人工智能數學基礎---定積分9：無界函式反常積分審斂法以及無界函式Γ函式介紹

一、引言

在《人工智能數學基礎—定積分7：無界函式的反常積分計算》介紹了無界函式的反常積分概念、計算方法以及收斂性的判斷方法，通過求被積函式的原函式，然后按定義取極限，根據極限的存在與否來判定是否收斂，除了這種方式判斷無界函式的反常積分是否收斂外，還有一種反常積分收斂性的判斷方法，這就是本節要介紹的無界函式的反常積分審斂法，

注：所謂審斂法就是判斷函式或級數是否收斂的方法，

二、無界函式反常積分審斂法

2.1、比較審斂法2

由《人工智能數學基礎—定積分7：無界函式的反常積分計算》案例2可知，無界函式反常積分：

當q<1時收斂，當q≥1時發散，與《人工智能數學基礎—定積分8：無窮限反常積分審斂法》介紹的比較審斂法1類似，可以得到無界函式反常積分的比較審斂法2，

定理：設函式f(x)在區間(a，b]上連續，且f(x)≥0，x=a為f(x)的瑕點，如果存在常數M>0及q<1，使得：

那么f(x)在區間(a，b]上對應的反常積分收斂；如果存在常數N>0，使得：

那么f(x)在區間(a，b]上對應的反常積分發散，

注意：針對第一個結論，這里的q的取值與比較審斂法1中p的取值對應的收斂情況恰好相反，老猿仔細思考發現，其實本質上二者對應的積分函式的原函式類似，如設t=x-a，則本定理中f(t)就類似比較審斂法1中的f(x)，但二者的區間不同，在比較審斂法中x的區間為[a，+∞)，而本定理中t的范圍為（0，b-a]，設M=N=1，在q≠1的情況下二者對應的被積函式本質上都是f(x)=1/x^p：

1. f(x)的原函式=∫(1/x^p)dx=∫x^-pdx =（ x^-p+1）/(-p+1)+C=(x^1-p）/(1-p)+C，假設C=0，則∫(1/x^p)dx= (x^1-p）/(1-p)
2. 比較審斂法1中的f(x)的反常積分為區間為[a，+∞)，當p＞1時，根據原函式容易證明該反常積分收斂，p≤1時發散；
3. 比較審斂法2中的f(t)的反常積分為區間為(0，b-a]，當p<1時，根據原函式容易證明該反常積分收斂，當p≥1時發散，

因此兩個比較審斂法因為積磁區間不同導致p的取值對反常積分的收斂性產生了完全不同的影響，

2.2、極限審斂法2

定理4：設函式f(x)在區間(a，b]上連續，且f(x)≥0，x=a為f(x)的瑕點，如果存在常數0<q<1，使得：

存在，那么反常積分：

收斂，如果：

那么該反常積分發散，

應用案例：

三、Γ函式

3.1、Γ函式定義

注：Γ為希臘字母γ的大寫，讀gamma（伽瑪），

3.2、Γ函式收斂性判斷

Γ函式右端積分中，當s<1時x=0是被積函式的瑕點，因此可以將該積分表示為如下兩個積分的和：

對I1，當s≥1時，I1是定積分，當s<1時，因為：

根據比較審斂法2可以證明反常積分I1收斂，

再討論I2，因為：

根據極限審斂法1可得到I2也收斂，

因此在s＞0時，Γ函式收斂，

3.3、Γ函式的熟悉

3.3.1、Γ函式的圖形

3.3.2、Γ函式遞推公式

Γ函式遞推公式：Γ（s+1） = s Γ(s) (s>0)

證：應用分部積分法：

一般地對于任何正整數n，有：Γ(n+1) = n!，因此可以把Γ函式看成是階乘的推廣，

3.3.3、當s->0⁺時，Γ(s)->+∞

證明：
因為Γ(s) = Γ(s+1)/s，因為Γ函式在s>0時連續，因此當s->0⁺時，lim Γ(s+1) = lim Γ(1)，而Γ(1)=1，所以當s->0⁺時，Γ(s)->+∞，

3.3.4、余元公式

公式：Γ(s)Γ(1-s) = π/sin πs（0<s<1）

這個公式的證明比較復雜，書上也沒介紹，在此也不進行介紹，感興趣的自己在網上查詢，

當s=1/2時，由余元公式可得：

3.3.5、Γ函式應用

四、小結

本文介紹了無界函式反常積分的比較審斂法和極限審斂法，以及特殊的無界函式Γ函式，以及Γ函式的一些特殊屬性，

注：這里比較審斂法2、極限審斂法2都帶有2，是因為這兩個方法對無窮限函式也有類似規則，

ps：本節為定積分的最后一節，后面還有定積分的應用和微分方程兩章，暫時停一下，以后再學習，后面準備恢復數字影像處理的學習，

說明：

本文內容是老猿學習同濟版高數的總結，有需要原教材電子版以及OpenCV、Python基礎知識、、影像處理原理介紹相關電子資料，或對文章內有有疑問咨詢的，請掃博客首頁左邊二維碼加微信公號，根據加微信公號后的自動回復操作，

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