文章目錄
- 一、判斷系統是否 " 非時變 "
- 1、案例二
- ① 時不變系統概念
- ② 先變換后移位
- ③ 先移位后變換
- ④ 結論
一、判斷系統是否 " 非時變 "
1、案例二
給定 輸入序列 x ( n ) = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 0 } x(n) = \{ 0, 1 , 2, 3, 4, 5 , 0 \} x(n)={0,1,2,3,4,5,0} , n n n 取值 ? 1 -1 ?1 ~ 5 5 5
判斷其輸出序列 y ( n ) = x ( n 2 ) y(n) = x(n^2) y(n)=x(n2) 的 " 變換 " 操作是否是 " 時不變 " 的 ;
y ( n ) = x ( n 2 ) y(n) = x(n^2) y(n)=x(n2) 變換操作 :
y ( n ) y(n) y(n) 只有在 n = ? 1 , 0 , 1 , 2 n = -1 , 0 , 1 , 2 n=?1,0,1,2 取值時 , 才有值 ,
如果
n
=
3
n = 3
n=3 ,
n
2
=
9
n^2 = 9
n2=9 ,
x
(
9
)
x(9)
x(9) 沒有值 ;
如果
n
=
4
n = 4
n=4 ,
n
2
=
16
n^2 = 16
n2=16 ,
x
(
16
)
x(16)
x(16) 沒有值 ;
如果
n
=
5
n = 5
n=5 ,
n
2
=
25
n^2 = 25
n2=25 ,
x
(
10
)
x(10)
x(10) 沒有值 ;
因此 , 正常變換后 , y ( n ) y(n) y(n) 的取值是 n = 0 , 1 , 2 n = 0 , 1 , 2 n=0,1,2 時的取值 ,
當
n
=
?
1
n = -1
n=?1 時 ,
y
(
n
)
=
x
(
n
2
)
=
x
(
(
?
1
)
2
)
=
x
(
1
)
=
2
y(n) = x(n^2) = x((-1)^2) = x(1) = 2
y(n)=x(n2)=x((?1)2)=x(1)=2 ;
當
n
=
0
n = 0
n=0 時 ,
y
(
n
)
=
x
(
n
2
)
=
x
(
0
2
)
=
x
(
0
)
=
1
y(n) = x(n^2) = x(0^2) = x(0) = 1
y(n)=x(n2)=x(02)=x(0)=1 ;
當
n
=
1
n = 1
n=1 時 ,
y
(
n
)
=
x
(
n
2
)
=
x
(
1
2
)
=
x
(
1
)
=
2
y(n) = x(n^2) = x(1^2) = x(1) = 2
y(n)=x(n2)=x(12)=x(1)=2 ;
當
n
=
2
n = 2
n=2 時 ,
y
(
n
)
=
x
(
n
2
)
=
x
(
2
2
)
=
x
(
4
)
=
5
y(n) = x(n^2) = x(2^2) = x(4) = 5
y(n)=x(n2)=x(22)=x(4)=5 ;
其中 ? 1 -1 ?1 和 1 1 1 的平方都為 1 1 1 , 合并成一個 ;
x ( n ) x(n) x(n) 正常變換后的取值為 :
y ( n ) = { 1 , 2 , 5 } y(n) = \{ 1, 2, 5 \} y(n)={1,2,5}
① 時不變系統概念
時不變系統 ( time-invariant ) : 系統特性 , 不隨著時間的變化而變化 ;
y ( n ? m ) = T [ x ( n ? m ) ] y(n - m) = T[x(n-m)] y(n?m)=T[x(n?m)]
輸入延遲后 , 輸出也隨之延遲 ;
與 " 時不變 " 系統對應的是 " 時變 " 系統 ;
② 先變換后移位
將 " 輸出序列 " 進行移位 , 先 " 變換 " 后 " 移位 " ;
先將 " 輸入序列 " 進行 " 變換 " 操作 , 得到 " 輸出序列 " , 然后對 輸出序列 進行 " 移位 " 操作 ;
其中 " 變換 " 指的是 , 離散時間系統 , 將 " 輸入序列 " 變換 為 " 輸出序列 " , 輸入序列 到 輸出序列 之間的操作 , 是 " 變換 " ;
變換操作 : 先將 輸入序列 x ( n ) x(n) x(n) 進行 變換 操作 , 得到 輸出序列 x ( n 2 ) x(n^2) x(n2) ,
移位操作 : 然后 對 x ( n 2 ) x(n^2) x(n2) 輸出序列 進行移位 n ? n 0 n - n_0 n?n0? 得到 x ( ( n ? n 0 ) 2 ) x((n-n_0)^2) x((n?n0?)2) ,
完整運算程序如下 :
y ( n ? n 0 ) = x ( ( n ? n 0 ) 2 ) y(n - n_0) = x((n-n_0)^2) y(n?n0?)=x((n?n0?)2)
先變換 , 變換后輸出為 :
y
(
n
)
=
{
1
,
2
,
5
}
y(n) = \{ 1, 2, 5 \}
y(n)={1,2,5}
后移位的取值為 : 向右移一位 ;
y ( n ? 1 ) = { 0 , 1 , 2 , 5 } y(n-1) = \{ 0, 1, 2, 5 \} y(n?1)={0,1,2,5}
③ 先移位后變換
將 " 輸入序列 " 進行移位 , 先進行移位 , 將 " 輸入序列 x ( n ) x(n) x(n) " 先進行 " 移位 " 操作 , 得到 新的 " 輸入序列 " 為 x ( n ? n 0 ) x(n-n_0) x(n?n0?) , 然后 對新的輸入序列進行 " 變換 " 操作 , 得到 " 輸出序列 " ;
變換程序是 T [ x ( n ? n 0 ) ] = x ( n 2 ? n 0 ) T[x(n - n_0)] = x(n^2 - n_0) T[x(n?n0?)]=x(n2?n0?) , 變換時 , 只是將 n n n 值變為 n 2 n^2 n2 , n 0 n_0 n0? 值不動 ;
x ( n ? n 0 ) x(n-n_0) x(n?n0?) 變換時 , 只將 n n n 乘以 2 2 2 , n 0 n_0 n0? 不變 , 變換結果如為 x ( 2 n ? n 0 ) x(2n - n_0) x(2n?n0?) ;
完整程序如下 :
T [ x ( n ? n 0 ) ] = x ( n 2 ? n 0 ) T[x(n - n_0)] = x(n^2 - n_0) T[x(n?n0?)]=x(n2?n0?)
