% 99% 來作為一個分位，那么 n n n 到底要多大，才能使這個彩民輸錢的概率較為穩定地達到 99 % 99 \% 99% 呢？事實上，彩民壓中的次數 X X X 服從二項分布，即 X ～ B ( n , 1 / 49 ) X \sim B(n, 1 / 49) X～B(n,1/49), 而要贏錢的話，隨機變數 X X X 要滿足 40 X ? n > 0 40 X-n>0 40X?n>0, 即 X > n / 40 X>n / 40 X>n/40 ，反之， X ≤ n / 40 X \leq n / 40 X≤n/40 時，彩民會不會贏錢（這里只論輸贏，不管輸多輸少 ) ) ) 利用 R R R 列出前 n n n 取前 10000 個數值時彩民贏錢的概率取值，通過觀察，不難發現當 n n n 達到 5240 的時候,彩民輸的概率隨著 n n n 的增加第一次超過了 99 % 99 \% 99% 并且穩定在了很接近 100 % 100 \% 100% 的 個數值，這時候，其實已經可以說，彩民輸定了，

說到這，很多彩民笑了，五千多次，就算我每次都下注，也夠壓到我差不多進棺材了，也就覺得自己不一定輸，事實情況是，當你 壓到五百次左右的時候，近似地，可以說你八成已經輸了，而當你壓到一百次的時候，有六七成的可能性你已經輸了，需要注意的是，以上的結果是每次只以一塊錢投注于一個號碼的模型結果，現實中，某個彩民不可能每次只壓一個數字，通常情況下，平均每個彩民會下注 于十個數字左右，這就相當于他已經壓了十次，這樣看來，如果每次都壓的話, 不消幾個月， 可以說，某個彩民百分之八九十是要在六合彩里面輸錢的，

回到剛才那個問題，路上碰到個熟人，說他的朋友 C C C 先生在六合彩里面發了大財，而此先生壓六合彩壓了半年，且不說這個大財的“大”是什么概念，我們姑且認為只要他贏錢了就是發大財了，我們假設 C C C 先生每次以數字的形式等額下注，每次壓十個數字，那么半年的時長相當于 n n n 達到了 780 次，通過 R R R，不難計算知道，這個人不會發大財的概率達到了 82 % 82\% 82%，也就是說，這個熟人八成騙了我，或者他八成被他的朋友騙了，而在這 780 次中，他最有可能贏的次數為 ( n + 1 ) p ≈ 15 (n+1) p \approx 15 (n+1)p≈15, 其可能性為 0.100625 0.100625 0.100625 ，換言之, C C C 先生大概有百分之十的可能輸 180 a 180 a 180a 的錢, 其中 a a a 表示他每次投注于一個數字上的金額，由此看見，通過六合彩，發財的可能性都小，何況是發大財，此非致富之道，下面列出前彩民下注的前幾百次彩民不會贏錢的概率:

從空間上看, 六合彩公司必定贏錢又是怎么看的呢？事實上，每個彩民下注 n n n 次可以視 為 n n n 次貝努里試驗，類似地，在每次投注的程序中，對 n n n 個個體中每個個體的“中與不中， 的觀察也可以視作是一次貝努里試驗， n n n 個觀察就構成了 n n n 次貝努里試驗，每次開獎， n n n 個 個體中“中獎”的個體數 X X X 的取值便服從二項分布，我們可以把上文中對一個人 n n n 次下注 情況的分析的不加考慮地結果移植過來，那么這個 n n n 究竟有多大呢，由于缺乏調查，我不會憑空猜想，但是，可以肯定的是， n n n 受多個因素的影響，并滿足一定的統計學規律，

據我所知，東南沿海到廣東一帶,有很大一部分人有參與這項賭博活動，尤其是中低階層的農民工,有很大一部分參加這項游戲以自娛，曾經我身邊就有兩個年近古稀的老姬拼了了一塊錢去下注，這些數額看起來很小，但是東南地區，有千千萬萬個貧困破落的山村，有數以萬計多無聊的“老姬”，這些人加起來，是個極有可能是個天文數字，換句話說，在每次開獎之后，六合彩公司只會盈利，不會虧本，曾一直以為，六合彩公司可以通過先收賭金，后根據別人下注的情況來開獎，謀取最大的利益，如今看來，此舉毫無必要，

