一、判斷系統是否 " 非時變 "

1、案例二

給定 輸入序列 x ( n ) = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 0 } x(n) = \{ 0, 1 , 2, 3, 4, 5 , 0 \} x(n)={0,1,2,3,4,5,0} , n n n 取值 ? 1 -1 ?1 ~ 5 5 5

判斷其輸出序列 y ( n ) = x ( 2 n ) y(n) = x(2n) y(n)=x(2n) 的 " 變換 " 操作是否是 " 時不變 " 的 ;

y ( n ) y(n) y(n) 只有在 n = 0 , 1 , 2 n = 0 , 1 , 2 n=0,1,2 取值時 , 才有值 ,

如果 n = ? 1 n = -1 n=?1 , 2 n = ? 2 2n = -2 2n=?2 , x ( ? 2 ) x(-2) x(?2) 沒有值 ;
如果 n = 3 n = 3 n=3 , 2 n = 6 2n = 6 2n=6 , x ( 6 ) x(6) x(6) 沒有值 ;
如果 n = 4 n = 4 n=4 , 2 n = 8 2n = 8 2n=8 , x ( 8 ) x(8) x(8) 沒有值 ;
如果 n = 5 n = 5 n=5 , 2 n = 10 2n = 10 2n=10 , x ( 10 ) x(10) x(10) 沒有值 ;

因此 , 正常變換后 , y ( n ) y(n) y(n) 的取值是 n = 0 , 1 , 2 n = 0 , 1 , 2 n=0,1,2 時的取值 ,

當 n = 0 n = 0 n=0 時 , y ( n ) = x ( 2 n ) = x ( 0 ) = 1 y(n) = x(2n) = x(0) = 1 y(n)=x(2n)=x(0)=1 ;
當 n = 1 n = 1 n=1 時 , y ( n ) = x ( 2 n ) = x ( 2 ) = 3 y(n) = x(2n) = x(2) = 3 y(n)=x(2n)=x(2)=3 ;
當 n = 2 n = 2 n=2 時 , y ( n ) = x ( 2 n ) = x ( 4 ) = 5 y(n) = x(2n) = x(4) = 5 y(n)=x(2n)=x(4)=5 ;

x ( n ) x(n) x(n) 正常變換后的取值為 :

y ( n ) = { 1 , 3 , 5 } y(n) = \{ 1, 3, 5 \} y(n)={1,3,5}

① 時不變系統概念

時不變系統 ( time-invariant ) : 系統特性 , 不隨著時間的變化而變化 ;

y ( n ? m ) = T [ x ( n ? m ) ] y(n - m) = T[x(n-m)] y(n?m)=T[x(n?m)]

輸入延遲后 , 輸出也隨之延遲 ;

與 " 時不變 " 系統對應的是 " 時變 " 系統 ;

② 先變換后移位

將 " 輸出序列 " 進行移位 , 先 " 變換 " 后 " 移位 " ;

先將 " 輸入序列 " 進行 " 變換 " 操作 , 得到 " 輸出序列 " , 然后對 輸出序列 進行 " 移位 " 操作 ;

其中 " 變換 " 指的是 , 離散時間系統 , 將 " 輸入序列 " 變換 為 " 輸出序列 " , 輸入序列 到 輸出序列 之間的操作 , 是 " 變換 " ;

變換操作 : 先將 輸入序列 x ( n ) x(n) x(n) 進行 變換 操作 , 得到 輸出序列 x ( 2 n ) x(2n) x(2n) ,

移位操作 : 然后 對 x ( 2 n ) x(2n) x(2n) 輸出序列 進行移位 n ? n 0 n - n_0 n?n0? 得到 x ( 2 ( n ? n 0 ) ) x(2(n-n_0)) x(2(n?n0?)) ,

完整運算程序如下 :

y ( n ? n 0 ) = x ( 2 ( n ? n 0 ) ) y(n - n_0) = x(2(n-n_0)) y(n?n0?)=x(2(n?n0?))

