OpenCV-Python教程：統計函式~L1、L2、無窮范數、漢明范數(norm,NORM_HAMMING2,NORM

原文鏈接：http://www.juzicode.com/opencv-python-statistics-norm

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1、什么是范數

下圖是百度百科關于范數的定義：

從定義可以看到L1范數是所有元素的絕對值的和；L2范數是所有元素(絕對值)的平方和再開方；無窮范數是所有元素取絕對值后再取最大值；在OpenCV中所有元素展開成一個集合構成了上述x1，x2……xn；

漢明范數不在上述定義中，漢明范數又稱漢明距離，最開始用于資料傳輸的差錯控制編碼，表示兩個相同長度的二進制數值其對應bit位不同的數量，統計兩個數對應bit位的差異，需要對兩個數值進行異或運算，統計異或結果中1的個數就是它們的漢明范數(漢明距離)，統計單個數值的漢明范數可以看做將這個數和0進行異或運算后，統計異或結果中1的個數，因為一個數值和0進行異或得到的是其自己，所以統計單個數值的漢明范數就是統計自身bit位為1的個數，計算一個資料集合的漢明范數就是計算這些單個元素漢明范數的總和，

2、介面

norm()用來計算影像的L1,L2,無窮范數以及漢明范數，OpenCV中提供了2種介面形式，第1種介面只需一個輸入影像，第2種介面有2個輸入影像，

第1種介面形式：

cv2.norm(src1[, normType[, mask]]) ->retval

引數含義：
src1：輸入影像，如果是多通道時不區分通道計算；求漢明范數時必須是單通道8bit資料型別；
normType：范數型別；
mask：掩碼；
retval：回傳的范數值，浮點型別；

第2種介面形式：

cv2.norm(src1, src2[, normType[, mask]]) ->retval

引數含義：
src1：輸入影像，如果是多通道時不區分通道計算；求漢明范數時必須是單通道8bit資料型別；
src2：輸入影像；
normType：范數型別；
mask：掩碼；
retval：回傳的范數值，浮點型別；

src1、src2作為輸入影像可以是單通道也可以是多通道影像，當使用多通道影像時，并不分開通道計算，這點和很多函式是不同的，如果要計算單獨通道的范數，則需要先將通道分離，另外在計算漢明范數時，限定了輸入影像必須為CV_8U型別的，

normType可選的型別有：

nomrType	名稱	輸入影像只有src1	輸入影像有src1和src2
NORM_L1	L1范數	所有元素的絕對值的和	src1-src2的所有元素的絕對值的和
NORM_L2	L2范數	所有元素平方和的開平方	src1-src2的所有元素平方和的開平方
NORM_L2SQR	L2范數平方	所有元素平方和	src1-src2的所有元素平方和
NORM_INF	無窮范數	元素中絕對值最大的數值	src1-src2的元素中絕對值最大的數值
NORM_HAMMING	漢明范數	計算src1和0的漢明距離，也即所有元素中1的位數的總和	src1和src2異或后元素中1的位數的總和
NORM_HAMMING2	漢明范數2	單個元素從右到左相鄰的兩個bit，如果不全0記為一個1，然后統計新的1的位數	src1和src2異或后元素按照左側的方法計算1的位數

注意這里當有2個輸入影像src1和src2時，L1,L2和無窮范數的計算是先將2個影像相減，而計算漢明范數時則是將2個影像異或，

3、L1,L2和無窮范數

下面先來看下L1,L2和無窮范數：

import numpy as np
import cv2
print('VX公眾號: 桔子code / juzicode.com')
print('cv2.__version__:',cv2.__version__)

img_src = cv2.imread('..\\samples\\data\\lena.jpg')#,cv2.IMREAD_GRAYSCALE) 
val = cv2.norm(img_src,cv2.NORM_L2)
print('lena影像L2范數:',val )
val = cv2.norm(img_src,cv2.NORM_L2SQR)
print('lena影像L2范數平方:',val )
val = cv2.norm(img_src,cv2.NORM_L1)
print('lena影像L1范數:',val )
val = cv2.norm(img_src,cv2.NORM_INF)
print('lena影像無窮范數:',val )

arr = np.eye(5) 
arr[1][0]=-5
val = cv2.norm(arr) #默認是L2范數
print('改造后np.eye(5)的L2范數:', val)
val = cv2.norm(arr,cv2.NORM_L2SQR)
print('改造后np.eye(5)的L2范數平方:',val )
val = cv2.norm(arr,cv2.NORM_L1)
print('改造后np.eye(5)的L1范數:',val )
val = cv2.norm(arr,cv2.NORM_INF)
print('改造后np.eye(5)的無窮范數:',val )

