Black-Scholes-Merton模型

前言

Black-Scholes-Merton（三人幾乎在同一年同一時間提出該模型）模型又被稱為BS模型（事實上，這個叫法更為廣泛和流行），本章內容會對BS模型進行一個簡要的介紹，并且基于python進行量化，此外，本章還將介紹期權的時間價值、期權的內在價值等概念，

一、BS模型

1.模型簡介

期權定價理論最早的提出者是法國的經濟學家 Bachelier，其在
1900 年的一篇文章中首次提出關于期權定價的問題,隨后，Boness
將其理論進行補充，在 1973 年，美國的數學家、經濟學家 Black 和
Scholes提出了一個較為完整的期權定價模型，稱為 Balck-choles 模型，Balck-Scholes 模型是較為理想的歐式期權定價模型，該模型的提出為期權的發展奠定了基礎，在理論和實踐方面都有著重大的意義，

Black-Scholes 期權的價格模型是建立在嚴格的假設基礎上的，包
括以下幾點：
首先，期權標的物的價格服從布朗幾何運動，因此股票價格的收
益率必須服從對數正態分布，
第二，商業市場沒有摩擦，沒有稅收，沒有賣空限制，
第三，無風險利率不變，
第四，期權不能在到期日之前行使，必須是歐式期權，

2.模型數學公式

在這里插入圖片描述

二、BS模型的python量化

1.BS模型代碼

# BSM模型
# Black-Scholes-Merton (1973) European Call & Put Valuation
import math
import numpy as np
import matplotlib as mpl
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import quad
mpl.rcParams['font.family'] = 'serif'
from scipy.stats import norm

#歐式看漲期權函式
# 歐式看漲期權
def BSM_call_value(St, K, t, T, r, sigma):
    d1=(np.log(St/K)+(r+0.5*sigma**2)*(T-t))/(sigma*np.sqrt((T-t)))
    d2=d1-sigma*np.sqrt((T-t))
    return St*norm.cdf(d1)-K*np.exp(-r*(T-t))*norm.cdf(d2)
#歐式看跌期權函式
def BSM_put_value(St, K, t, T, r, sigma):
    d1=(np.log(St/K)+(r+0.5*sigma**2)*(T-t))/(sigma*np.sqrt((T-t)))
    d2=d1-sigma*np.sqrt((T-t))
    return K*np.exp(-r*(T-t))*norm.cdf(-d2)-St*norm.cdf(-d1)

舉例

# 例子
St=100
K=98
T=1
t=0
r=0.015
sigma=0.25
call=BSM_call_value(St, K, t, T, r, sigma)
put=BSM_put_value(St, K, t, T, r, sigma)
print('看漲期權價格',call,'看跌期權價格',put)

實際資料
將上證50ETF期權一分鐘高頻資料進行實證，
資料一覽
在這里插入圖片描述

# 看漲期權
St= data['標的資產價格']  # initial index level
K =data['行權價']  # strike level
T=data['到期天/年']
r = data['無風險利率']/100 # constant short rate
sigma =0.02# constant volatility of diffusion
t=0

from matplotlib import pyplot as plt
#新增加的兩行
import matplotlib
matplotlib.rc("font",family='DengXian')

BS_Call_price=BSM_call_value(St, K, t, T, r, sigma)
#預測結果
plt.figure(figsize=(15,10))
plt.plot(np.array(BS_Call_price),label='BS模型')
plt.plot(np.array(data['期權價格']),label='實際期權價格')
plt.legend()
plt.ylabel('價格(元)')
plt.show()

在這里插入圖片描述
從圖中可以看出，BS模型對期權實際價格的預測情況差強人意，預測初期和預測末期的精準度不錯，而預測中期則波動較大，

2.預測誤差分析

對預測結果進行誤差分析，誤差分析指標如下

均方誤差（Mean Square Error）
均方根誤差（Root Mean Square Error）
平均絕對誤差（Mean Absolute Error）
平均絕對百分比誤差（Mean Absolute Percentage Error）
以上指標越小表明誤差越小，

