數位dp
思想
一般來說，題目是要求在區間\([l,r]\)中符合某一種條件的數的個數
我們用前綴和的思想考慮，分別求出\([1,r]\)和\([1,l-1]\)中數的個數相減即為所求
這里采用記憶化搜索的方式實作
模板
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<vector>
#define int long long//這是因為數位問題的結果一般比較大，直接使用longlong
int dp[N][N][……];//DP陣列，第一維代表數的長度，其他維由具體問題決定
vector<int>nums;//分解出的每一位數字
int len;
int dfs(int pos, status, int limit, int zero){
if(pos>len) return //根據status回傳結果，不是0就是1;
if(!zero && !limit && dp[pos][status]!=-1) return dp[pos][status];
int last = limit ? nums[len-pos-1] : 9;
int ans = 0;
for(int i=0;i<=last;++i){
ans += dfs(pos-1,newStatus,newLead,limit&&i==last);
}
if(!zero&&!limit) dp[pos][status] = ans;
return ans;
}
int calc(int n){
if(!n) return //視具體情況
nums.clear();
memset(dp,-1,sizeof dp);
while(n) nums.push_back(n%10),n/=10;
len = nums.size();
return dfs(0,……)
}
說明
\(zero\)表示是否有前導零，當考慮的數是否需要記錄和數位中0有關的數時需要前導零標記,無關時可以沒有\(zero\)標記
舉個例子：假如我們要從 \([0,1000]\) 找任意相鄰兩數相等的數
顯然 \(111,222,888\) 等等是符合題意的數
但是我們發現右端點 \(1000\) 是四位數
因此我們搜索的起點是 \(0000\) ，而三位數的記錄都是 \(0111,0222,0888\) 等等
而這種情況下如果我們直接找相鄰位相等則 \(0000\) 符合題意而 \(0111,0222,0888\) 都不符合題意了
所以我們要加一個前導0標記
例題1 Windy數
#include<iostream>
#include<vector>
#include<cstring>
using namespace std;
int dp[12][12],len;
vector<int>nums;
int dfs(int pos,int pre, int limit,int zero){
if(pos>len-1) return 1;
if(!limit&&!zero&&dp[pos][pre]!=-1) return dp[pos][pre];
int ans = 0;
int res = limit?nums[len-pos-1]:9;
for(int i=0;i<=res;i++){
if(i<pre+2&&i>pre-2&&!zero) continue;
ans += dfs(pos+1,i,limit&&(i==res),!i&&zero);
}
if(!limit&&!zero) dp[pos][pre] = ans;
return ans;
}
int calc(int n){
if(n==0) return 1;
memset(dp,-1,sizeof dp);
nums.clear();
while(n) nums.push_back(n%10),n/=10;
len = nums.size();
return dfs(0,-2,1,1);
}
int main(){
int a,b;
cin>>a>>b;
cout<<calc(b)-calc(a-1);
return 0;
}
例題2 手機號碼
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<vector>
#define int long long
using namespace std;
int f[15][15][15][2][2][2],len;
//[位置][前一位][前兩位][是否有8][是否有4][是否連續3個]
vector<int>nums;
int dfs(int pos,bool limit,int pre1,int pre2,bool _8,bool _4,bool _3){
if(_8&&_4) return 0;
if(pos>len-1) return _3;
if(!limit&&f[pos][pre1][pre2][_8][_4][_3]!=-1) return f[pos][pre1][pre2][_8][_4][_3];
int ans = 0;
int res = limit?nums[len-pos-1]:9;
for(int i=0;i<=res;i++){
ans+=dfs(pos+1,limit&&(i==res),i,pre1,_8||i==8,_4||i==4,_3||(i==pre1&&pre1==pre2));
}
if(!limit) f[pos][pre1][pre2][_8][_4][_3] = ans;
return ans;
}
int calc(int n){
memset(f,-1,sizeof f);
nums.clear();
while(n){
nums.push_back(n%10);
n/=10;
}
if(nums.size()!=11) return 0;
int res = 0;
len = nums.size();
for(int i=1;i<=nums[len-1];i++){
res+=dfs(1,i==nums[len-1],i,0,i==8,i==4,0);
}
return res;
}
signed main(){
int l,r;
cin>>l>>r;
cout<<calc(r)-calc(l-1)<<endl;
return 0;
}
例題3 圓數
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<cstring>
using namespace std;
int f[35][35][35],len;
vector<int>nums;
int dfs(int pos,int sum1,int sum0,int limit,int zero){
if(pos>len-1) return sum0>=sum1;
if(!limit&&!zero&&f[pos][sum1][sum0]!=-1) return f[pos][sum1][sum0];
int ans = 0;
int res = limit?nums[len-pos-1]:1;
for(int i=0;i<=res;i++){
if(zero&&(!i)) ans+=dfs(pos+1,0,0,limit&&i==res,1);
else{
ans+=dfs(pos+1,sum1+(i==1),sum0+(i==0),limit&&i==res,0);
}
}
if(!limit&&!zero) f[pos][sum1][sum0] = ans;
return ans;
}
int calc(int n){
if(!n) return 1;
nums.clear();
memset(f,-1,sizeof f);
while(n) nums.push_back(n%2),n/=2;
len = nums.size();
int res = 0;
res += dfs(0,0,0,1,1);
return res;
}
int main(){
int l,r;
cin>>l>>r;
cout<<calc(r)-calc(l-1);
return 0;
}
例題4 同類分布
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<vector>
#define int long long
using namespace std;
int f[20][200][200],len,mod;
vector<int>nums;
int dfs(int pos,int sum,int st,int limit){
if(pos>len-1) return sum==mod&&st==0;
if(!limit&&f[pos][sum][st]!=-1) return f[pos][sum][st];
int ans = 0;
int res = limit?nums[len-pos-1]:9;
for(int i=0;i<=res;i++){
ans+=dfs(pos+1,sum+i,(10*st+i)%mod,limit&&(i==res));
}
if(!limit) f[pos][sum][st] = ans;
return ans;
}
int calc(int n){
if(!n) return 0;
nums.clear();
int res = 0;
while(n) nums.push_back(n%10),n/=10;
len = nums.size();
for(mod=1;mod<=9*len;mod++){
memset(f,-1,sizeof f);
res+=dfs(0,0,0,1);
}
return res;
}
signed main(){
int a,b;
cin>>a>>b;
cout<<calc(b)-calc(a-1);
return 0;
}
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