先變換 , 變換后輸出為 :
y ( n ) = { 1 , 3 , 5 } y(n) = \{ 1, 3, 5 \} y(n)={1,3,5}

后移位的取值為 : 向右移一位 ;

y ( n ? 1 ) = { 0 , 1 , 3 , 5 } y(n-1) = \{ 0, 1, 3, 5 \} y(n?1)={0,1,3,5}

③ 先移位后變換

將 " 輸入序列 " 進行移位 , 先進行移位 , 將 " 輸入序列 x ( n ) x(n) x(n) " 先進行 " 移位 " 操作 , 得到 新的 " 輸入序列 " 為 x ( n ? n 0 ) x(n-n_0) x(n?n0?) , 然后 對新的輸入序列進行 " 變換 " 操作 , 得到 " 輸出序列 " ;

變換程序是 T [ x ( n ? n 0 ) ] = x ( 2 n ? n 0 ) T[x(n - n_0)] = x(2n - n_0) T[x(n?n0?)]=x(2n?n0?) , 變換時 , 只是將 n n n 值變為 2 n 2n 2n , n 0 n_0 n0? 值不動 ;

x ( n ? n 0 ) x(n-n_0) x(n?n0?) 變換時 , 只將 n n n 乘以 2 2 2 , n 0 n_0 n0? 不變 , 變換結果如為 x ( 2 n ? n 0 ) x(2n - n_0) x(2n?n0?) ;

完整程序如下 :

T [ x ( n ? n 0 ) ] = x ( 2 n ? n 0 ) T[x(n - n_0)] = x(2n - n_0) T[x(n?n0?)]=x(2n?n0?)

先將 x ( n ) = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 0 } x(n) = \{ 0, 1 , 2, 3, 4, 5 , 0 \} x(n)={0,1,2,3,4,5,0} , n n n 取值 ? 1 -1 ?1 ~ 5 5 5 , 向右移位 , 移位后的序列 :
x ( n ) = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } x(n) = \{ 0, 1 , 2, 3, 4, 5 \} x(n)={0,1,2,3,4,5} n n n 取值 0 0 0 ~ 6 6 6 , 移位后的序列圖式如下 :

向右移位 1 后 , n n n 取值 由原來的 ? 1 -1 ?1 ~ 5 5 5 變為了 0 0 0 ~ 6 6 6 ,

y ( n ) y(n) y(n) 只有在 n = 0 , 1 , 2 , 3 n = 0 , 1 , 2 , 3 n=0,1,2,3 取值時 , 才有值 ,

如果 n = 4 n = 4 n=4 , 2 n = 8 2n = 8 2n=8 , x ( 8 ) x(8) x(8) 沒有值 ;
如果 n = 5 n = 5 n=5 , 2 n = 10 2n = 10 2n=10 , x ( 10 ) x(10) x(10) 沒有值 ;

因此 , 正常變換后 , y ( n ) y(n) y(n) 的取值是 n = 0 , 1 , 2 n = 0 , 1 , 2 n=0,1,2 時的取值 ,

當 n = 0 n = 0 n=0 時 , y ( n ) = x ( 2 n ) = x ( 0 ) = 0 y(n) = x(2n) = x(0) = 0 y(n)=x(2n)=x(0)=0 ;
當 n = 1 n = 1 n=1 時 , y ( n ) = x ( 2 n ) = x ( 2 ) = 2 y(n) = x(2n) = x(2) = 2 y(n)=x(2n)=x(2)=2 ;
當 n = 2 n = 2 n=2 時 , y ( n ) = x ( 2 n ) = x ( 4 ) = 4 y(n) = x(2n) = x(4) = 4 y(n)=x(2n)=x(4)=4 ;
當 n = 3 n = 3 n=3 時 , y ( n ) = x ( 2 n ) = x ( 6 ) = 0 y(n) = x(2n) = x(6) = 0 y(n)=x(2n)=x(6)=0 ;

x ( n ? 1 ) x(n - 1) x(n?1) 正常變換后的取值為 :

T ( x ( n ? 1 ) ) = { 0 , 2 , 4 , 0 } T(x(n -1 )) = \{ 0, 2, 4, 0 \} T(x(n?1))={0,2,4,0}

④ 結論

先 " 變換 " 后 " 移位 " , 結果是 x ( 2 ( n ? n 0 ) ) x(2(n-n_0)) x(2(n?n0?)) , 輸出序列 為 y ( n ? 1 ) = { 0 , 1 , 3 , 5 } y(n-1) = \{ 0, 1, 3, 5 \} y(n?1)={0,1,3,5}

先 " 移位 " 后 " 變換 " , 結果是 x ( 2 n ? n 0 ) x(2n - n_0) x(2n?n0?) , 輸出序列為 T ( x ( n ? 1 ) ) = { 0 , 2 , 4 , 0 } T(x(n -1 )) = \{ 0, 2, 4, 0 \} T(x(n?1))={0,2,4,0}

該系統是 " 時變系統 " ;