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?前言

影像的邊緣檢測是計算機視覺中的一項基礎任務，很多作業都使用了多尺度的邊緣提取方法，本文總結了三種傳統的多尺度邊緣提取方法，并使用MATLAB軟體做了三個小實驗，展示和分析的對應實驗的邊緣的效果，

?多尺度—影像金字塔

影像金字塔分解能夠得到不同尺度的影像，從而在多尺度下提取更加豐富的邊緣資訊，采用的辦法是Laplacian of Gaussian(LoG) 去構建影像的尺度空間，

上圖為不同尺度下的Lena影像，不同尺度的影像包含的細節資訊不同，尺度越小包含的資訊越多，影像的邊緣和紋理更加的豐富，小尺度邊緣影像細節豐富，但主要邊緣特征被淹沒，且包含較多噪聲; 大尺度邊緣影像保留了影像的主要邊緣且噪聲較少，但邊緣定位不準確，

🌿基于影像金字塔的邊緣檢測

穆柯楠¹提出一種基于非采樣高斯差分金字塔的邊緣檢測演算法，使用的多尺度融合的方法，但是融合之后的還是單像素邊緣，融合的思想很簡單，原始尺度的邊緣中點在下一個尺度的3×3鄰域內還是邊緣點就記錄下來，不斷更新所有尺度的邊緣點資訊，得到的邊緣點資訊設定閾值洗掉長度較短的邊緣，得到最終的邊緣影像，閾值選取根據實驗結果，

穆柯楠論文中有用的點： 介紹了兩種影像邊緣檢測性能的計算公式，分別是Abdou-Pratt 品質因數和連續度的計算，Abdou-Pratt 品質因數用來判斷邊緣檢測演算法對噪聲的容忍度及邊緣檢測的精確度， F = 1 max ? ( N a , N d ) ∑ i = 1 N d 1 1 + a × d i 2 F=\frac{1}{\max \left(N_{\mathrm{a}}, N_{\mathrm{d}}\right)} \sum_{i=1}^{N_{\mathrm{d}}} \frac{1}{1+a \times d_{i}^{2}} F=max(Na?,Nd?)1?i=1∑Nd??1+a×di2?1?其中 N a N_{a} Na? 和 N d N_{d} Nd? 分別為實際邊緣數和檢測到的邊緣數; d i d_{i} di? 表示檢測到的第 i i i 條邊緣對 應的實際邊緣的距離; a a a 為常系數, 取 a = 1 / 9 ， F a=1 / 9 ，F a=1/9，F 值越大, 表明邊緣點的定位精度越高. f ( C i ) = 2 × ( 1 1 + exp ? ( ? C i / α ) ? 0.5 ) C = ∑ i = 1 m ( n i f ( C i ) / ∑ i = 1 m n i ) \begin{array}{r} f\left(C^{i}\right)=2 \times\left(\frac{1}{1+\exp \left(-C^{i} / \alpha\right)}-0.5\right) \\ C=\sum_{i=1}^{m}\left(n_{i} f\left(C^{i}\right) / \sum_{i=1}^{m} n_{i}\right) \end{array} f(Ci)=2×(1+exp(?Ci/α)1??0.5)C=∑i=1m?(ni?f(Ci)/∑i=1m?ni?)? α = min ? ( n , m ) / 20 \alpha=\min (n, m) / 20 α=min(n,m)/20 時能較好滿要求, m m m 為邊緣影像 E E E 中的邊緣段數量, n n n 為邊緣像素數量， C C C越接近1表示邊緣影像的連續性越好，

🌿自己的實驗—金字塔+Canny

對于多尺度融合，我考慮對比使用金字塔前后的不同，具體的做法是將影像多尺度分解為3層，每層有3個不同的高斯濾波核進行濾波，影像的尺寸逐層減小，對三個不同過的層分別進行Canny邊緣檢測，將檢測結果的影像重新恢復到最初尺寸 512 × 512 512×512 512×512，并使用加權的方式，設定不同層的權重，認為初始層的權重最小，最后一層的權重最大，設定的理由是尺度小的細節資訊保留的較少，更能代表影像不隨尺度變化的邊緣資訊，所以權重更大，尺度大的影像紋理資訊太多，權重少一些，


