人工智能數學基礎---定積分1：定積分的概念以及近似計算

一、引言

在日常計算中，需要進行一些非線性的計算，如曲邊型的面積和變速直線運動的總里程等，由于非線性，導致這些計算不能使用常規的方法來進行，但如果將這些計算涉及的函式在其定義區間上細分成n（n->∞）個區間，在每個細分的區間內，則可以用線性的方法近似用線性的方法來進行計算，

案例：曲邊梯形面積和變速運動歷程

函式f(x)在區間[a,b]上非負、連續，由直線x=a、x=b、y=0以及曲線y=f(x)構成的圖形（如圖5-1）稱為曲邊梯形：

其中曲線y=f(x)稱為曲邊，

將區間[a,b]分成n個區間，每個區間的長度記為Δxi，在每個區間上取任一點 ξi，則以每個小區間Δxi為底以f( ξi)為高的窄矩形近似替代每個小曲邊梯形（或梯形），則整個曲邊梯形的面積A可以用下列公式近似計算：

A ≈ f( ξ1) Δx1+f( ξ2) Δx2+…+f( ξn) Δxn

為了保證小區間的長度無限小，要求λ = max(Δxi)->0，此時n->∞，取上式的極限，便得到曲邊梯形的面積計算公式：

類似地，將時間區間[T1,T2]分成n個區間Δti，最大區間長為λ，在每個區間內任取一個變速運動速度v（Ti），則變速運動的總里程s計算公式可以表示如下：

二、定積分的定義

有上面曲邊梯形的面積計算公式和變速運動的里程計算公式，都由一個自變數及其變化區間所決定，其結果是具有相同結構的一種特定和的極限，通過概括這些計算公式共同的本質和特性，就可以得到定積分的定義：

設函式f(x)在區間[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干個分點：a=x0<x1<x2<…<x_n-1<xn=b，把區間[a,b]分成若干個小區間： [x0,x1]，[x1,x2]，…，[x_n-1,xn]

各個小區間的長度為：Δx1 = x1 - x0、Δx2 = x2 - x1、…、Δxn = xn - x_n-1

在每個小區間[x_i-1，xi]上任取一點ξi，作函式值f(ξi)與小區間長度Δxi的乘積f(ξi)Δxi(i=1,2,…,n)，并作出和：

記λ=max{Δx1,Δx2,…,Δxn}，如果當λ->0時，和S的極限總存在，且與閉區間[a,b]的分法及點ξi的取法無關，那么成極限I為函式f(x)在區間[a,b]上的定積分（簡稱積分），記作：，即：

其中f(x)叫做被積函式，f(x)dx稱為被積運算式，x稱為積分變數，a稱為積分下限，b稱為積分上限，[a,b]稱為積磁區間，和式：

稱為f(x)的積分和，如果f（x）在區間[a,b]上的定積分存在，那么就成f(x)在區間[a,b]上可積，

可以看到定積分和不定積分在被積函式、被積運算式、積分變數上的含義是一致的，

注意：定積分的值只與積磁區間和被積函式相關，與積分變數無關，

三、函式f(x)在區間[a,b]上可積的充分條件

定理1：函式f(x)在區間[a,b]上連續，則f(x)在區間[a,b]上可積

定理2：函式f(x)在區間[a,b]上有界，且只有有限個間斷點，則f(x)在區間[a,b]上可積

四、定積分的幾何意義

1. 在[a，b]上f(x)≥0時，函式f(x)在區間[a，b]上的定積分表示由曲線y=f(x)、兩條直線x=a、x三b與x軸所圍成的曲邊梯形的面積；
2. 在[a，b]上f(x)≤0時，由曲線y=f(x)、兩條直線x=a、x=b與x軸所圍成的曲邊梯形位于x軸的下方，函式f(x)在區間[a，b]上的定積分表示上述曲邊梯形面積的負值；
3. 在[a，b]上f(x)既取得正值又取得負值時，函式(x)的圖形某些部分在 x軸的上方，而其他部分在x軸下方(如圖5-2)，此時函式f(x)在區間[a，b]上的定積分表示x軸上方圖形面積減去x軸下方圖形面積所得之差，
   

五、利用積分定義計算定積分案例

六、定積分的近似計算

1、矩形法

由于函式f(x)在區間[a，b]上的定積分與閉區間[a,b]的分法及每個小區間內點ξi的取法無關，為了求連續函式f(x)在區間[a，b]上的定積分，可采取把區間[a，b]進行n等分的分法，即分成n個等長的區間，每個小區間的長度Δxi=（b-a）/n，

1. 如果在小區間[x_i-1，xi]上，取ξi = x_i-1，則有：
   
   由于對于任意確定的正整數n，有：
   
   記f(xi)=yi(i=0,1,2,…,n)，則上式可記作：
   
2. 類似地，如果在小區間[x_i-1，xi]上，取ξi = xi，則有：
   
   這種求定積分近似值的方法稱為矩形法，公式（1-3）、（1-4）稱為矩形法公式，

矩形法的幾何意義：用窄條矩形的面積作為窄條曲邊梯形面積的近似值，整體上用臺階形的面積作為曲邊梯形面積的近似值，如圖5-3所示：

2、梯形法

為了求連續函式f(x)在區間[a，b]上的定積分，同樣采取把區間[a，b]進行n等分，設f(xi)=yi，曲線上的點（xi，yi）記作Mi，i=(0,1,2,…,n)，將曲線y=f(x)上的小弧段M_i-1Mi用直線段M_i-1Mi代替，也就是把窄條曲邊梯形用窄條梯形代替，如圖5-4（a）所示：

由此得到定積分的近似計算值為：

可以看出，梯形法所得的近似值是矩形法（1-3）、（1-4）所得兩個近似值的平均，

3、拋物線法

拋物線法又稱辛普森（Simpson）法，是將曲線y=f(x)上的兩個弧段M_i-1Mi和MiM_i+1合起來，用通過M_i-1、Mi和M_i+1三點的拋物線y=px²+qx+r代替，如圖5-4(b)所示，經推導可以得，以此拋物線弧段為曲邊，以[M_i-1,M_i+1]為底的曲邊梯形面積為：

取n為偶數，得到定積分的的近似值為：

除了以上三個方法外，定積分的近似計算方法還有很多，這里不再展開介紹，

4、案例

使用上述方法計算定積分的近似值時，先要指定n的值，然后將區間n等分得到各個xi的值，然后計算各f(xi)的函式值，再根據具體計算方法來計算對應定積分，

我們來看案例：

七、小結

本文介紹了定積分的概念、幾何意義、用定義來求定積分的案例以及使用矩形法、梯形法和拋物線法求定積分近似值的方法和案例，需要注意定積分的近似計算方法還有很多，現在一些數學軟體也支持定積分的近似計算，大家可以根據具體運算需要確定將積磁區間等分份數以及近似計算方法來具體運用，

說明：

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