在這里插入圖片描述

bs_test_pred=BS_Call_price
test_label=data['期權價格']
# mape
bs_test_mape=np.mean(np.abs((bs_test_pred-test_label)/test_label))
# rmse
bs_test_rmse=np.sqrt(np.mean(np.square(bs_test_pred-test_label)))
# mae
bs_test_mae=np.mean(np.abs(bs_test_pred-test_label))
#MSE
bs_test_mse=np.sum((test_label-bs_test_pred)**2)/len(bs_test_pred)

結果如下：

BS模型測驗集的mape: 0.07028108461117291  rmse: 0.030983676079028164  mae: 0.024887289528898276 MSE: 0.0009599881833701404

可以看出，BS模型的預測結果還可以，基本符合了預期，

三、期權的內在價值

站在期權合約持有人的角度，可以用期權的內在價值（inner value）刻畫到期日時持有人的收益情況：
h=max(St-K,0)

例子
假設指數期權行權價為3650，指數在到期日時的收盤價在3500-3800之間，

# 例子
import numpy as np
import matplotlib as mpl
import matplotlib.pyplot as plt
# 行權價
K=3650
# 標的資產價格
S=np.linspace(3500,3800,100)
# 內在價值
h=np.maximum(S-K,0)
plt.figure(figsize=(12,10))
plt.plot(S,h,lw=2.5)
# plt.legend()
plt.grid()
plt.xlabel('標的資產價格')
plt.ylabel('期權內在價值')

在這里插入圖片描述
可以看出，期權的內在價值取決于到期日當天的標的資產價格水平，

實際資料
上證50ETF期權一分鐘高頻資料分析
在這里插入圖片描述
通過圖可以看出，實際資料中，標的資產價格大于行權價，其內在價值大于0

# 期權的內在價值
import numpy as np
import matplotlib as mpl
import matplotlib.pyplot as plt
# 行權價
K=data['行權價']
# 標的資產價格
S=data['標的資產價格']
# 內在價值
h=np.maximum(S-K,0)
plt.figure(figsize=(12,10))
plt.plot(S,h,lw=2.5)
# plt.legend()
plt.grid()
plt.xlabel('標的資產價格')
plt.ylabel('期權內在價值')

在這里插入圖片描述

四、期權的時間價值

在這里插入圖片描述
期權的時間價值等于期權價格減去期權的內在價值，
例子

# 例子
# 時間價值
# 期權引數
St=np.linspace(4000,12000,150)  # initial index level
K =8000 # strike level
T=1
r = 0.025 # constant short rate
sigma =0.2# constant volatility of diffusion
t=0
# 內在價值
h=np.maximum(St-K,0)
# 期權價值
BS_Call_price=BSM_call_value(St, K, t, T, r, sigma)
plt.figure(figsize=(12,10))
plt.plot(St,h,'b-.',lw=2.5,label='期權內在價值')
plt.plot(St,BS_Call_price,'r',lw=2.5,label='期權現值')
plt.plot(St,BS_Call_price-h,'g',lw=2.5,label='期權時間價值')
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()

在這里插入圖片描述
從圖中可以看出，期權的時間價值在指數價格等于行權價時達到最高，此后開始逐漸衰減，

實際資料

# 時間價值
# 期權引數
St= data['標的資產價格']  # initial index level
K =data['行權價']  # strike level
T=data['到期天/年']
r = data['無風險利率']/100 # constant short rate
sigma =0.02# constant volatility of diffusion
t=0
# 內在價值
h=np.maximum(St-K,0)
# 期權價值
BS_Call_price=BSM_call_value(St, K, t, T, r, sigma)
plt.figure(figsize=(12,10))
plt.plot(h,'b-.',lw=2.5,label='期權內在價值')
plt.plot(BS_Call_price,'r',lw=2.5,label='期權現值')
plt.plot(BS_Call_price-h,'g--',lw=2.5,label='期權時間價值')
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()