上圖為不同尺度下的Lena影像，不同尺度的影像包含的細節資訊不同，尺度越小包含的資訊越多，影像的邊緣和紋理更加的豐富，小尺度邊緣影像細節豐富，但主要邊緣特征被淹沒，且包含較多噪聲; 大尺度邊緣影像保留了影像的主要邊緣且噪聲較少，但邊緣定位不準確，

?多尺度—二維經驗模態分解

🌿BEMD演算法簡介

BEMD 演算法是一種基于資料的區域時間特征尺度分析非線性和非穩態資料的方法， 廣泛應用于非線性和非平穩程序². 由于BEMD演算法的步驟已經很成熟固定，本文不再贅述，具體參見文獻³.

S t e p 1 : Step1: Step1: 讀取影像Image, 對變數進行初始化 n = 1 , k = 0 n=1, k=0 n=1,k=0.

S t e p 2 : Step2: Step2: 求影像Image 的區域極大值 (Max value) 和極小值 (Min value). 使用揷值方 法得到曲面的包絡（不同揷值方法對應 IMF 結果有差異）

S t e p 3 : Step3: Step3: 計算包絡均值 A v g = ( A v g=\left(\right. Avg=( Max value ? - ? Min value ) / 2 \left._{\text {value }}\right) / 2 value ?)/2 和終止判斷條件
S D = ∑ ∑ ∣ T e m p k ? 1 ? T e m p k ∣ 2 T e m p k 2 , \mathrm{SD}=\sum \sum \frac{\left|T e m p_{k-1}-T e m p_{k}\right|^{2}}{T e m p_{k}{ }^{2}}, SD=∑∑Tempk?2∣Tempk?1??Tempk?∣2?,
其中, Temp = = = Image ? - ? Avg .

S t e p 4 : Step4: Step4: 判斷SD ≤ σ \leq \sigma ≤σ, 如果成立, 得到第 n n n 個IMF, 記為 I M F n I M F_{n} IMFn?, 然后判斷 n ≤ N \mathrm{n} \leq \mathrm{N} n≤N, 如果是, 令Image = = = Temp, n = n + 1 n=n+1 n=n+1, 重復步驟 (2) 和 (3), 如果否, 結束算 法, 輸出 I M F i , i = 1 , 2 , … , n \mathrm{IMF}_{i}, i=1,2, \ldots, \mathrm{n} IMFi?,i=1,2,…,n; 如果不成立, 令Image = = = Temp, 重復步驟 S t e p 2 ? S t e p 3 Step2-Step3 Step2?Step3. 其中, σ \sigma σ 為事先選定的閾值⁴, 一般取值范圍為 0.2 ～ 0.3 0.2 \sim 0.3 0.2～0.3.

于是, 便可以得到分解的結果.
Image = ∑ i = 1 n ? 1 I M F i + residue ( I M F n ) . \text { Image }=\sum_{i=1}^{n-1} I M F_{i}+\text { residue }\left(I M F_{n}\right) . Image =i=1∑n?1?IMFi?+ residue (IMFn?).

由上圖可知，前幾個IMF展示了Lena影像的細節資訊，隨著層數的逐漸增加，Lena的紋理資訊逐漸減少，最后一個IMF中主要保存著Lena的全域資訊，對不同的IMF進行邊緣資訊的檢測，不同的層代表邊緣資訊的重要程度，越往前的邊緣代表越重要，權重越大，

🌿現有基于BEMD的邊緣檢測演算法

賈可⁵ 等人和趙晨⁶ 等人使用BEMD分解的前兩層IMF作為邊緣檢測的處理物件，通過二值化和細化，提取邊緣，其中趙晨使用的細化方法參考了文獻⁷的演算法，

辛元芳⁸的關鍵是引入互資訊，互資訊體現了隨機變數之間的相互包含資訊量以及相關之間的統計依賴性，關聯性越好，互資訊越大，首先將影像用二維EMD進行分解, 利用相鄰分量間的互資訊熵來衡量高頻部分與低頻部分的關聯強度，如果某個分量的互資訊熵達到了之前設定好的拐點標準, 那么就把該分量作為高頻與低頻的分界點，采用文獻 [2] 的方法對高頻分量用小波變換模極大值的影像邊緣檢測法進行邊緣提取, 低頻部分用數學形態學方法進行邊緣提取, 最后, 結合兩種方法的優點, 采用疊加運算進行影像融合最終檢測到影像邊緣，

