參考教材：
鄧少強，朱富海：《抽象代數》，北京，科學出版社，2017 年
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群 Group
對于非空集合 \(G\)，\(\circ\) 是它的一個代數運算，如果滿足以下條件：
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結合律成立，即對 \(G\) 中任意元素 \(a, b, c\) 都有
\[(a \circ b) \circ c=a \circ(b \circ c) \] -
\(G\) 中有元素 \(e\)，叫做 \(G\) 的左單位元，它對 \(G\) 中每個元素 \(a\) 都有
\[e \circ a=a \] -
對 \(G\) 中每個元素 \(a\)，在 \(G\) 中都有元素 \(a^{-1}\)，叫做 \(a\) 的左逆元 (Inverse)，使
\[a^{-1} \circ a=e \]
則稱 \(G\) 對代數運算 \(\circ\) 作成一個群，
群是一個滿足封閉性、滿足結合律、有單位元、有逆元的二元運算的代數結構，
單位元，也叫幺元，英文 Identity Element，
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半群 Semi-group
設 \(S\) 是一個非空集合，如果它有一個代數運算滿足結合律，則稱 \(S\) 是一個半群，
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子群
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設 \(H\) 是群 \(G\) 的一個非空子集，如果 \(H\) 對于 \(G\) 的運算也構成群，則稱 \(H\) 為 \(G\) 的子群，記作 \(H<G\)
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設 \(m \in \mathbb{N}\)，則 \(m \mathbb{Z}=\{m n \mid n \in \mathbb{Z}\}\) 是 \(\mathbb{Z}\) 的子群
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\(\mathbb{Z}\) 的任何子群都形如 \(m \mathbb{Z}, m \in \mathbb{N}\).
設 \(G\) 為群，\(a \in G\)，記 \(a^0=e\)
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對 \(k \in \mathbb{N}\)，令 \(a^k=a \cdot a^{k-1},a^{-k}=\left(a^{-1}\right)^k\)
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對 加法群 \(G\)，\(a^n\) 通常記為 \(n a\)
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\(\langle a\rangle=\left\{a^n \mid n \in \mathbb{Z}\right\}\) 是 \(G\) 的子群，稱為 \(a\) 生成的子群，子群的階也稱為 \(a\) 的階
更一般地，設 \(S\) 是群 \(G\) 中一個非空子集，令 \(S^{-1}=\left\{a^{-1} \mid a \in S\right\}\)，記
\[\langle S\rangle=\{x_1, \ldots ,x_m \mid m \in \mathbb{N}, x_1, \ldots, x_m \in S \cup S^{-1}\} \]\(\langle S\rangle\) 是 \(G\) 的一個子群，稱為 \(S\) 生成的子群，
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陪集 Coset
設 \(H\) 是群 \(G\) 的一個子群，\(a \in G\)，則稱群 \(G\) 的子集
\[a H=\{a x \mid x \in H\} \]為群 \(G\) 關于子群 \(H\) 的一個左陪集，而稱
\[H a=\{x a \mid x \in H\} \]為群 \(G\) 關于子群 \(H\) 的一個右陪集，
以上敘述中都把群 \(G\) 中的運算記作乘法，并且省去了運算子，
如果群 \(G\) 中的運算記作加法，則以 \(a\) 為代表的左陪集應該記作
\[a+H=\{a+h|h\in H\} \] -
同余類 Congruence Class（或剩余類 Residue Class）
Modular arithmetic - Wikipedia
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模 \(m\) 同余是一個等價關系，由此確定了整數上的一個分類
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對于 \(\forall a\in [0,m-1]\)，集合 \(a+m\mathbb{Z}\) 中的所有數模 \(m\) 同余，這個集合叫做 \(a\) 的等價類，也叫同余類，記作 \([a]\;\text{or}\;\overline{a}_m\)
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滿足：
\[\mathbb{Z}=(0+m \mathbb{Z}) \cup(1+m \mathbb{Z}) \cup \cdots \cup((m-1)+m \mathbb{Z})=\{\overline0+\overline1+\cdots+\overline {m-1} \} \]
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最小剩余系（Residue Systems）
每個等價類通常用他們的最小非負元素來表示，這些最小代表的集合就是模 \(m\)所得的余數域，也叫最小的剩余系 \(\mathbb{Z}_m=\{0,1,\cdots,m-1\}\)
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商集 Equivalence Set
商集是集合的一個劃分，設 \(\sim\) 為集合 \(S\) 的一個等價關系，則 \(S/\sim\) 稱為商集，是等價類構成的集合，
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正規子群 Normal Subgroup 和商群 Quotient Group
Quotient group - Wikipedia
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設 \(H\) 是群 \(G\) 的一個子群，如果 \(\forall a\in G,~aH=Ha\)，則稱 \(H\) 為 \(G\) 上的正規子群，記作 \(H\lhd G\)
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設 \(H\) 是群 \(G\) 的一個正規子群，定義 \(G/H=\{aH|a\in G\}\)，對于陪集乘法
\[(aH)(bH)=a(Hb)H=(ab)HH=abH \]構成一個陪集為元素的群，叫做商群
