演算法簡介

與平滑指數法，移動平均法一樣，自適應過濾法也是一種預測時間序列的方法，但相較于前兩者，自適應過濾法有著可以對引數進行調整的優點，他可以根據前若干個資料，來不斷地嘗試算出與后一個數相同的結果，故相對與平滑指數法以及移動平均法，可以更好地對時間序列進行擬合，此外，自適應過濾法思路簡單，所以相對容易實作，可以在資料比較平穩的情況下使用，

本文將以上海財經大學出版社《統計預測和決策》中的【例6-1】為例，對該演算法進行講解，

演算法思路

該演算法首先需要構造線性的預測模型，之后確定權重個數以及權重初始值，并根據權重及線性預測模型計算預測值，并計算該預測值與真實值間的誤差，之后再根據誤差，前p個值組成的向量及他們所構成的迭代函式來對權重進行調整，知道第p個值為0.

引數確定

首先，我們假設有一組時間序列為
x 0 , x 1 , x 2 , . . . , x t x_{0},x_{1},x_{2},...,x_{t} x0?,x1?,x2?,...,xt?
之后，我們確定權重個數p(p<t)，在本例中，p取2，然后，我們通過權重個數以及時間序列的前p大的資料來確定學習函式：
k = 1 [ ∑ i = 0 p ? 1 x ^ i 2 ] m a x k=\frac{1}{[\sum^{p-1}_{i=0}\hat{x}^2_i]_{max}} k=[∑i=0p?1?x^i2?]max?1?
在這里，我們需要對原始時間序列進行一個排序，然后取最大的p個值，

然后，我們設權重向量為 ? \boldsymbol{\phi} ?，其每一個元素的初始值為 1 p \frac{1}{p} p1?，在本例中，權重向量為 [ 0.5 , 0.5 ] [0.5,0.5] [0.5,0.5]

構建預測模型

我們將權重與對應前p個未知數相乘，得到預測模型： x p = ∑ i = 0 p ? 1 ? i x i x_{p}=\sum^{p-1}_{i=0}\phi_{i}x_{i} xp?=i=0∑p?1??i?xi?在本例中，其預測模型為 x ^ 2 = 0.5 x 0 + 0.5 x 1 \hat{x}_{2}=0.5x_{0}+0.5x_{1} x^2?=0.5x0?+0.5x1?

損失函式

在這里，我們將損失函式定義為時間序列的第p個值，既 p t p_{t} pt?，減去預測值
e p = x p ? x ^ p e_{p}=x_{p}-\hat{x}_{p} ep?=xp??x^p?
當然，你也可以使用MSE(標準均方誤差)為損失函式

迭代條件

當 e p e_{p} ep?小于設定閾值(本例選擇0.001，當然也可以不設定，即閾值為0）當前迭代次數epoch小于最大迭代數max_epoch(這里選擇為100)時，進行迭代運算，

調整后的第i個權重為: ? i ′ = ? i + 2 k e p x p ? i \phi^{'}_{i}=\phi_{i}+2ke_{p}x_{p-i} ?i′?=?i?+2kep?xp?i?

程式代碼

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Created on Thu Oct  27 13:55:00 2021

@author: Joseph.chunfai.Lai
上海財經大學出版社 《統計預測與決策（第五版）》 例6-1

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'''引入相關的庫'''
import numpy as np


class AFM:
    def __init__(self, Data, P=2):
        self.Data = Data
        self.Data_sort = np.sort(Data)[::-1]
        self.P = P  # 權重數
        self.K = K = 1 / np.sum((self.Data_sort[0] ** 2, self.Data_sort[1] ** 2))  # 學習係數/學習率
        self.threshold = 0.001  # 損失函數閾值
        self.Max_epoch = 100  # 最大迭代次數
        phi = []
        # 初始參數
        for i in range(2):
            phi.append(1 / self.P)

        self.phi = np.array(phi)

    def Error(self, x_predict, x_target):
        return x_target - x_predict

    def Cal_weight(self):
        iter_epoch = 0
        X_predict = np.dot(self.phi, self.Data[0:2])
        # print(X_predict)
        error = self.Error(X_predict, self.Data[self.P])
        # print(error)

        # print(Data[0:2][::-1])
        # 開始迭代

        while (np.abs(error) > self.threshold) and (iter_epoch < self.Max_epoch):  # 終止條件為誤差小於設定閾值或大於等於最大迭代次數，根據De
            # Morgen定律 ,執行條件為誤差大於閾值且當前迭代次數小於最大迭代次數

            x_predict = np.dot(self.phi, self.Data[0:2])  # 計算預測值
            error = self.Error(x_predict, self.Data[self.P])  # 計算誤差
            self.phi = self.phi + 2 * self.K * error * self.Data[0:self.P][::-1]
            iter_epoch = iter_epoch + 1
            print('第{}輪迭代,誤差為{:.2f}'.format(iter_epoch, error))

        print('算得調整後的權重為: \n', self.phi)
        return self.phi


if __name__ == "__main__":
    Data = np.array([43, 45, 48, 50, 53])
    Phi = AFM(Data, P=2).Cal_weight()
    
    print('Success!')

參考資料

[1]：徐國祥.統計預測和決策(第五版).上海財經大學出版社