尹華⁹等人結合BEMD和Canny算子設計一種邊緣檢測演算法，同樣是單像素的邊緣，實驗的結果對噪聲具有一定的抵抗，但是抵抗的能力有限，

🌿 自己的實驗—BEMD不同尺度之后進行加權處理

BEMD分解之后權重系數按照從小到大進行設定，前幾個IMF的權重較小，后面的權重較大，

由上圖可知, 前面幾個 I M F IMF IMF 的邊緣相對豐富一些, 最后一個 I M F IMF IMF 的邊緣已 經只有 L e n a Lena Lena 的大致輪廓，將前面 k k k 個 I M F IMF IMF 的邊緣結果融合起來，公式如下， M = ∑ i = 1 k ( Layer ? i + 1 ) × I M F i M=\sum_{i=1}^{k}(\text { Layer }-i+1) \times I M F_{i} M=i=1∑k?( Layer ?i+1)×IMFi?其中, L a y e r Layer Layer 為 BEMD 的分解層數, 在這里取得是 6 .

由上圖可知，Lena的整體邊緣輪廓可以很清晰的看到，在主體的輪廓之外還可以看到一些其他的邊緣資訊，這些邊緣資訊對主要的邊緣資訊具有一定的作用，影像中的邊緣是具有權重的，前面基層的權重較大，后面的較小，不過有個問題，這里的主邊緣與權重較低的邊緣之間存在不連續的地方，說明在進行BEMD分解的程序中，不同IMF之間的邊緣像素位置發生了偏移，生動一點的解釋就是，第一層IMF提取之后，到第二層IMF提取的結果之間存在一個像素數值的差值，這個差值是整體的相差，或者說IMF1和IMF2之間的均值的相差，造成了邊緣資訊的間斷，解決的辦法有兩種，第一，改變BEMD分解的SD準則，使得相鄰兩層的IMF之間相差不大；第二、使用差值演算法將間斷的地方進行補全，插值演算法使用常用的線性插值即可，

?多尺度—小波分析

小波變換作為多尺度理論的代表，因其數學描述的完備性，廣泛應用于影像處理領域，其中，在影像邊緣檢測方面，其具備的多尺度性能夠很好地與傳統算子結合，取得了較好效果，具有較大研究價值，

🌿現有基于小波分析的邊緣檢測演算法

孫青鋒¹⁰提出一種基于小波變換的邊緣檢測演算法，該演算法能很好的消除噪聲的影響，提取出很干凈的邊緣，論文中的第三和四步驟沒有說清楚怎么做的，

上圖中使用的小波變換檢測出來的邊緣影像，在一定程度上確實能抵抗噪聲的攻擊，檢測出來很好的邊緣，但是，論文中對演算法的描述不清楚，沒有使用公式說明如何進行的操作，只有演算法的文字描述，對復現演算法內容具有一定的難度，

🌿 自己的實驗—DWT+現有邊緣檢測演算法

沒有添加DWT之前的邊緣提取結果和加入DWT之后的提取結果對比如下，

可以清晰的看到，噪聲對五種算子都有不同程度的影響，出現很多噪點，Canny算子的結果相對較好一些，

上圖可知，添加DWT之后確實能去除一些噪點的影響，提取出更加清晰、沒有污染的邊緣，實驗中使用的DWT之后的CA系數，也就是近似系數矩陣，DWT處理之后的其他矩陣的邊緣檢測結果如下（只使用Canny的結果），

由上圖可知，出來近似系數中的能檢測出來Lena的邊緣資訊，其他三個矩陣檢測的均是雜亂無章的紋理資訊，也就是Lena的豎直、橫向和對角的細節資訊，結論是，DWT能在一定程度上抵抗噪聲的攻擊，提取出來較好的邊緣資訊，在后續設計自己的演算法程序中可以考慮添加進去，

?參考文獻