一、理論基礎

1、原子軌道搜索演算法

在本文中，原子軌道搜索(Atomic orbital search, AOS)演算法被提出作為一種新的元啟發式優化演算法，該演算法的主要概念基于量子力學的一些原理和基于量子的原子模型，在該模型中，原子核周圍的電子的一般構型是透視的，
基于之前的大多數優化演算法都利用了由不同隨機程序演化而來的候選解群體，提出的AOS演算法考慮了一些候選解( X X X)，它們代表基于量子的原子模型中原子核周圍的電子，該演算法中的搜索空間被視為原子核周圍的電子云，原子核被分為薄的、球形的同心層，每個電子在搜索空間中由候選解( X i X_i Xi?)表示，而一些決策變數( x i , j x_{i,j} xi,j?)也用于定義候選解在搜索空間中的位置，該目標的數學方程如下： X = [ X 1 X 2 ? X i ? X m ] = [ x 1 1 x 1 2 ? x 1 j ? x 1 d x 2 1 x 2 2 ? x 2 j ? x 2 d ? ? ? ? ? x i 1 x i 2 ? x i j ? x i d ? ? ? ? ? x m 1 x m 2 ? x m j ? x m d ] , ?? { i = 1 , 2 , ? ? , m j = 1 , 2 , ? ? , d (1) X=\begin{bmatrix}X_1\\X_2\\\vdots\\X_i\\\vdots\\X_m\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x_1^1 & x_1^2 & \cdots & x_1^j & \cdots & x_1^d \\x_2^1 & x_2^2 & \cdots & x_2^j & \cdots & x_2^d \\\vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\x_i^1 & x_i^2 & \cdots & x_i^j & \cdots & x_i^d \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\x_m^1 & x_m^2 & \cdots & x_m^j & \cdots & x_m^d \end{bmatrix},\,\,\begin{dcases}i=1,2,\cdots,m\\j=1,2,\cdots,d\end{dcases}\tag{1} X=???????????X1?X2??Xi??Xm?????????????=???????????x11?x21??xi1??xm1??x12?x22??xi2??xm2???????x1j?x2j??xij??xmj?????????x1d?x2d??xid??xmd?????????????,{i=1,2,?,mj=1,2,?,d?(1)其中， m m m是搜索空間(電子云)內的候選解(電子)數量， d d d是代表候選解(電子)位置的問題維度，
電子云中電子的初始位置根據以下數學方程隨機確定： x i j ( 0 ) = x i , min ? j + r a n d ? ( x i , max ? j ? x i , min ? j ) ， ?? { i = 1 , 2 , ? ? , m j = 1 , 2 , ? ? , d (2) x_i^j(0)=x_{i,\min}^j+rand\cdot(x_{i,\max}^j-x_{i,\min}^j)，\,\,\begin{dcases}i=1,2,\cdots,m\\j=1,2,\cdots,d\end{dcases}\tag{2} xij?(0)=xi,minj?+rand?(xi,maxj??xi,minj?)，{i=1,2,?,mj=1,2,?,d?(2)其中， x i j ( 0 ) x_i^j(0) xij?(0)表示候選解的初始位置； x i , min ? j x_{i,\min}^j xi,minj?和 x i , max ? j x_{i,\max}^j xi,maxj?是第 i i i個候選解的第 j j j個決策變數的最小和最大界限； r a n d rand rand是 [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1]范圍內的均勻分布隨機向量，
