一、引言
在《人工智能數學基礎–不定積分2：利用換元法求不定積分》介紹了三種換元法求不定積分的方法及案例，在《人工智能數學基礎—定積分3：微積分基本公式（牛頓-萊布尼茨公式）》介紹了可以使用微積分基本公式–牛頓-萊布尼茨公式計算定積分，那么在一定條件下利用換元法求定積分就是顯而易見的可行方法，
二、換元公式
2.1、換元公式定理
定理：設函式f(x)在區間[a,b]上連續，函式x=Φ(t)滿足條件：
- Φ（α） = a，Φ(β) = b；
- Φ（t）在區間[α，β]上（或[β，α]上）具有連續導數，且其值域RΦ=[a,b]，或者值域RΦ雖然超出[a,b]，但f(x)在RΦ上連續，則有：
公式（3-1）叫做定積分的換元公式，
可以看到，該公式與不定積分換元法的第二個公式的區別有兩點，一是符號由不定積分變為了定積分，二是等式右邊沒有加t為x的反函式值的說明，這是因為可以通過t直接進行定積分值的計算，不需要還原到x再計算，具體請見下面的說明，
**證明思路：**等式兩邊的被積函式的原函式都存在，所以可以應用牛頓-萊布尼茨公式，假設F(x)是f(x)的原函式，則可得：
另一方面，記Φ（t）= F(φ(t))，對其求導數可以證明它是f(φ(t))φ’(t)的原函式，因此有：
因此有：
從而可知定理成立，
注意：
- 在定積分中的dx，本來是定積分記號中的一個不可分割部分，但在定積分中利用換元公式時，可以將其作為微分記號，即在x=φ(t)時，dx = φ’(t)dt；
- 應用換元公式時，用x=φ(t)把原變數x代換成新變數t時，積磁區間的上下限也需要換成新變數t的上下限；
- 求出f(φ(t))φ’(t)的原函式Φ（t）后，不必象計算不定積分那樣再把Φ（t）變換成原來變數x的函式，而只要把新變數t的上下限分別代入Φ（t）相減即可；
- 換元公式可以反過來使用，即把公式（3-1）左右兩邊對調，為了記憶方便（即換元都是x換為t），把t和x也進行互換，得到如下公式：
這樣就是用t=φ（x）來引入新變數t，而α=φ（a）、β=φ（b），
三、案例
案例1
案例2
案例3
四、一些特殊函式的定積分性質
4.1、關于奇偶函式定積分的性質
1、如果f(x)在[-a,a]上連續且為偶函式，則：
2、如果f(x)在[-a,a]上連續且為偶函式，則：
這兩個性質的證明非常容易，首先將其拆分為[-a,0]和[0,a]的定積分之后，對于負區間，用x=-t進行變換，結合奇偶函式的性質及定積分的補充規定即可證明，
利用這兩個性質，可以簡化奇偶函式在關于原點對稱區間的定積分的計算，
4.2、關于f(sinx)復合函式的定積分
設f(x)在[0,1]上連續，則有：
這2個性質的證明只需要設t=π-x，通過函式及微積分的基礎知識即可，
4.3、周期函式的定積分
設f(x)是連續的周期函式，則：
這2個證明應該非常容易，基于周期函式的性質就可以，
五、小結
本節介紹了定積分的換元公式，并舉例介紹了通過換元法計算定積分的具體程序，需要注意，定積分計算時一定要關注不同積磁區間可能原函式不同的情況，
說明：
本文內容是老猿學習同濟版高數的總結，有需要原教材電子版以及OpenCV、Python基礎知識、、影像處理原理介紹相關電子資料，或對文章內有有疑問咨詢的，請掃博客首頁左邊二維碼加微信公號，根據加微信公號后的自動回復操作，
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