運行結果如下，從改造的5×5對角陣里可以很好的驗證L1,L2和無窮范數，這個“矩陣”對角線上有5個數值1外加arr[1][0]=-5，L2范數平方就是5個1的平方加-5的平方等于30，L1范數就是5個1和-5的絕對值相加為10，無窮范數就是絕對值最大的數-5取絕對值后的5：

lena影像L2范數: 125059.42229996106
lena影像L2范數平方: 15639859106.0
lena影像L1范數: 100844698.0
lena影像無窮范數: 255.0
改造后np.eye(5)的L2范數: 5.477225575051661
改造后np.eye(5)的L2范數平方: 30.0
改造后np.eye(5)的L1范數: 10.0
改造后np.eye(5)的無窮范數: 5.0

4、漢明范數

接下來我們來看下漢明范數，需要注意的是漢明范數的計算要求輸入影像只能是CV_8U型別的單通道資料，

NORM_HAMMING比較好理解，就是將每個元素用二進制表示，然后數其中的bit為1的數目，最后加起來有多少個1就是其NORM_HAMMING范數，

NORM_HAMMING2稍微復雜些，它需要先考察相鄰的2個bit位，如果2個bit位不全為0記做一個1，即使2個bit都是1也只記做1，比如數值0x30=0b0011 0000，從右向左每2個bit位劃分為1組，這樣就劃分為4組： 00 11 00 00 ，這樣只有第2組中有2個bit位為1，所以這個時候0x30的NORM_HAMMING2就為1，再比如0x18 = 0b00011000，相鄰的2bit劃分后就是 00 01 10 00，這樣有2組的bit位中有1，所以0x18的NORM_HAMMING2就為2，

下面的例子我們手動構造一個簡單的numpy陣列，這是一個2×2的陣列，其中1個元素按照上表取值，其他3個元素為0，這樣每次只變化1個數值來計算其漢明范數，對上面這個圖表進行驗證：

import numpy as np
import cv2
print('VX公眾號: 桔子code / juzicode.com')
print('cv2.__version__:',cv2.__version__)

arr = np.array([[0,0],[0,0x01]],dtype=np.uint8)
print('0x01的NORM_HAMMING:',cv2.norm(arr,cv2.NORM_HAMMING) )
print('0x01的NORM_HAMMING2:',cv2.norm(arr,cv2.NORM_HAMMING2) )
arr = np.array([[0,0],[0,0x03]],dtype=np.uint8)
print('0x03的NORM_HAMMING:',cv2.norm(arr,cv2.NORM_HAMMING) )
print('0x03的NORM_HAMMING2:',cv2.norm(arr,cv2.NORM_HAMMING2) )
arr = np.array([[0,0],[0,0x0f]],dtype=np.uint8)
print('0x0f的NORM_HAMMING:',cv2.norm(arr,cv2.NORM_HAMMING) )
print('0x0f的NORM_HAMMING2:',cv2.norm(arr,cv2.NORM_HAMMING2) )
arr = np.array([[0,0],[0,0x30]],dtype=np.uint8)
print('0x30的NORM_HAMMING:',cv2.norm(arr,cv2.NORM_HAMMING) )
print('0x30的NORM_HAMMING2:',cv2.norm(arr,cv2.NORM_HAMMING2) )
arr = np.array([[0,0],[0,0x18]],dtype=np.uint8)
print('0x18的NORM_HAMMING:',cv2.norm(arr,cv2.NORM_HAMMING) )
print('0x18的NORM_HAMMING2:',cv2.norm(arr,cv2.NORM_HAMMING2) )
arr = np.array([[0,0],[0,0x1C]],dtype=np.uint8)
print('0x1C的NORM_HAMMING:',cv2.norm(arr,cv2.NORM_HAMMING) )
print('0x1C的NORM_HAMMING2:',cv2.norm(arr,cv2.NORM_HAMMING2) )
arr = np.array([[0,0],[0,0x1E]],dtype=np.uint8)
print('0x1E的NORM_HAMMING:',cv2.norm(arr,cv2.NORM_HAMMING) )
print('0x1E的NORM_HAMMING2:',cv2.norm(arr,cv2.NORM_HAMMING2) )
arr = np.array([[0,0],[0,0xFF]],dtype=np.uint8)
print('0xFF的NORM_HAMMING:',cv2.norm(arr,cv2.NORM_HAMMING) )
print('0xFF的NORM_HAMMING2:',cv2.norm(arr,cv2.NORM_HAMMING2) )