根據提供的基于量子的原子模型的詳細資訊，每個電子都有一個能量狀態，在數學模型中被視為候選解的目標函式值，具有更好目標函式值的候選解代表具有更低能級的電子，而具有更高能級的電子在具有更差目標函式值的候選解的數學模型中被考慮，向量方程用于包含不同候選解(電子)的目標函式值(能級)，如下所示： E = [ E 1 E 2 ? E i ? E m ] , ?? i = 1 , 2 , ? ? , m (3) E=\begin{bmatrix}E_1\\E_2\\\vdots\\E_i\\\vdots\\E_m\end{bmatrix},\,\,i=1,2,\cdots,m\tag{3} E=???????????E1?E2??Ei??Em?????????????,i=1,2,?,m(3)其中， E E E是目標函式值的向量， E i E_i Ei?是第 i i i個候選解的能級， m m m是搜索空間(電子云)內候選解(電子)的數量，
在基于量子的原子模型中，電子在原子核周圍的位置由電子概率密度圖決定，在數學模型中，電子概率密度圖由概率密度函式(PDF)考慮，根據概率論，一個變數的概率密度函式是一個函式，它表示該變數在特定范圍內的可能性，通過考慮原子核周圍以虛擬方式創建的層，PDF用于確定候選解在這些層中的位置，在這方面，候選解按升序或降序排序(基于最小化或最大化優化問題)，其中具有更好目標函式值的候選方案被認為具有更高的等級，具有更好目標函式值的候選解被認為具有更高的PDF值，這代表了具有較低能級的電子，因此，具有較高PDF值的候選解決方案位于內部虛電子層，而具有較低PDF值的候選解位于外部虛電子層，其模擬基于量子的原子模型中的電子配置，
根據提供的通過PDF確定電子位置的細節，每個虛擬層都包含一些候選解，在這種情況下，虛擬層中候選解的位置向量( X k X^k Xk)和目標函式值( E k E^k Ek)的數學方程如下所示： X k = [ X 1 k X 2 k ? X i k ? X p k ] = [ x 1 1 x 1 2 ? x 1 j ? x 1 d x 2 1 x 2 2 ? x 2 j ? x 2 d ? ? ? ? ? x i 1 x i 2 ? x i j ? x i d ? ? ? ? ? x p 1 x p 2 ? x p j ? x p d ] , ?? { i = 1 , 2 , ? ? , p j = 1 , 2 , ? ? , d k = 1 , 2 , ? ? , n (4) X^k=\begin{bmatrix}X_1^k\\X_2^k\\\vdots\\X_i^k\\\vdots\\X_p^k\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x_1^1 & x_1^2 & \cdots & x_1^j & \cdots & x_1^d \\x_2^1 & x_2^2 & \cdots & x_2^j & \cdots & x_2^d \\\vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\x_i^1 & x_i^2 & \cdots & x_i^j & \cdots & x_i^d \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\x_p^1 & x_p^2 & \cdots & x_p^j & \cdots & x_p^d \end{bmatrix},\,\,\begin{dcases}i=1,2,\cdots,p\\j=1,2,\cdots,d\\k=1,2,\cdots,n\end{dcases}\tag{4} Xk=???????????X1k?X2k??Xik??Xpk?????????????=???????????x11?x21??xi1??xp1??x12?x22??xi2??xp2???????x1j?x2j??xij??xpj?????????x1d?x2d??xid??xpd?????????????,??????i=1,2,?,pj=1,2,?,dk=1,2,?,n?(4) E k = [ E 1 k E 2 k ? E i k ? E p k ] , ?? { i = 1 , 2 , ? ? , p k = 1 , 2 , ? ? , n (5) E^k=\begin{bmatrix}E_1^k\\E_2^k\\\vdots\\E_i^k\\\vdots\\E_p^k\end{bmatrix},\,\,\begin{dcases}i=1,2,\cdots,p\\k=1,2,\cdots,n\end{dcases}\tag{5} Ek=???????????E1k?E2k??Eik??Epk?????????????,{i=1,2,?,pk=1,2,?,n?(5)其中， X i k X_i^k Xik?是第 k k k個虛擬層中的第 i i i個候選解， n n n是虛擬創建的最大層數， p p p是第 k k k個虛擬層中的候選解總數， d d d是問題維度， E i k E_i^k Eik?是第 k k k個虛擬層中第 i i i個候選解的目標函式值，