通過以上的說明，有人不禁會問，既然在不公平的賭博下，賭客必輸，那么在那些街頭賭博里，為什么“堵頭下臺”，遭遇“破產”的事情時有發生呢？我只能說， n n n 不夠大，概率沒有小到一定情況，“不發生”并非必然，況且那些被打下來的賭博頭子，往往是在少數人的少數幾次“大手筆”給弄得血本無歸的，無可厚非，有人想，既然壓多了必輸，壓一兩次還是很有可能會贏錢，那我就玩一次，中了了就不玩了，不就可以了，需要注意的是，大多數人都是輸了想“扮本”，贏了冤到了甜頭，哪里就肯輕易放棄？況且下層莊家在偶有幾次的“吃單”中失利，賠付不起，卷錢逃跑的事情時有發生，世上本無絕對，即使是讓猴子在雖腦前亂敲（一字不符，重頭再來），也是有可能敲出《紅樓夢》的，只是概率小了點而已，但是我們是不能否認它的存在，

以上的結論只是在理想的狀態下得出的，事實上，于個體而言，彩民個體是否下注，每次以何種方式如何下注，是受心理，經濟水平，個人喜好，個體活動，外界等諸多因素共同影響的結果;于六合彩公司而言，每次盈利多少，盈利份額來源等受特定區域的人口數量， 經濟水平，人口分布，宣傳效果，市場消費，自然災害等等許多的因素影響，可以建立一些更加復雜的模型來詳細刻畫和描述這個問題，此處由于條件限制，就不再幣述了，但這些是不會影響上面所得出的結論的，

彩民的謬誤

很大一部分人群，甚至是接受過高等教育的人群，在賭博中一直信奉著“長期追蹤，加倍賭注”的策略，認為只要是堅持不解，在足夠的資產保證下，最后肯定是會贏錢的，是這樣的嗎？對此想法，我不做否定，但此法是不可取的，下面我們來做一下簡單的分析，

以壓單雙的形式為例，試想有某個人，從某次開獎開始，開始壓“單”，假如輸了，下次繼續壓單，并且為了在壓中的情況下扮回本錢并且還有獲利，每次下注的賭金為前面損失的總金額再翻一倍，直到壓中了為止，為了計算方便，我假設這個人第一次壓了 1 塊錢，假如他連續失蹄子那么他壓的錢將會是 1 , 2 , 6.1854 … 2 ? 3 n ? 2 … 1,2,6.1854 \ldots 2 * 3^{n-2} \ldots 1,2,6.1854…2?3n?2… 這個彩民的每次下注，可視作一次貝努里試驗，設其第 X X X 次恰好壓中 (壓中就不再壓了，換言之，此大第 X X X 次首次壓中)，那么 X X X 的分布服從幾何分布，即 X ～ G ( 25 / 49 ) X \sim G(25 / 49) X～G(25/49)，

首先，我們容易想到的是，每次的開獎都是一次獨立的實驗，這個人壓中的概率都是 25 / 49 25 / 49 25/49，不會因為前面已經連續開幾次雙數，而使得這個概率有所增加，已發生的結果,不影響未發生的可能性的大小，換句話說，假如我們忽略開單雙概率的微小差異，你去一直壓單和你隨機壓沒有任何區別，其次，我們由幾何分布的“無記憶性”，任何策略都不會使游戲對彩民變得更加“劃算”，我們現在假設這個彩民的家產為 S = 3 m ? 1 S=3^{m-1} S=3m?1, 這個彩民已經做好了傾家蕩產也要“贏錢”的準備，換句話說，這個彩民最多卡 m m m 次，他就沒錢可壓了，我們用 X X X 表示他第 X X X 次首次壓中，用 R R R 來表示此人已投入的金額，用 W W W 表示贏得的金額，用 P P P 表示恰好在第 X X X 次壓早的概率，那么有以下結果：