運行結果：

VX公眾號: 桔子code / juzicode.com
cv2.__version__: 4.5.3
0x01的NORM_HAMMING: 1.0
0x01的NORM_HAMMING2: 1.0
0x03的NORM_HAMMING: 2.0
0x03的NORM_HAMMING2: 1.0
0x0f的NORM_HAMMING: 4.0
0x0f的NORM_HAMMING2: 2.0
0x30的NORM_HAMMING: 2.0
0x30的NORM_HAMMING2: 1.0
0x18的NORM_HAMMING: 2.0
0x18的NORM_HAMMING2: 2.0
0x1C的NORM_HAMMING: 3.0
0x1C的NORM_HAMMING2: 2.0
0x1E的NORM_HAMMING: 4.0
0x1E的NORM_HAMMING2: 3.0
0xFF的NORM_HAMMING: 8.0
0xFF的NORM_HAMMING2: 4.0

上面例子運行的結果和漢明范數示例中的結果是一致的，

接下來我們再進一步驗證下NORM_HAMMING2所表示的“相鄰2bit”的含義，考察一個8bit（np.unit8或CV_8U）的數值n，從右到左每2個bit如果不全為0，對應這2個bit就得到一個漢明距離1，否則就為0，我們就可以像下圖這樣設計4個掩碼：0xC0,0x30,0x0C,0x03，如果這個數值n和這4個掩碼進行位與，位與后的結果不為0就得到一個漢明距離1，否則就為0，再把這4個位與結果相加，就得到了這個8bit數值n的HAMMING2范數：

將上面的程序用代碼表示，是下面這樣的，其中輸入數值n，回傳HAMMING2范數：

def cal2bithamm(n):
    c = 0 
    for t in [0xc0,0x30,0x0c,0x03]:
        if t & n: c +=1 
    return c

有了計算單個數值HAMMING2范數計算方法，我們擴展到一個影像里，將一個影像先展開為一維陣列，再計算每個元素的HAMMING2范數并累加：

img_src = cv2.imread('..\\samples\\data\\lena.jpg',cv2.IMREAD_GRAYSCALE) 
print('lena的NORM_HAMMING:',cv2.norm(img_src,cv2.NORM_HAMMING) )
print('lena的NORM_HAMMING2:',cv2.norm(img_src,cv2.NORM_HAMMING2) )

hamming2=0
img_src_flat = img_src.flatten() #展開成一維陣列
for n in img_src_flat:
    hamming2 += cal2bithamm(n)   #單個計算，累加hamming2范數
print('lena的NORM_HAMMING2（驗證計算）:',hamming2)

運行結果：

lena的NORM_HAMMING: 1032143.0
lena的NORM_HAMMING2: 809303.0
lena的NORM_HAMMING2（驗證計算）: 809303

從運行結果可以看到手動計算的HAMMING2范數結果為809303，與OpenCV norm()函式計算的結果是一樣的，

5、雙影像輸入

第2種介面形式中，有2路輸入影像src1和src2，當使用該介面時，要保證輸入的影像大小一樣、影像的資料型別一樣，下面這個例子中將lena圖的bgr通道分離出來，用其中的b、g通道分別作為輸入src1和src2，計算其L1、L2、無窮范數：

import numpy as np
import cv2
print('VX公眾號: 桔子code / juzicode.com')
print('cv2.__version__:',cv2.__version__)

img_src_ = cv2.imread('..\\samples\\data\\lena.jpg')#,cv2.IMREAD_GRAYSCALE) 
b,g,r = cv2.split(img_src_) #分離通道作為2路影像輸入
val = cv2.norm(b,g,cv2.NORM_L2)
print('lena影像b-vs-g L2范數:',val )
val = cv2.norm(b,g,cv2.NORM_L2SQR)
print('lena影像b-vs-g L2范數平方:',val )
val = cv2.norm(b,g,cv2.NORM_L1)
print('lena影像b-vs-g L1范數:',val )
val = cv2.norm(b,g,cv2.NORM_INF)
print('lena影像b-vs-g 無窮范數:',val )