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由于 \(\{\mathbb{Z} ;+\}\) 是交換群，故其任一子群 \(m \mathbb{Z}\) 是 \(\mathbb{Z}\) 的正規子群，所以有商群：
\[\begin{aligned}&\mathbb{Z} / m \mathbb{Z}= \begin{cases}\mathbb{Z}, & m=0 \\ \{\overline{0}, \overline{1}, \ldots, \overline{m-1}\}, & m \neq 0\end{cases}\\ &m\mathbb{Z}=\overline 0\\ &\overline a=a+m\mathbb{Z}=a\circ m\mathbb{Z} \end{aligned} \]注意商群元素之間的運算為模 \(m\) 加法，這個群通常簡記為 \(\mathbb{Z}_m\)（但是這個記號容易弄混），稱為模 \(m\) 的剩余類加群，
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當商群元素間的運算為模 \(m\) 乘法，這個商群記為 \((\mathbb{Z} / m \mathbb{Z})^\times\)，不同于加群，這個群的大小為歐拉函式 \(\varphi(m)\)（英文：Euler's totient Function），即集合 \(\{1,\cdots,m-1\}\) 中與 \(m\) 互質的數的個數，則
\[\begin{aligned} &(\mathbb{Z} / m \mathbb{Z})^\times= \{\overline p|~\overline p\in(\mathbb{Z} / m \mathbb{Z})^+,\gcd(p,m)=1\}, m \neq 0\\ &\overline 1 \text{is}~\text{the}~\text{identity}\\ &\overline a\times \overline b=\overline{a\times b} \end{aligned} \]Multiplicative group of integers modulo n - Wikipedia
http://www.math.columbia.edu/~rf/numbertheory2.pdf
其中單位元為 \(\overline 1\) ，一個元素 \(\overline a\) 的最小非負代表數 \(a\) 的逆元 \(a^{-1}\) 要滿足同余方程 \(aa^{-1} \equiv 1(\mathrm{mod}~m)\)，即方程 \(ax + my= 1\) 要有整數解 \(x,y\)，
根據裴蜀（貝祖）定理的推論，\(??,??\) 互質的充要條件是存在整數 \(??,??\) 使 \(????+????=1\)，所以 \(\mathbb{Z}_m^\times\) 中的最小非負代表數都是和 \(m\) 互質的數，否則沒有逆元，
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環 Ring
設非空集合 \(R\) 有兩個代數運算，一個叫做加法（一般用 \(+\) 表示），另一個叫做乘法，如果：
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\(R\) 對加法作成一個交換群
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\(R\) 對乘法滿足結合律（即半群）
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乘法對加法滿足左右分配律：
\[\forall a,b,c\in R,\quad a(b+c)=a b+a c, \quad(b+c) a=b a+c a \]
則稱 \(R\) 對這兩個代數運算作成一個環，
若對乘法滿足交換律，則稱為可換環 Commutative Ring
若乘法有單位元，則稱為幺環
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理想 Ideal
Ideal (ring theory) - Wikipedia
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設 \(R\) 為環，\(I\) 為 \(R\) 的子環，如果 \(I\) 滿足條件「\(a \in I, x \in R \Rightarrow x a \in I\)」，則稱 \(I\) 為 \(R\) 的左理想
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如果 \(I\) 滿足條件「\(a \in I, y \in R \Rightarrow a y \in I\)」，則稱 \(I\) 為 \(R\) 的右理想
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若一個子環既是左理想，又是右理想，則稱為雙邊理想 Two-sided Ideal
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主理想 Principal Ideal
Principal ideal - Wikipedia
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主理想是環 \(R\) 的一個由單個元素 \(a\) 生成的理想 \(I\)，分為左/右/雙邊主理想
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左主理想嚴謹表示為（右類似）：
\[I=Ra=\{ra|r\in R\} \] -
雙邊主理想嚴謹表示為（沒太看懂，國內博客好像不太一致）：
\[I=R a R=\left\{r_{1} a s_{1}+\cdots+r_{n} a s_{n}| r_{1}, s_{1}, \ldots, r_{n}, s_{n} \in R\right\} \] -
對于可換環，以上三種主理想是一樣的，可以記由 \(a\) 生成的環為 \(I=\langle a\rangle\; \text{or} \;I=(a)\)
\(\mathbb{Z}\) 的主理想就是 \(\langle m \rangle = m\mathbb{Z}\)
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商環 Quotient Ring（或剩余類環 Residue Class Ring）
Quotient ring - Wikipedia
設 \(R\) 是一個環，\(I\) 是 \(R\) 的理想，考慮加法群 \(\{R ;+\}\) 對于子群 \(I\) 的商群 \(R / I\)，將 \(a \in R\) 所在的等價類記為 \(a+I\)，在 \(R / I\) 上定義乘法如下:
\[(a+I)(b+I)=a b+I . \]則集合 \(R / I\) 對于商群的加法以及上述乘法運算構成一個環，稱為 \(R\) 對于理想 \(I\) 的商環，
\(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\) 就是一個商環，當 \(m>0\) 時，稱 \(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\) 為 \(\mathbb{Z}\) 模 \(m\) 的剩余類環，
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