X R P W 1 1 25 / 49 0.8 2 3 ( 24 / 49 ) 1 × ( 25 / 49 ) 0.2 × 3 1 3 9 ( 24 / 49 ) 2 × ( 25 / 49 ) 0.2 × 3 2 4 27 ( 24 / 49 ) 3 × ( 25 / 49 ) 0.2 × 3 3 ? … ? … ? … … … n 3 n ? 1 ( 24 / 49 ) n ? 1 × ( 25 / 49 ) 0.2 × 3 n ? 1 ? ? ? ? ? ? … ? m 3 m ? 1 ( 24 / 49 ) m ? 1 × ( 25 / 49 ) 0.2 × 3 m ? 1 \begin{array}{|l|l|l|l|} \hline X & R & P & W \\ \hline 1 & 1 & 25 / 49 & 0.8 \\ \hline 2 & 3 & (24 / 49)^{1} \times(25 / 49) & 0.2 \times 3^{1} \\ \hline 3 & 9 & (24 / 49)^{2} \times(25 / 49) & 0.2 \times 3^{2} \\ \hline 4 & 27 & (24 / 49)^{3} \times(25 / 49) & 0.2 \times 3^{3} \\ \hline \cdots \ldots & \cdots \ldots & \cdots \ldots & \ldots \ldots \\ \hline n & 3^{n-1} & (24 / 49)^{n-1} \times(25 / 49) & 0.2 \times 3^{n-1} \\ \hline \cdots \cdots & \cdots \cdots & \cdots \cdots & \ldots \cdots \\ \hline m & 3^{m-1} & (24 / 49)^{m-1} \times(25 / 49) & 0.2 \times 3^{m-1} \\ \hline \end{array} X1234?…n??m?R13927?…3n?1??3m?1?P25/49(24/49)1×(25/49)(24/49)2×(25/49)(24/49)3×(25/49)?…(24/49)n?1×(25/49)??(24/49)m?1×(25/49)?W0.80.2×310.2×320.2×33……0.2×3n?1…?0.2×3m?1??

由此，我們可以粗略地看到，隨著彩民“跟進”次數的增多，他投入的總金額會越來越大，贏錢的概率會越來越大，而贏得的金額就會越來越多，現在的問題是，他投入資本的增大所承擔的風險，能不能以贏錢概率的增大和贏錢金額的增多來回報？答案是肯定的，不妨假設有 K K K 先生愿意至多投入 3 n ? 1 3^{n-1} 3n?1 的金錢來實行這項策略，換句話說， K K K 先生以上述方式下注，壓中就不再壓，但是如果連續 n n n 次都沒中的話，他就放棄，不再繼續，我們來計算一下,在這樣一個條件下， K K K 先生總收益的數學期望值 E ( n ) E_{(n)} E(n)? ，由全期望公式，容易想到，

E ( n ) = ? 3 n ? 1 × ( 24 / 49 ) n + ∑ i = 1 n P i W i = ? 3 n ? 1 × ( 24 / 49 ) n + 15 / 49 + ∑ i = 1 n [ ( 24 / 49 ) i ? 1 × ( 25 / 49 ) ] × 0.2 × 3 i ? 1 \begin{aligned} &E_{(n)}=-3^{n-1} \times(24 / 49)^{n}+\sum_{i=1}^{n} P_{i} W_{i} \\ &=-3^{n-1} \times(24 / 49)^{n}+15 / 49+\sum_{i=1}^{n}\left[ (24 / 49)^{i-1} \times(25 / 49)\right] \times 0.2 \times 3^{i-1} \end{aligned} ?E(n)?=?3n?1×(24/49)n+i=1∑n?Pi?Wi?=?3n?1×(24/49)n+15/49+i=1∑n?[(24/49)i?1×(25/49)]×0.2×3i?1?