在每個虛層中具有最佳目標函式值的候選解被視為每個虛層中具有最低能級的電子( L E k LE^k LEk)，此外，在所有候選解之間具有最佳目標函式值的候選解被認為是原子中具有最低能級( L E LE LE)的電子，
通過考慮所選擇的層中所有候選解的位置和目標函式值的平均值，來確定每個所考慮的虛層中候選解的結合狀態和結合能，該目的的數學方程如下： B S k = ∑ i = 1 p X i k p , ?? { i = 1 , 2 , ? ? , p k = 1 , 2 , ? ? , n (6) BS^k=\frac{\sum_{i=1}^pX_i^k}{p},\,\,\begin{dcases}i=1,2,\cdots,p\\k=1,2,\cdots,n\end{dcases}\tag{6} BSk=p∑i=1p?Xik??,{i=1,2,?,pk=1,2,?,n?(6) B E k = ∑ i = 1 p E i k p , ?? { i = 1 , 2 , ? ? , p k = 1 , 2 , ? ? , n (7) BE^k=\frac{\sum_{i=1}^pE_i^k}{p},\,\,\begin{dcases}i=1,2,\cdots,p\\k=1,2,\cdots,n\end{dcases}\tag{7} BEk=p∑i=1p?Eik??,{i=1,2,?,pk=1,2,?,n?(7)其中， B S k BS^k BSk和 B E k BE^k BEk是第 k k k層的結合態和結合能； X i k X_i^k Xik?和 E i k E_i^k Eik?是第 i i i個候選解在第 k k k層中的位置和目標函式值； m m m是搜索空間中候選解的總數，
基于所提供的細節，還通過考慮搜索空間中所有候選解的位置和目標函式值的平均值來確定原子的結合態和結合能，如下所示： B S = ∑ i = 1 m X i m , ?? i = 1 , 2 , ? ? , m (8) BS=\frac{\sum_{i=1}^mX_i}{m},\,\,i=1,2,\cdots,m\tag{8} BS=m∑i=1m?Xi??,i=1,2,?,m(8) B E = ∑ i = 1 m E i m , ?? i = 1 , 2 , ? ? , m (8) BE=\frac{\sum_{i=1}^mE_i}{m},\,\,i=1,2,\cdots,m\tag{8} BE=m∑i=1m?Ei??,i=1,2,?,m(8)其中， B S BS BS和 B E BE BE是原子的結合態和結合能； X i X_i Xi?和 E i E_i Ei?是第 i i i個候選解在原子中的位置和目標函式值，
為了從數學上表示光子對原子核周圍電子的作用，在 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1)范圍內為每個電子生成一個均勻分布的亂數( ? \phi ?)，此外，光子速率( P R PR PR)被確定為代表考慮光子對電子作用的概率的引數，如果每個電子的隨機生成數( ? \phi ?)大于 P R PR PR( ? ≥ P R \phi\geq PR ?≥PR)，光子對電子的作用是可能的，因此根據光子的發射和吸收來考慮原子核周圍不同層之間的電子運動，在這方面，將每個假想層中的每個候選解( X i k X_i^k Xik?)的能級( E i k E_i^k Eik?)與該層的結合能( B E k BE^k BEk)進行比較，以決定光子的發射和吸收，如果特定層中的候選解高于該層的結合能( E i k ≥ B E k E_i^k\geq BE^k Eik?