人工智能數學基礎---定積分8：無窮限反常積分審斂法

一、引言

在《人工智能數學基礎—定積分6：無窮限函式的反常積分計算》介紹了無窮限函式的反常積分概念、計算方法以及收斂性的判斷方法，通過求被積函式的原函式，然后按定義取極限，根據極限的存在與否來判定是否收斂，除了這條路，還有一種反常積分收斂性的判斷方法，這就是本節要介紹的無窮限函式的反常積分審斂法，

所謂審斂法就是判斷函式或級數是否收斂的方法，

二、無窮限反常積分審斂法

無窮限的反常積分的無窮限是指區間[a，+∞），a∈R，如無特別說明，下面介紹的內容都是基于此為前提，

2.1、函式值大于等于0且有界連續函式的無窮限反常積分收斂

定理1：設函式f(x)在區間[a，+∞）上連續，且f(x)≥0，若f(x)對應的無窮限積分上限函式：

在區間[a，+∞）上有上界，則下面的反常積分收斂：

這是因為f(x)≥0，故F(x)在區間[a，+∞）上單調遞增，又F(x)在[a，+∞）上有上界，因此F(x)在區間[a，+∞）上是單調有界函式，因此F(x)必有極限，因此該反常積分收斂，

2.2、比較審斂原理

定理2：設函式f(x)、g(x)在區間[a，+∞）上連續，如果0≤f(x)≤g(x)(a≤x<+∞)，并且g(x)在[a，+∞）上的無窮限反常積分收斂，那么f(x))在[a，+∞）上的無窮限反常積分也收斂；如果0≤g(x)≤f(x)(a≤x<+∞)，并且g(x)在[a，+∞）上的無窮限反常積分發散，那么f(x))在[a，+∞）上的無窮限反常積分也發散，

這個定理的證明非常容易，在此不進行介紹，

2.3、比較審斂法1

定理3：設函式f(x)在區間[a，+∞）（a>0）上連續，且f(x)≥0，如果存在常數M>0及p>1，使得f(x)≤M/x^p(a≤x<+∞)，那么f(x)在區間[a，+∞）（a>0）對應的無窮限反常積分收斂；如果存在常數N>0，使得f(x)≥N/x，那么f(x)在區間[a，+∞）（a>0）對應的無窮限反常積分發散，

證明思路：

在《人工智能數學基礎—定積分6：無窮限函式的反常積分計算》例3證明了函式f(x)=1/x^p在[a，+∞)（a>0）上當p>1時收斂，當p≤1時發散，取g(x)=A*f(x)(A>0)，即可求證，

應用案例：

2.4、極限審斂法1

定理4：設函式f(x)在區間[a，+∞）上連續，且f(x)≥0，如果存在常數p>1，使得x->+∞時x^pf(x)的極限存在且等于c（c小于+∞），那么f(x)在區間[a，+∞）上對應的無窮限反常積分收斂；如果x->+∞時xf(x)的極限存在且等于d（d>0），那么f(x)在區間[a，+∞）對應的無窮限反常積分發散，

我們首先來看書上的證明：

老猿很花了點時間去理解這個證明，上述證明在證明兩個結論時，都使用了極限的定義，第一個結論證明時，將無窮限的反常積分分成了一個定積分和一個無窮限反常積分之和，并證明拆分后的那個反常積分是收斂的從而證明出整個無窮限反常積分收斂，第二個結論證明時，同樣用極限定義，卻證明了f(x)的反常積分發散，感覺只是因為取的極限定義中的ε不同值導致的，是否反過來取ε值結論會不一樣呢？

兩個結論的證明程序如果反過來取ε的值，第一個只能證明f(x)大于一個存在收斂的無窮限反常積分函式，但這既不能證明f(x)收斂、又不能證明f(x)發散，同樣第二個只能證明f(x)小于一個無窮限反常積分發散的函式，同樣既不能證明f(x)收斂、又不能證明f(x)發散，

這里的根本原因是由于函式f(x)=1/x^p在[a，+∞)（a>0）上當p>1時收斂，當p≤1時發散，因此只能使用文中的方法去證明才能得出可靠的結論，

應用案例：

2.5、絕對收斂

定理5：設函式f(x)在區間[a，+∞）上連續，如果反常積分：

收斂，那么反常積分：

也收斂，

**證明思路：**令φ(x) = (f(x0+|f(x)|)/2，可知φ(x)≤|f(x)|，可得φ(x) 的反常積分收斂，而f(x)是φ(x)-|f(x)|，因此兩個收斂的反常積分差也收斂，

定理5可以簡述為：絕對收斂的反常積分必定收斂，

應用案例：

三、小結

本文介紹了連續函式在無窮限（這里說的無窮限是指[a，+∞)）區間的反常積分收斂性判斷的幾個方法，包括判斷函式值大于等于0且有界、比較審斂原理、比較審斂法1、極限審斂法1以及絕對收斂法等，通過這些方法可以脫離原函式來判斷無窮限反常積分是否收斂，

注：這里比較審斂法1、極限審斂法1都帶有1，是因為這兩個方法對無界函式也有類似規則，

說明：

本文內容是老猿學習同濟版高數的總結，有需要原教材電子版以及OpenCV、Python基礎知識、、影像處理原理介紹相關電子資料，或對文章內有有疑問咨詢的，請掃博客首頁左邊二維碼加微信公號，根據加微信公號后的自動回復操作，

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