下面我利用 C 來計算上式，得到的結果如圖 (列出了前幾個取值的情況）：

從上圖中，我們可以獲知，假設 K K K 先生愿意投入的金額 3 n ? 1 3^{n-1} 3n?1 是變化的，那么隨著 K K K 先生愿意投入的金錢的增加 (即 n n n 的增大），其總收益的數學期望也會負得越來越多，但由于他愿意投入的總金額變化的速率遠大于數學期望的變化速率，我們會得到 lim ? n → ∞ E ( n ) R ( n ) = 0 \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{E_{(n)}}{R_{(n)}}=0 limn→∞?R(n)?E(n)??=0 的結果（理論上 n n n 可以無限大，但事實上，每個人的資產不可能是無限多的），也就是說，隨著 n n n 的增大，平均每塊錢亞損的金額會越來越低，最后趨近于零，但這并不能體現出此種種策略的優越性，此因收益的數學期望值是總是負方向趨近無窮大的，

事實上，“賭金加倍”的策略只是以賭金數額，來換取概率的一種形式，并不劃算，通俗地講，你可以這樣理解：本來你有百分之一的可能來以一塊錢的賭注來贏得一百塊錢，現在你通過這種“策略”，將局勢變為了你有百分之九十九的可能以一百塊錢來贏取一塊錢，這只是一個形象的比喻，實際情況比這復雜，但是可以肯定的是，你的數學期望，仍舊是負的，不會因為這個策略，而由負的變成正的，綜上所述，“賭金加倍”的策略，并不是一個“劃算”的策略，但實際生活中，只要你資產夠多，但又不反對“用一百去吊一塊”，在公平的機會游戲中，倒是可以試試，

求神拜佛，是邪？非邪？

首先，世上有無鬼神，是個未知之數，其次，假如有神，你求他了，他是否愿意幫你，還是去幫別人，這是隨機的，再者，假想你在山頭這邊地拜，難免有人在山的另一邊求財，假設神給你們的“指示”不一致，提示發生了沖突，你能保證你求的神的權利比他求的神權利要大？這也是隨機的，不難知道，全國各地，有著各種求“特碼”，求得的結果必然涵蓋了 49 大數字，在各路神仙的閉門激烈爭辯后，究竟要開哪個號碼，這也是隨機的，每個號碼的概率還是 1 / 49 1 / 49 1/49，

下面定量來分析一下這個問題，我們假設這個世界上有神的概率為 p p p ，則無神的概率為 ( 1 ? p ) (1-p) (1?p) ，在有神的前提下，你求神了，神愿意幫你的概率為 q = 1 / 49 q=1 / 49 q=1/49 ，神決定幫別人的概率為 1 ? q = 48 / 49 1-q=48 / 49 1?q=48/49 ,在參加六合彩的人多如牛毛的世界里，每個人作為普通而一般的個體，這是隨機的，當然，你可以認為你比別人更虔誠，神更應該幫助你，事實上是，別人也是這么想的，如此看來，神是丕賜福于你，還是隨機的，由全概率公式可知，在你求神之后，你壓中六合彩的概率不會提升，當然，在涉及鬼神之后，你是否壓中是由諸多因素共同決定的，比如，你所求的，正是你剛死去的遠房表親，并且你表示愿意兩年后下去陪他，那么，在真有鬼神的前提下，我覺得你中獎的概率會大大增加，由于未知世界的不可測，很多事情都變得綜婦模糊，這里就不在詳述了，此外，那些帶“白小姐”、“曾道人”字眼之類街頭資料，包括一些低俗的刊物可靠嗎？佔摸著這些資料大部分不是出自“六合彩”公司之手，而這些資料的“作者”自己也不知道要開什么碼，那么我們又該如何去考慮類似于“天線寶寶”,“我愛廚房”這些資料所謂的含“賭博線索”的說法呢？這留給讀者自己去思考吧，

隱形的陷阱，無底的深淵

做此文，意在說明機會游戲“六合彩”的欺騙性，希望家鄉的人民能夠認識到這點，盡早覺醒，遠離此類不公平的游戲，更不能將寄贏錢的希望于鬼神以及所謂“一手資料”上，可悲的是，下到農村婦儒，上到一些教書先生，居然看不透這些，總寄希望于此類賭博，最終搞得家破人亡，

切記，賭博，是一張隱形的大網，是無底的深淵，小賭怡情，大賭傷身，何苦明知是火坑，卻偏要義無反顧往里跳呢？此時，偏向虎山行并不代表一種勇氣，珍愛家庭，遠離賭博，謹以警示世人，