≥BEk)，考慮了光子的發射，在這個程序中，候選解傾向于發射具有 β \beta β和 γ \gamma γ能量的光子，以便同時達到原子的結合態( B S BS BS)和原子中具有最低能級( L E LE LE)的電子態，該程序中候選解的位置更新程序的數學方程如下： X i + 1 k = X i k + α i × ( β i × L E ? γ i × B S ) k , ?? { i = 1 , 2 , ? ? , p k = 1 , 2 , ? ? , n (10) X_{i+1}^k=X_i^k+\frac{\alpha_i\times(\beta_i\times LE-\gamma_i\times BS)}{k},\,\,\begin{dcases}i=1,2,\cdots,p\\k=1,2,\cdots,n\end{dcases}\tag{10} Xi+1k?=Xik?+kαi?×(βi?×LE?γi?×BS)?,{i=1,2,?,pk=1,2,?,n?(10)其中， X i k X_i^k Xik?和 X i + 1 k X_{i+1}^k Xi+1k?是第 k k k層第 i i i個候選解的當前和未來位置； L E LE LE是原子中能級最低的候選解； B S BS BS是原子的結合態； α i \alpha_i αi?、 β i \beta_i βi?和 γ i \gamma_i γi?是包含隨機生成的數的向量，這些數均勻分布在 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1)中，用于確定釋放的能量，
如果特定層中候選解的能級低于該層的結合能( E i k < B E k E_i^k<BE^k Eik?<BEk)，則考慮光子的吸收，在此程序中，候選解傾向于吸收具有 β \beta β和 γ \gamma γ能量的光子，以便同時達到層的結合態( B S k BS^k BSk)和所考慮層內具有最低能級( L E k LE^k LEk)的電子態，該程序中候選解的位置更新程序的數學方程如下： X i + 1 k = X i k + α i × ( β i × L E k ? γ i × B S k ) , ?? { i = 1 , 2 , ? ? , p k = 1 , 2 , ? ? , n (11) X_{i+1}^k=X_i^k+\alpha_i\times(\beta_i\times LE^k-\gamma_i\times BS^k),\,\,\begin{dcases}i=1,2,\cdots,p\\k=1,2,\cdots,n\end{dcases}\tag{11} Xi+1k?=Xik?+αi?×(βi?×LEk?γi?×BSk),{i=1,2,?,pk=1,2,?,n?(11)其中， X i k X_i^k Xik?和 X i + 1 k X_{i+1}^k Xi+1k?是第 k k k層第 i i i個候選解的當前和未來位置； L E k LE^k LEk是第 k k k層最低能級的候選解； B S k BS^k BSk是第 k k k層的結合態； α i \alpha_i αi?、 β i \beta_i βi?和 γ i \gamma_i γi?是包含隨機生成的數字的向量，這些數字均勻分布在 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1)內，用來確定吸收的能量，
如果每個電子的隨機生成數( ? \phi ?)小于 P R PR PR( ? < P R \phi<PR ?<PR)，光子對電子的作用是不可能的，因此電子在原子核周圍不同層之間的運動是基于一些其他作用來考慮的，例如與粒子或磁場的相互作用，這也會導致能量的吸識訓發射，在這種情況下，基于這些影響的候選解的位置更新程序考慮如下： X i + 1 k = X i k + r i , ?? { i = 1 , 2 , ? ? , p k = 1 , 2 , ? ? , n (12) X_{i+1}^k=X_i^k+r_i,\,\,\begin{dcases}i=1,2,\cdots,p\\k=1,2,\cdots,n\end{dcases}\tag{12} Xi+1k?=Xik?+ri?,{i=1,2,?,pk=1,2,?,n?(12)其中， X i k X_i^k Xik?和 X i + 1 k X_{i+1}^k Xi+1k?是第 k k k層的第 i i i個候選解的當前和以后的位置； r i r_i ri?是包含隨機生成的、均勻分布在 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1)范圍內的數的向量，

