改進的PID演算法

位置式PID演算法

??位置式 P I D PID PID演算法是一種比較直觀的的 P I D PID PID演算法，如系統框圖中所示， i n in in表示設定值， e r r o r error error表示差值， u u u表示控制器輸出值， o u t out out表示被控量，演算法運算式如下：

增量式PID演算法

??增量式 P I D PID PID演算法不比位置式更直觀，當執行機構需要控制量的增量時，適合采用增量式 P I D PID PID演算法，比如步進電機控制，演算法運算式如下：

積分分離PID演算法

?? P I D PID PID演算法中,積分可消除穩態誤差，提高控制精度，在系統啟動或設定值大幅改變時，被控量與設定值之間會產生較大的偏差，造成過大的積分積累，甚至使控制量超過執行機構允許最大動作范圍對應的極限控制量，引起系統過大的超調量，從而振蕩，為避免這些不利的情況出現，可在被控量與設定值之間有較大偏差時，取消積分作用，避免超調量增大；當被控量接近設定值時，引入積分控制，消除穩態誤差，提高控制進度，
??設被控量與設定值之間的偏差閾值為 X > 0 X>0 X>0，該值人為設定，即

演算法運算式如下：

梯形積分PID演算法

??在 P I D PID PID演算法中，積分項的作用就是為了消除穩態誤差，故而提高積分項的運算精度能更好的提高控制精度，在單片機中，對于積分運算通常使用累加的形式，也就是矩形積分，即

上述式子在程式中經常這樣使用，但在 P I D PID PID演算法中，并不是這樣，這不得不從原始的 P I D PID PID演算法說起，其運算式如下所示，

將其離散化，令 t = k T t=kT t=kT，得

也就是說，從嚴格意義來講，積分項應該為

為方便編程計算把系數項全部整合在一塊，稱之為積分系數，所以就把 T T T省略了，積分從影像上來看，就是求面積，因此在單片機中計算積分的思路就是把圖形劃分為寬度為 T T T的 n n n個等份，然后在每個等份中自圖形曲線以下畫出一個最大矩形，然后將所有矩形面積相加便可近似為求積分的程序， T T T越小矩形面積和越接近于積分運算，但在實際工程中， T T T不可能太小，因為 T T T實際上就是采樣時間，也是 P I D PID PID的計算周期， T T T過小會加大單片機的負擔，這樣的計算方式很直觀，但計算的精度較低，誤差大，假設偏差 e r r o r error error在某段時間服從函式 e r r o r = ? a ? t + b error=-a*t+b error=?a?t+b,如下所示

那么積分運算就是指

很明顯，這使得每個矩形上面的三角形都未參與計算，使得積分運算精度大大降低，為避免出現過大的誤差或者進一步提高運算精度，引入梯形積分的概念，就是把矩形和三角形加在一起，也就是梯形的面積，即

故梯形積分的 P I D PID PID的運算式為

??當偏差 e r r o r error error不服從線性關系，或者是其他一些曲線，則不會向示例中那般毫無誤差，仍會有些許誤差無法計算到，但同矩形積分相比，運算精度已經得到了很大的改善，

變速積分PID演算法

??變速積分 P I D PID PID演算法與積分分離 P I D PID PID演算法本質上相同，都是為了減小系統超調，提高系統回應速度，但是積分分離 P I D PID PID演算法較為粗暴，變速積分 P I D PID PID演算法則是根據偏差 e r r o r error error的大小來改變積分的速度，偏差越大，積分越慢，反之越快，即積分項的運算式為

β β β是關于偏差 e r r o r error error的函式，即

其中 A , B A,B A,B表示人為設定的閾值，則變速積分PID演算法的運算式為

帶濾波器的PID演算法

??當系統中存在高頻干擾時，會使得系統變得不穩定，另外，在 P I D PID PID演算法中，微分項會將高頻干擾放大，所以需要將高頻干擾過濾掉，從而使系統穩定，故引入低通濾波器，假設該濾波器傳遞函式為

該濾波器的轉折頻率為20 H z Hz Hz，對如下系統

當干擾信號頻率低于20 H z Hz Hz，設為10 H z Hz Hz，輸出曲線如下

左圖為帶濾波器的輸出回應，右圖不帶濾波器，可以看出此時兩個系統輸出很不穩定，波動都很大，再看看干擾信號頻率大于20 H z Hz Hz時的情況，設為100 H z Hz Hz,輸出曲線如下

很明顯，此時帶有濾波器的系統輸出相比于之前10 H z Hz Hz干擾信號時的輸出波動幅度要小很多，此時不帶濾波器的系統輸出已經受到劇烈干擾，帶有濾波器的系統輸出波動幅度更小，在加大干擾信號的頻率，設為10 k H z kHz kHz，輸出曲線如下

此時帶有濾波器的系統輸出幾乎已經沒有了波動，
??在編程中使用帶濾波器的 P I D PID PID演算法時，需要對濾波器的傳遞函式進行 Z Z Z變換并離散化，

基于前饋補償的PID演算法

??對于設定值變化的系統中，為提高系統的跟蹤性能，需要加入前饋補償，既然是提高系統的跟蹤性能，那自然就是系統的輸出越接近于甚至等于系統的輸入，也就是倍訓系統的傳遞函式為 1 1 1，如下圖所示


??假設有一個被控物件為

不加前饋補償，如下

系統輸入為正弦信號，輸出影像如下

??黃線表示系統輸入的信號曲線，藍線表示系統輸出曲線，可以看出，輸出曲線不僅幅值較系統輸入小，且滯后于系統輸入，再來看看加入前饋補償的效果，系統框圖如下

輸出曲線如下

此時只能看到一條曲線，因為輸入曲線與輸出曲線重合了，此時的跟蹤效果較之前有了很大的提升，在編程中，使用前饋補償的 P I D PID PID演算法，在計算u_f時，可對 1 / G ( s ) 1/G(s) 1/G(s)進行 Z Z Z變換并離散化，