Educational Codeforces Round 86 (Rated for Div. 2) A~D
A. Road To Zero
題意
給定兩個數字 \(x,y\) ，你可以進行以下兩個操作：
- 花費 \(a\) 美刀，可以選取一個數字進行加一或者減一操作
- 花費 \(b\) 美刀，對兩個數字同時執行加一或者減一操作
詢問讓兩個數字同時歸零的最少花費，
解題
題中給出 \(x,y,a,b\) 四個數字全部都大于等于零，不用考慮加一操作，
假設 \(x \le y\) ，則最少花費 \(ans = min(a(x+y),bx+a(y-x))\) ，下面給出簡單證明，
設將 \(x,y\) 歸零程序中，執行操作二的次數為 \(p (0\le p\le x)\) ，則總花費 \(cost(p) = bp + a(x+y-2p) = (b-2a)p+a(x+y)\) ，根據函式單調性可以得到下面結論，
\[minCost = \begin{cases} cost(0) & b-2a\ge 0\\ cost(x) & b-2a<0\\\end{cases} \]
所以 \(ans = min(cost(0),cost(x)) = min(a(x+y),bx+a(y-x))\) ，
def scanf():
return list(map(int,input().split()))
for t in range(int(input())):
x,y = scanf()
a,b = scanf()
if(x>y): x,y = y,x
print(min(a*(x+y),b*x+a*(y-x)))
B. Binary Period
題意
給定一個僅由 0 和 1 組成的字串 \(t\) ，詢問一個字串 \(s\) ，要求：
- \(s\) 僅由 0 和 1 組成；
- \(s\) 的長度不超過 \(t\) 的二倍；
- \(t\) 是 \(s\) 的子串；
- \(s\) 在滿足上述條件的同時，要求周期最少，
解題
首先注意題目中說的是子串，并不是連續子串，我們可以對字串 \(t\) 插入至多 \(|t|\) 個 \(0\) 和 \(1\) 來構成 \(s\) ，分情況考慮：
- 當輸入的 \(t\) 串中僅含有單一的字符，如 \(111\)，\(000\) 等，那么周期最小的 \(s\) 就是 \(t\) 本身，周期為 \(1\) ，
- 當 \(t\) 兩種字符都包含的時候，可以通過交替的方式插入 \(01\) 字符，構成長度為 \(2|t|\) 的 \(01\) 交替的 \(s\) 串，周期為 \(2\) ，
for t in range(int(input())):
inp = input()
has0 = False; has1 = False
for c in inp:
if(c=='0'): has0 = True
if(c=='1'): has1 = True
if not(has0 and has1):
print(inp)
else:
ans = ''
for _ in inp: ans+='01'
print(ans)
C. Yet Another Counting Problem
題意
詢問 \(x\in[l,r]\) 中 \(x\) 滿足 \(x\%a\%b\ne x\%b\%a\) 的數量，
解題
題面很簡單，題目很離譜，起初以為可能是某個數學結論，經過幾番舉例發現是一道規律題，
設當 \(a,b(a\le b)\) 已知的情況下，\(f(p)\) 為區間 \([1,p)\) 內滿足條件的 \(x\) 的數量，\(ans = f(r+1)-f(l)\) ，類似差分的思想，
經過幾組舉例發現，如果 \(b\%a=0\) ，則 \(f(p)\) 的值始終為 \(0\) ，
如果 \(b\%a\ne 0\) 時， \(\triangle f(p) = f(p+1) - f(p) = int(p\%b\%a\ne p\%a\%b)\) 會具有明顯的周期性，其周期 \(T = lcm(a,b)\) ，
\[\triangle f(p) = \begin{cases} 0 & kT\le p \lt kT+b\\ 1 & kT+b\le p \lt (k+1)T\\\end{cases} \]
反推得到 \(f(p)\) 值，
\[f(1) = 0\\ f(p) = f(1)+\sum_{i=1}^{p-1}\triangle f(i) = \lfloor\frac{p}{lcm}\rfloor·(lcm - b) + max(0,p\%lcm-b) \]
from math import gcd
def scanf():
return list(map(int,input().split()))
def f(p,a,b):
lcm = a*b//gcd(a,b)
res = (p//lcm)*(lcm-b) + max(0,p%lcm-b)
return res
for t in range(int(input())):
a,b,q = scanf()
if(a>b): a,b = b,a
for _ in range(q):
l,r = scanf()
if(b%a==0): print('0')
else: print( int(f(r+1,a,b)-f(l,a,b)) )
D. Multiple Testcases
題意
給定一個大小為 \(n\) 的正整數陣列 \(m\) 和一個正整數 \(k\) ，保證 \(m_i\le k\) ，將陣列 \(m\) 分成若干個子陣列，要求每個子陣列中大于等于 \(i\) 的數字不超過 \(c_i\) 個，詢問分成份數最少的方案，
解題
首先注意兩點，題目中保證 \(n≥c1≥c2≥?≥ck≥1\) ，如果設 \(lg(i)\) 表示任意一個大于等于 \(i\) 的數字，將 \(lg(x)\) 分給一個子陣列，那么這個數字將會同時占據 \(c_1,c_2,...,c_x\) 各一個份額，
我們可以先求出至少分成的份數 \(ans = max(\lceil\frac{count(lg(i))}{c_i}\rceil),i\in[1,k]\)，關于 \(count\) 的計算方式如下，
\[count(lg(i)) = count(lg(i+1)) + count(i) \]
按照這個份數將陣列順序攤開分布即可，
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define fr(i,n) for(int i=0;i<n;i++)
#define frs(i,n,flag) for(int i=0;i<n&&flag;i++)
#define frr(i,j,n) for(int i=j;i<n;i++)
#define r_frr(i,j,n) for(int i=n-1;i>=j;i--)
#define frrs(i,j,n,flag) for(int i=j;i<n&&flag;i++)
#define r_frrs(i,j,n,flag) for(int i=n-1;i>=j&&flag;i--)
#define arend(i,n) ((i!=n-1)?" ":"\n")
#define memset0(dp) memset(dp,0,sizeof(dp))
#define print_arr(begin,end) for(auto it = begin;it!=end;it++) cout<<*it<<arend(it,end);
#define log_this(name,value) cout<<name<<": "<<value<<endl;
#define e4 10004
#define e5 100005
#define e6 1000006
#define e7 10000007
#define e9 1000000000
#define INF 9999999
using namespace std;
int to_int(string s) {stringstream ss;ss<<s;int a;ss>>a;return a;}
string to_str(double a) {stringstream ss;ss<<a;return ss.str();}
int m[2*e5];
int c[2*e5];
int ct[2*e5];
int main(){
cin.tie(0);
//ios::sync_with_stdio(false);
//cout<<setiosflags(ios::fixed)<<setprecision(0);
int n,k;
while(cin>>n>>k){
fr(i,n) cin>>m[i]; sort(m,m+n);
frr(i,1,k+1){
cin>>c[i];
ct[i] = 0;
}
int i = k;
r_frr(j,0,n){
if(i==m[j]) ct[i]++;
else{
while(i>m[j]){
i--;
ct[i] = ct[i+1];
}
ct[i]++;
}
}
int ans = 0;
frr(i,1,k+1) ans = max(1.0*ans,ceil(1.0*ct[i]/c[i]));
auto prt = new vector<int>[ans];
int p = 0;
fr(i,n){
prt[p++].push_back(m[i]);
if(p==ans) p = 0;
}
cout<<ans<<endl;
fr(i,ans){
cout<<prt[i].size()<<" ";
print_arr(prt[i].begin(),prt[i].end());
}
}
return 0;
}
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