2、AOS演算法偽代碼

AOS演算法偽代碼如圖1所示，

二、仿真實驗與結果分析

將AOS與CS、MVO、SCA和ASO進行對比，實驗設定種群規模為30，最大迭代次數為500，每個演算法獨立運行30次，以文獻[1]表1中的F2、F5、F9、F12、F19、F20為例，結果顯示如下：

函式：F2
CS：最差值: -24.1568,最優值:-24.1568,平均值:-24.1568,標準差:2.5805e-14,秩和檢驗:2.9394e-11
MVO：最差值: -24.1568,最優值:-24.1568,平均值:-24.1568,標準差:7.519e-06,秩和檢驗:6.5261e-07
SCA：最差值: -23.8634,最優值:-24.1566,平均值:-24.0874,標準差:0.069195,秩和檢驗:6.0658e-11
ASO：最差值: -24.1568,最優值:-24.1568,平均值:-24.1568,標準差:1.0535e-14,秩和檢驗:1.493e-11
AOS：最差值: -24.1552,最優值:-24.1568,平均值:-24.1566,標準差:0.00033143,秩和檢驗:1
函式：F5
CS：最差值: -176.1376,最優值:-176.1376,平均值:-176.1376,標準差:2.5622e-08,秩和檢驗:3.018e-11
MVO：最差值: -87.9127,最優值:-176.1375,平均值:-152.9815,標準差:26.927,秩和檢驗:0.27719
SCA：最差值: -174.987,最優值:-176.1288,平均值:-175.8362,標準差:0.31515,秩和檢驗:0.66273
ASO：最差值: -174.7214,最優值:-176.1376,平均值:-176.0904,標準差:0.25855,秩和檢驗:1.1008e-11
AOS：最差值: -116.4539,最優值:-176.1376,平均值:-157.3459,標準差:19.1508,秩和檢驗:1
函式：F9
CS：最差值: 29.2708,最優值:19.0584,平均值:24.8225,標準差:2.2115,秩和檢驗:3.0199e-11
MVO：最差值: 29.9993,最優值:11.8974,平均值:19.9867,標準差:4.5268,秩和檢驗:3.0199e-11
SCA：最差值: 19.1098,最優值:0.1319,平均值:6.8485,標準差:5.4352,秩和檢驗:3.0199e-11
ASO：最差值: 3.4859,最優值:0.013215,平均值:0.65353,標準差:0.92359,秩和檢驗:3.0199e-11
AOS：最差值: 3.5199e-43,最優值:1.5371e-48,平均值:3.99e-44,標準差:8.3344e-44,秩和檢驗:1
函式：F12
CS：最差值: -7.8128,最優值:-11.9745,平均值:-9.5058,標準差:0.85397,秩和檢驗:3.0199e-11
MVO：最差值: -4.5564,最優值:-12.7298,平均值:-8.1503,標準差:1.7621,秩和檢驗:3.0199e-11
SCA：最差值: -8.8889,最優值:-17.0615,平均值:-13.5132,標準差:1.9294,秩和檢驗:3.0199e-11
ASO：最差值: -12.4997,最優值:-22.8914,平均值:-16.5863,標準差:2.7027,秩和檢驗:9.7555e-10
AOS：最差值: -17.7861,最優值:-38.7822,平均值:-28.5505,標準差:6.4297,秩和檢驗:1
函式：F19
CS：最差值: 29.82,最優值:20.2292,平均值:25.5522,標準差:2.6163,秩和檢驗:3.0199e-11
MVO：最差值: 76.7663,最優值:49.9226,平均值:59.6446,標準差:7.2029,秩和檢驗:3.0199e-11
SCA：最差值: 95.9587,最優值:82.1738,平均值:89.5301,標準差:2.9261,秩和檢驗:3.0199e-11
ASO：最差值: 39.7413,最優值:16.5756,平均值:26.9601,標準差:5.8629,秩和檢驗:3.0199e-11
AOS：最差值: 4.1414e-37,最優值:1.1815e-41,平均值:3.5309e-38,標準差:8.505e-38,秩和檢驗:1
函式：F20
CS：最差值: -372,最優值:-421,平均值:-389.4,標準差:13.242,秩和檢驗:2.9785e-11
MVO：最差值: -367,最優值:-466,平均值:-424.3333,標準差:22.0678,秩和檢驗:3.0047e-11
SCA：最差值: -202,最優值:-260,平均值:-229.2,標準差:14.3897,秩和檢驗:0.63599
ASO：最差值: -257,最優值:-308,平均值:-282.3333,標準差:15.1278,秩和檢驗:8.0519e-09
AOS：最差值: -155,最優值:-304,平均值:-223.2667,標準差:38.2388,秩和檢驗:1

實驗結果表明：AOS演算法的優化性能更優越，

三、參考文獻

[1] Mahdi Azizi. Atomic orbital search: A novel metaheuristic algorithm[J]. Applied Mathematical Modelling, 2021, 93: 657-683.