期權希臘值之vega

前言

前三篇文章介紹了期權希臘值的delta，theta，gamma，在這篇文章中，我們將對期權的vega進行介紹，

一、期權的vega

在計算希臘值時，通常將波動率看作隱含波動率，這與BS模型中的常數波動率是不同的，在實際市場中，波動率往往會隨著時間變化，這就意味著期權價格會隨著波動率的變化而變化，

期權的vega正是描述期權價值變化與標的資產價格變化的比率，

如果一個交易組合的vega絕對值很大，此交易組合的價值會對波動率的細微變化非常敏感，當一個交易組合的vega值為0時，資產價格波動率的變化會對交易組合價值的影響很小，

二、vega與標的資產價格的關系

1.例子

考慮一份無股息的看漲期權合約，股票價格為49元，執行價格為50元，無風險利率為5%，期限為20周，隱含波動率為20%，則期權的Vega為12.1

from matplotlib import cm
import math
import numpy as np
import matplotlib as mpl
import matplotlib.pyplot as plt
import mpl_toolkits.mplot3d.axes3d as p3

# 定義標準正態分布的概率密度函式
def dN(x):
    '''標準正態分布的概率密度函式公式'''
    return math.exp(-0.5*x**2)/math.sqrt(2*math.pi)
def N(d):
    '''計算概率密度函式'''
    return quad(lambda x:dN(x),-20,d,limit=50)[0]
def d1f(St, K, t, T, r, sigma):
    '''BS模型中的d1'''
    d1=(math.log(St/K)+(r+0.5*sigma**2)*(T-t))/(sigma*math.sqrt(T-t))
    return d1

# 定義看漲期權和看跌期權的vega
def BSM_vega(St, K, t, T, r, sigma):
    ''' Black-Scholes-Merton GAMMA of European call/put option.

    Parameters
    ==========
    St : float
        stock/index level at time t
    K : float
        strike price
    t : float
        valuation date
    T : float
        date of maturity/time-to-maturity if t = 0; T > t
    r : float
        constant, risk-less short rate
    sigma : float
        volatility

    Returns
    =======
    vega : float
        European call option GAMM
    '''
    d1 = d1f(St, K, t, T, r, sigma)
    vega=St*math.sqrt((T-t))*dN(d1)
    return vega

St=49
K=50
r=5/100
T=0.3846
t=0
sigma=0.2
vega=BSM_vega(St, K, t, T, r, sigma)
print('看漲期權的Vega值為：',round(vega,2))

看漲期權的Vega值為： 12.11

2.vega與St之間的關系

price=np.linspace(1.2,5.6,50)
K1=2.6
K2=2.7
K3=2.8
K4=2.9
r=5/100
T=1
t=0
sigma=0.2
vega_0=[BSM_vega(St, K1, t, T, r, sigma) for St in price]
vega_1=[BSM_vega(St, K2, t, T, r, sigma) for St in price]
vega_2=[BSM_vega(St, K3, t, T, r, sigma) for St in price]
vega_3=[BSM_vega(St, K4, t, T, r, sigma) for St in price]
plt.figure(figsize=(12,10))
plt.plot(price,vega_0,label='k=2.6')
plt.plot(price,vega_1,label='k=2.7')
plt.plot(price,vega_2,label='k=2.8')
plt.plot(price,vega_3,label='k=2.9')
plt.xlabel('stock price')
plt.ylabel('option vage value')
plt.legend()
plt.show()

從圖中可以看出，vega>0,平價期權的 Vega 較大，

在其他情況相同時，平價期權的vega大于實值或者虛值期權的Vega，

隨著行權價的增加，vega逐漸向右移動，寬幅越大且峰值越高，當期權價格與行權價趨近時，Vega趨于峰值，

三、vega與到期期限之間的關系

St=2.7
K1=2.6
K2=2.7
K3=2.8
K4=2.9
r=5/100
T=np.linspace(0.1,1,100)
t=0
sigma=0.2
vega_0=[BSM_vega(St, K1, t, T, r, sigma) for T in T]
vega_1=[BSM_vega(St, K2, t, T, r, sigma) for T in T]
vega_2=[BSM_vega(St, K3, t, T, r, sigma) for T in T]

plt.figure(figsize=(12,10))
plt.plot(T,vega_0,label='k=2.6')
plt.plot(T,vega_1,label='k=2.7')
plt.plot(T,vega_2,label='k=2.8')

plt.xlabel('T')
plt.ylabel('option vage value')
plt.legend()
plt.show()

從圖中可以看出，其他引數相同時，剩余期限越長，Vega 越大，

四、vega與標的資產價格、到期期限之間的關系

def plot_greeks(function, greek):
    # Model Parameters
    St =2.7  # 50ETF value
    
    t = 0.0  # valuation date
    
    r = 0.015  # risk-less short rate
    sigma = 0.2  # volatility

    # Greek Calculations
    tlist = np.linspace(0.01, 1, 50)
    klist = np.linspace(2.1, 3.6, 50)
    V = np.zeros((len(tlist), len(klist)), dtype=np.float)
    for j in range(len(klist)):
        for i in range(len(tlist)):
            V[i, j] = function(St, klist[j], t, tlist[i], r, sigma)

    # 3D Plotting
    x, y = np.meshgrid(klist, tlist)
    fig = plt.figure(figsize=(9, 5))
    plot = p3.Axes3D(fig)
    plot.plot_surface(x, y, V,cmap='rainbow')
    plot.set_xlabel('strike $K$')
    plot.set_ylabel('maturity $T$')
    plot.set_zlabel('%s(K, T)' % greek)

plot_greeks(BSM_vega, vega)

從圖中可以看出，vega數值隨著到期期限的增加而增加，但是vega的數值會隨著標的資產價格從平價變為價內或者價外而減小，

總結

本章介紹了期權希臘值的Vega，并且應用python進行了量化，