1. 基礎知識

1. 定義：矩陣 A = ( a i j ) m × n A=(a_{ij})_{m\times n} A=(aij?)m×n?的不為零的子式的最大階數稱為矩陣A的秩，記作 r a n k ( A ) rank(A) rank(A)，也有另一種理解，矩陣A在經過初等變換后的非零行（列）的個數為矩陣的秩；
2. 性質：
   1. 一個矩陣乘以可逆矩陣秩不改變
   2. 矩陣的秩等于非零奇異值的個數，也就是非零特征值的個數
   3. 可逆矩陣秩等于n
3. 矩陣自由度DOF的理解?

2. 本質矩陣E

本質矩陣Essential Matrix為對極約束里的定義矩陣，本質矩陣描述了空間中一點對應的兩個歸一化平面坐標之間的約束關系，對極約束：
? x 2 ? t ∧ R x 1 = 0 p 2 ? K ? ? t ∧ R K ? 1 p 1 = 0 \begin{aligned} x^\top_2t^\wedge Rx_1 = 0 \\ p^\top_2K^{-\top}t^\wedge RK^{-1}p_1 = 0 \end{aligned} x2??t∧Rx1?=0p2??K??t∧RK?1p1?=0?
其中本質矩陣定義為： E = t ∧ R E = t^\wedge R E=t∧R

2.1 本質矩陣的秩為什么是2

兩種思路進行解釋：

1. 矩陣乘以可逆矩陣后，矩陣的秩不改變，本質矩陣中的乘積項旋轉矩陣R屬于特殊正交群，我們知道特征正交群的矩陣是正交矩陣，正交矩陣一定可逆，可逆矩陣的秩等于n，而左乘項 t ∧ t^\wedge t∧為三維反對稱矩陣，反對稱矩陣的秩必為偶數，而位移t并非0向量，所以秩為2，秩為2的矩陣乘以可逆矩陣秩不改變，所以本質矩陣的秩為2，
2. 矩陣的秩為非零奇異值的個數，而我們知道本質矩陣的內在性質是E的奇異值必定是 [ σ , σ , 0 ] ? [\sigma, \sigma, 0]^\top [σ,σ,0]?的形式，相關的證明在這里本質矩陣E的內在性質證明，當E不為0時，秩為2，但是本質矩陣是對極約束中用于求解相機運動的，雖然書上沒有明確說明E不能為0，但是為0時代表相機位移t為0，為純旋轉運動，對極約束失效了，基礎矩陣出現了所謂的退化（degenerate），所以，由于本質矩陣的內在性質，本質矩陣的秩為2，

2.2 本質矩陣的自由度為什么是5

由于本質矩陣是 E = t ∧ R E = t^\wedge R E=t∧R，位移3個自由度，旋轉3個自由度，有6個自由度，但是由于尺度等價性，自由度減1，所以最終本質矩陣的自由度是5，為什么尺度等價性自由度會減1？

3. 基礎矩陣F

基礎矩陣Fundamental Matrix為對極約束里的定義矩陣，基礎矩陣描述了空間中一點對應的兩個像素點坐標之間的約束關系，對極約束：
? x 2 ? t ∧ R x 1 = 0 p 2 ? K ? ? t ∧ R K ? 1 p 1 = 0 \begin{aligned} x^\top_2t^\wedge Rx_1 = 0 \\ p^\top_2K^{-\top}t^\wedge RK^{-1}p_1 = 0 \end{aligned} x2??t∧Rx1?=0p2??K??t∧RK?1p1?=0?
其中本質矩陣定義為： F = K ? ? E K ? 1 F = K^{-\top} E K^{-1} F=K??EK?1

3.1 基礎矩陣的秩為什么是2

內參矩陣 K = [ f x 0 c x 0 f y c y 0 0 1 ] K = \begin{bmatrix} f_x & 0 & c_x \\ 0 & f_y & c_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} K=???fx?00?0fy?0?cx?cy?1????，可以想象K的行列式不等于0，所以K是個可逆矩陣，我們知道矩陣乘以可逆矩陣后，秩不改變，前面已經證明了本質矩陣E的秩為2，而F是本質矩陣與可逆矩陣K的乘積，所以F的秩也為2，

3.2 基礎矩陣的自由度為什么是7

基礎矩陣是內參矩陣、位移的反對成矩陣、旋轉矩陣之間的乘積，內參矩陣自由度為4，位移為3，旋轉矩陣為3，加起來有10個引數，但是基礎矩陣為 3 × 3 3\times 3 3×3的矩陣，自由度最多為9，但是由于：

1. 尺度等價性，自由度減1
2. 基礎矩陣F滿足行列式為0的約束，自由度再減1

4. 單應矩陣H

單應矩陣Homography描述了兩個平面之間的映射關系，求解單應矩陣的所有空間點都位于同一個平面上，也就是兩幀的空間點都滿足同一個射影變換，該射影變換即為單應矩陣，

4.1 單應矩陣的秩為什么是3

單應矩陣是可逆矩陣，可逆矩陣的秩等于n，所以單應矩陣的秩為3，

4.2 單應矩陣的自由度為什么是8

單應矩陣滿足尺度等價性，