二叉樹
文章目錄
- 二叉樹
- 樹的概念及結構
- 樹的概念
- 樹的結構
- 樹的表示
- 二叉樹的概念及結構
- 二叉樹的概念
- 特殊的二叉樹
- 二叉樹的性質
- 二叉樹的存盤
- 順序存盤
- 鏈式存盤
樹的概念及結構
樹的概念
樹是一種非線性的資料結構，它是由n（n>=0）個有限結點組成一個具有層次關系的集合，把它叫做樹是因為它看起來像一棵倒掛的樹，也就是說它是根朝上，而葉朝下的，
- 有一個特殊的結點，稱為根結點，根節點沒有前驅結點
- 除根節點外，其余結點被分成M(M>0)個互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一個集Ti(1<= i <=m)又是一棵結構與樹類似的子樹，每棵子樹的根結點有且只有一個前驅，可以有0個或多個后繼
- 因此，樹是遞回定義的，
樹的結構
節點的度：一個節點含有的子樹的個數稱為該節點的度； 如上圖：A的為6
葉節點或終端節點：度為0的節點稱為葉節點； 如上圖：B、C、H、I…等節點為葉節點
非終端節點或分支節點：度不為0的節點； 如上圖：D、E、F、G…等節點為分支節點
雙親節點或父節點：若一個節點含有子節點，則這個節點稱為其子節點的父節點； 如上圖：A是B的父節點
孩子節點或子節點：一個節點含有的子樹的根節點稱為該節點的子節點； 如上圖：B是A的孩子節點
兄弟節點：具有相同父節點的節點互稱為兄弟節點； 如上圖：B、C是兄弟節點
樹的度：一棵樹中，最大的節點的度稱為樹的度； 如上圖：樹的度為6
節點的層次：從根開始定義起，根為第1層，根的子節點為第2層，以此類推；
樹的高度或深度：樹中節點的最大層次； 如上圖：樹的高度為4
堂兄弟節點：雙親在同一層的節點互為堂兄弟；如上圖：H、I互為兄弟節點
節點的祖先：從根到該節點所經分支上的所有節點；如上圖：A是所有節點的祖先
子孫：以某節點為根的子樹中任一節點都稱為該節點的子孫，如上圖：所有節點都是A的子孫
森林：由m（m>0）棵互不相交的樹的集合稱為森林；
樹的表示
樹結構相對線性表就比較復雜了，要存盤表示起來就比較麻煩了，實際中樹有很多種表示方式，如：雙親表示法，孩子表示法、孩子兄弟表示法等等，我們這里就簡單的了解其中最常用的孩子兄弟表示法，
二叉樹的概念及結構
二叉樹的概念
一棵二叉樹是結點的一個有限集合，該集合或者為空，或者是由一個根節點加上兩棵別稱為左子樹和右子樹的二叉樹組成，
二叉樹的特點：
- 每個結點最多有兩棵子樹，即二叉樹不存在度大于2的結點，
- 二叉樹的子樹有左右之分，其子樹的次序不能顛倒，
特殊的二叉樹
- 滿二叉樹：一個二叉樹，如果每一個層的結點數都達到最大值，則這個二叉樹就是滿二叉樹，也就是說，如果一個二叉樹的層數為K，且結點總數是(2^k) -1 ，則它就是滿二叉樹，
- 完全二叉樹: 完全二叉樹是效率很高的資料結構, 完全二叉樹是由滿二叉樹而引出來的,對于深度為K的, 有n個結點的二叉樹, 當且僅當其每一個結點都與深度為K的滿二叉樹中編號從1至n的結點一一對應時稱之為完全二叉樹， 要注意的是滿二叉樹是一種特殊的完全二叉樹
二叉樹的性質
- 若規定根節點的層數為1，則一棵非空二叉樹的第i層上最多有2^(i-1) 個結點.
- 若規定根節點的層數為1，則深度為h的二叉樹的最大結點數是2^h- 1.
- 對任何一棵二叉樹, 如果度為0其葉結點個數為 n0, 度為2的分支結點個數為 n2,則有n0＝n2＋1
- 若規定根節點的層數為1，具有n個結點的滿二叉樹的深度，h=Log2(n+1). (ps：Log2(n+1)是log以2為底，n+1為對數)
- 對于具有n個結點的完全二叉樹，如果按照從上至下從左至右的陣列順序對所有節點從0開始編號，則對于序號為i的結點有：
若i>0，i位置節點的雙親序號：(i-1)/2；i=0，i為根節點編號，無雙親節點
若2i+1<n，左孩子序號：2i+1，2i+1>=n否則無左孩子
若2i+2<n，右孩子序號：2i+2，2i+2>=n否則無右孩子
二叉樹的存盤
順序存盤
順序結構存盤就是使用陣列來存盤，一般使用陣列只適合表示完全二叉樹，因為不是完全二叉樹會有空間的浪費，而現實中使用中只有堆才會使用陣列來存盤，關于堆我們后面的章節會專門講解，二叉樹順序存盤在物理上是一個陣列，在邏輯上是一顆二叉樹，
只適合完全二叉樹的存盤;
鏈式存盤
二叉樹的鏈式存盤結構是指，用鏈表來表示一棵二叉樹，即用鏈來指示元素的邏輯關系， 通常的方法是鏈表中每個結點由三個域組成，資料域和左右指標域，左右指標分別用來給出該結點左孩子和右孩子所在的鏈結點的存盤地址 ，鏈式結構又分為二叉鏈和三叉鏈，當前我們學習中一般都是二叉鏈，后面課程學到高階資料結構如紅黑樹等會用到三叉鏈，
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