一、引言
在《人工智能數學基礎–不定積分2：利用換元法求不定積分》、《人工智能數學基礎—不定積分3：分部積分法》分別介紹了換元積分法和分步積分法，但有些函式運算式很復雜，如果直接用換元積分法和分步積分法不好計算積分，這時需要先對函式進行化簡，本文介紹的有理函式求積分就是一種化繁為簡的不定積分計算方法，
二、有理函式的概念
2.1、定義
兩個多項式的商P(x)/Q(x)稱為有理函式，又稱為有理分式，
2.2、補充說明
- 上述定義假設P(x)、Q(x)之間沒有公因式，因為有就可以相約去除；
- 當分子多項式P(x)的次數（變數的最高冪次）小于分母多項式Q(x)的次數，則稱有理函式為真分式，否則稱為假分式；
- 利用多項式的除法，總可以將一個假分式化為一個多項式和一個真分式的和；
- 對于真分式P(x)/Q(x)，如果分母Q(x)可以分解為兩個多項式的乘積Q1(x)Q2(x)，即Q(x)=Q1(x)Q2(x)，且Q1(x)、Q2(x)沒有公因式，則真分式P(x)/Q(x)可以拆分成兩個真分式之和，即：P(x)/Q(x) = P1(x)/Q1(x)+P2(x)/Q2(x)，這個程序稱為把真分式化成部分分式之和，如果Q1(x)或Q2(x)還可以分解成兩個公因式的多項式的乘積，那么可以再拆分成更簡單的部分分式，
- 經過真分式化成部分分式之和的處理后，最后有理函式的分解式中只會出現多項式、P1(x)/(x-a)k、P2(x)/(x2+px+q)l等三類函式（這里p2 - 4q<0，P1(x)為小于k次的多項式，P2(x)為小于2l次的多項式），多項式的積分利用不定積分的加法運算即可以化成每個項的積分，就可以比較容易求出，
思考：學這里時，老猿在想為什么有理函式就可以化為這三種型別的函式呢？仔細想了下，應該是如下理由：
- 多項式以及后面兩個真分式的分子就不用說了，主要是后面兩個真分式的分母為什么是那樣的；
- 任何一個變數的n次多項式，其構成起決定作用的是其最高次數n，而任何一個整數n，都可以表示成一個整數和一個偶數的和，因此才有這兩種形式的分母，
三、真分式的求解積分方法
先看2個例題：
從以上兩個例題可以看到，老猿總結真分式求積分的步驟如下：
- 首先將分母化解為n個沒有公因式的多項式的乘積；
- 將化解后的有理函式拆分成n個真分式的和，每個真分式的分母為上述n個多項式中的一個，分子為比分母低一次的帶未知系數的完整多項式；
- 根據被積函式與上述n個真分式相等的關系，得到變數的每次系數之間的關系，通過這個關系求出所有未知系數，將其帶入到步驟2中的n個真分式中，即將原有理函式求積分化為了n個真分式的和求積分；
- 利用積分加法運算針對每個真分式求積分，得到最后的積分結果，
四、部分非有理函式化為有理函式求積分
有理數函式求積分的方法，不只是能應用于有理函式，也可以應用于用換元法等方法可化為有理函式的的部分函式，
4.1、三角函式案例
小結：可以看到，通過將三角函式進行u=tan（x/2）的換元，就可以將由三角函陣列成的類似有理式的積分計算轉換成有理函式的方式來計算，最后結果再將變數x=2arctan u替換回來即可，這種處理方式對三角函式類似有理式的積分都可以應用，
注意：當變數x∈（（2k-1）π，（2k+1）π）時，作變換u=tan（（x-2kπ）/2）=tan(x/2)，x=2kπ+2arctan u，一樣可以應用有理分式求積分，
4.2、n次開方案例
案例1：
案例2：
小結：通過上面的案例可以看到，如果被積函式中含有簡單根式，可以通過將簡單根式設為u，從而將被積函式化為有理分式，用該有理分式求出積分，再用u到x的反變換將結果代換，就可以求得這種帶根式的函式積分，
五、小結
本文介紹了有理函式的概念及有理函式求積分的方法，并對于類似有理函式的三角函式形式的被積函式和帶根式的被積函式，通過適當地換元變換化為有理函式求積分，
說明：
本文內容是老猿學習同濟版高數的總結，有需要原教材電子版以及OpenCV、Python基礎知識、、影像處理原理介紹相關電子資料，或對文章內有有疑問咨詢的，請掃博客首頁左邊二維碼加微信公號，根據加微信公號后的自動回復操作，
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