運行結果：

VX公眾號: 桔子code / juzicode.com
cv2.__version__: 4.5.3
lena影像b-vs-g L2范數: 13469.265421692455
lena影像b-vs-g L2范數平方: 181421111.0
lena影像b-vs-g L1范數: 5466267.0
lena影像b-vs-g 無窮范數: 123.0

從 OpenCV-Python教程：影像的減法運算、標量加減運算一文我們知道影像的減法有cv2.subtract()，cv2.absdiff()以及numpy陣列的減法，下面通過實驗驗證下norm()的第2種介面求L1、L2和無窮范數用的是哪一種等價減法：

#用absdiff減法驗證,結果一樣
val = cv2.norm(cv2.absdiff(b,g),cv2.NORM_L2)
print('lena影像cv2.absdiff(b,g) L2范數:',val )
val = cv2.norm(cv2.absdiff(b,g),cv2.NORM_L2SQR)
print('lena影像cv2.absdiff(b,g)L2范數平方:',val )
val = cv2.norm(cv2.absdiff(b,g),cv2.NORM_L1)
print('lena影像cv2.absdiff(b,g) L1范數:',val )
val = cv2.norm(cv2.absdiff(b,g),cv2.NORM_INF)
print('lena影像cv2.absdiff(b,g) 無窮范數:',val )

#用subtract驗證,結果不一樣
val = cv2.norm(cv2.subtract(b,g),cv2.NORM_L2)
print('lena影像cv2.subtract(b,g) L2范數:',val )
val = cv2.norm(cv2.subtract(b,g),cv2.NORM_L2SQR)
print('lena影像cv2.subtract(b,g)L2范數平方:',val )
val = cv2.norm(cv2.subtract(b,g),cv2.NORM_L1)
print('lena影像cv2.subtract(b,g) L1范數:',val )
val = cv2.norm(cv2.subtract(b,g),cv2.NORM_INF)
print('lena影像cv2.subtract(b,g) 無窮范數:',val )

#用numpy減法驗證,結果不一樣
val = cv2.norm(b-g,cv2.NORM_L2)
print('lena影像b-g L2范數:',val )
val = cv2.norm(b-g,cv2.NORM_L2SQR)
print('lena影像b-g L2范數平方:',val )
val = cv2.norm(b-g,cv2.NORM_L1)
print('lena影像b-g L1范數:',val )
val = cv2.norm(b-g,cv2.NORM_INF)
print('lena影像b-g 無窮范數:',val )

運行結果：

lena影像b-vs-g L2范數: 13469.265421692455           ######等價
lena影像b-vs-g L2范數平方: 181421111.0   
lena影像b-vs-g L1范數: 5466267.0
lena影像b-vs-g 無窮范數: 123.0
lena影像cv2.absdiff(b,g) L2范數: 13469.265421692455 ######absdiff等價第2種介面
lena影像cv2.absdiff(b,g)L2范數平方: 181421111.0     
lena影像cv2.absdiff(b,g) L1范數: 5466267.0
lena影像cv2.absdiff(b,g) 無窮范數: 123.0            
lena影像cv2.subtract(b,g) L2范數: 11262.058870384224
lena影像cv2.subtract(b,g)L2范數平方: 126833970.0
lena影像cv2.subtract(b,g) L1范數: 3498108.0
lena影像cv2.subtract(b,g) 無窮范數: 81.0
lena影像b-g L2范數: 82887.89184796535
lena影像b-g L2范數平方: 6870402615.0
lena影像b-g L1范數: 31595101.0
lena影像b-g 無窮范數: 255.0

從上面的實驗可以看到，用cv2.absdiff()先計算出2個影像的結果，再用第1種介面計算出來的L1、L2和無窮范數，和用第2種介面直接求出來的L1、L2、無窮范數是一樣的，