先將
x
(
n
)
=
{
0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
0
}
x(n) = \{ 0, 1 , 2, 3, 4, 5 , 0 \}
x(n)={0,1,2,3,4,5,0} ,
n
n
n 取值
?
1
-1
?1 ~
5
5
5 , 向右移位 , 移位后的序列 :
x
(
n
)
=
{
0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
5
}
x(n) = \{ 0, 1 , 2, 3, 4, 5 \}
x(n)={0,1,2,3,4,5}
n
n
n 取值
0
0
0 ~
6
6
6 , 移位后的序列圖式如下 :
向右移位 1 后 ,
n
n
n 取值 由原來的
?
1
-1
?1 ~
5
5
5 變為了
0
0
0 ~
6
6
6 ,
y ( n ) y(n) y(n) 只有在 n = 0 , 1 , 2 n = 0 , 1 , 2 n=0,1,2 取值時 , 才有值 ,
如果
n
=
3
n = 3
n=3 ,
n
2
=
9
n^2 = 9
n2=9 ,
x
(
9
)
x(9)
x(9) 沒有值 ;
如果
n
=
4
n = 4
n=4 ,
n
2
=
16
n^2 = 16
n2=16 ,
x
(
16
)
x(16)
x(16) 沒有值 ;
如果
n
=
5
n = 5
n=5 ,
n
2
=
25
n^2 = 25
n2=25 ,
x
(
10
)
x(10)
x(10) 沒有值 ;
因此 , 正常變換后 , y ( n ) y(n) y(n) 的取值是 n = 0 , 1 , 2 n = 0 , 1 , 2 n=0,1,2 時的取值 ,
當
n
=
0
n = 0
n=0 時 ,
y
(
n
)
=
x
(
n
2
)
=
x
(
0
2
)
=
x
(
0
)
=
0
y(n) = x(n^2) = x(0^2) = x(0) = 0
y(n)=x(n2)=x(02)=x(0)=0 ;
當
n
=
1
n = 1
n=1 時 ,
y
(
n
)
=
x
(
n
2
)
=
x
(
1
2
)
=
x
(
1
)
=
1
y(n) = x(n^2) = x(1^2) = x(1) = 1
y(n)=x(n2)=x(12)=x(1)=1 ;
當
n
=
2
n = 2
n=2 時 ,
y
(
n
)
=
x
(
n
2
)
=
x
(
2
2
)
=
x
(
4
)
=
4
y(n) = x(n^2) = x(2^2) = x(4) = 4
y(n)=x(n2)=x(22)=x(4)=4 ;
x ( n ? 1 ) x(n - 1) x(n?1) 正常變換后的取值為 :
T ( x ( n ? 1 ) ) = { 0 , 1 , 4 } T(x(n -1 )) = \{ 0, 1, 4 \} T(x(n?1))={0,1,4}
④ 結論
先 " 變換 " 后 " 移位 " , 結果是 x ( ( n ? n 0 ) 2 ) x((n-n_0)^2) x((n?n0?)2) , 輸出序列 為 y ( n ? 1 ) = { 0 , 1 , 2 , 5 } y(n-1) = \{ 0, 1, 2, 5 \} y(n?1)={0,1,2,5}
先 " 移位 " 后 " 變換 " , 結果是 x ( n 2 ? n 0 ) x(n^2 - n_0) x(n2?n0?) , 輸出序列為 T ( x ( n ? 1 ) ) = { 0 , 1 , 4 } T(x(n -1 )) = \{ 0, 1, 4 \} T(x(n?1))={0,1,4}
該系統是 " 時變系統 " ;
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