從nomrType表格和前面的例子中我們看到第2種函式介面計算2個輸入影像的L1,L2和無窮范數時，實際上是計算cv2.absdiff(src1,src2)的相應范數，接下來再看下漢明范數是不是也是如此，下面的例子首先根據第2種介面計算出漢明范數，再將2個影像異或后用第1種介面計算漢明范數，最后是3種減法得到的結果用第1種介面計算漢明范數：

import numpy as np
import cv2
print('VX公眾號: 桔子code / juzicode.com')
print('cv2.__version__:',cv2.__version__)

img_src_ = cv2.imread('..\\samples\\data\\lena.jpg')#,cv2.IMREAD_GRAYSCALE) 
b,g,r = cv2.split(img_src_) #分離通道
val = cv2.norm(b,g,cv2.NORM_HAMMING)
print('lena影像b-vs-g NORM_HAMMING范數:',val )
val = cv2.norm(b,g,cv2.NORM_HAMMING2)
print('lena影像b-vs-g NORM_HAMMING范數2:',val )
#進行異或運算
img_xor=cv2.bitwise_xor(b,g)
val = cv2.norm(img_xor,cv2.NORM_HAMMING)
print('lena影像xor-b g NORM_HAMMING范數:',val )
val = cv2.norm(img_xor,cv2.NORM_HAMMING2)
print('lena影像xor-b g NORM_HAMMING范數2:',val )
#absdiff(b,r)
val = cv2.norm(cv2.absdiff(b,g),cv2.NORM_HAMMING)
print('lena影像absdiff(b,g) NORM_HAMMING范數:',val )
val = cv2.norm(cv2.absdiff(b,g),cv2.NORM_HAMMING2)
print('lena影像absdiff(b,g) NORM_HAMMING范數2:',val )
#subtract(b,r)
val = cv2.norm(cv2.subtract(b,g),cv2.NORM_HAMMING)
print('lena影像subtract(b,g) NORM_HAMMING范數:',val )
val = cv2.norm(cv2.subtract(b,g),cv2.NORM_HAMMING2)
print('lena影像subtract(b,g) NORM_HAMMING范數2:',val )
#b-g通道
val = cv2.norm(b-g,cv2.NORM_HAMMING)
print('lena影像b-g NORM_HAMMING范數:',val )
val = cv2.norm(b-g,cv2.NORM_HAMMING2)
print('lena影像b-g NORM_HAMMING范數2:',val )

運行結果：

cv2.__version__: 4.5.3
lena影像b-vs-g NORM_HAMMING范數: 926420.0    ######等價異或
lena影像b-vs-g NORM_HAMMING范數2: 687029.0  
lena影像xor-b g NORM_HAMMING范數: 926420.0   ######等價第2種介面
lena影像xor-b g NORM_HAMMING范數2: 687029.0  
lena影像absdiff(b,g) NORM_HAMMING范數: 659236.0
lena影像absdiff(b,g) NORM_HAMMING范數2: 520833.0
lena影像subtract(b,g) NORM_HAMMING范數: 375979.0
lena影像subtract(b,g) NORM_HAMMING范數2: 298930.0
lena影像b-g NORM_HAMMING范數: 1047036.0
lena影像b-g NORM_HAMMING范數2: 710907.0

從運行結果可以看到，第2種介面計算2個影像的漢明范數和第1種介面計算2個影像異或后得到的漢明范數是一樣的，

總結：影像的L1范數是所有元素的絕對值之和，L2范數是所有元素的平方和開方，無窮范數是絕對值最大的元素取絕對值；漢明范數約束在單通道8bit的影像型別，NORM_HAMMING統計的是所有元素bit位為1的總數，NORM_HAMMING2表示的范數則是相鄰2bit不為0的總數，

第2種介面形式范數計算中，L1、L2、無窮范數可以看做是2個影像用absdiff()相減后得到的影像再用第1種介面形式計算的范數，漢明范數則可以看做是2個影像用bitwise_xor()異或后得到的影像再用第1種介面形式計算的范數，

擴展閱讀：

OpenCV-Python教程
OpenCV-Python教程：影像的減法運算、標量加減運算

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1、什么是范數

2、介面

3、L1,L2和無窮范數

4、漢明范數

5、雙影像輸入

擴展閱讀：