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【演算法講15：多項式卷積】FFT | NTT

2021-02-19 17:26:10 其他

【演算法講15：多項式卷積】

  • 模板題
  • 多項式的表示法
  • 多項式的乘法與卷積
    • 多項式乘法
    • ? \lceil ?快速傅里葉變換 ? \rfloor ? F F T FFT FFT
    • 單位根
    • 離散傅里葉變換 D F T DFT DFT
    • D F T DFT DFT 的詳細討論
    • 離散傅里葉逆變換 I D F T IDFT IDFT
    • 減小常數 (蝴蝶變換)
  • ? \lceil ?快速數論變換 ? \rfloor ? (NTT)
    • 原根
    • 同樣的性質
  • 參考與查閱

模板題

  • 【模板】多項式乘法（FFT） | 洛谷 P3803
    求兩個多項式的乘積

多項式的表示法

  • 系數表示： n n n 個系數確定一個 n ? 1 n-1 n?1 次多項式
    ( a 0 , a 1 , a 2 , ? ? , a n ? 1 ) (a_0,a_1,a_2,\cdots,a_{n-1}) (a0?,a1?,a2?,?,an?1?)
  • 點值表示： n n n 個點確定一個 n ? 1 n-1 n?1 刺多項式
    ( x 0 , x 1 , x 1 , ? ? , x n ? 1 ) ( y 0 , y 1 , y 1 , ? ? , y n ? 1 ) (x_0,x_1,x_1,\cdots,x_{n-1})\\ (y_0,y_1,y_1,\cdots,y_{n-1})\\ (x0?,x1?,x1?,?,xn?1?)(y0?,y1?,y1?,?,yn?1?)
    其中滿足
    y i = ∑ j = 0 n ? 1 a j x i j y_i=\sum_{j=0}^{n-1}a_jx_i^j yi?=j=0∑n?1?aj?xij?

多項式的乘法與卷積

多項式乘法

  • 有兩個多項式 A ( x ) ， B ( x ) A(x)，B(x) A(x)，B(x)，兩個多項式相乘結果為 C ( x ) C(x) C(x)，
  • 新的多項式系數可以表示為：
    c k = ∑ i + j = k a i b j = ∑ i = 0 k a i b k ? i c_k=\sum_{i+j=k}a_ib_j=\sum_{i=0}^ka_ib_{k-i} ck?=i+j=k∑?ai?bj?=i=0∑k?ai?bk?i?
  • 多項式乘法得到的結果又可以叫做這兩個多項式的卷積，可以用 F F T FFT FFT 進行快速計算，

? \lceil ?快速傅里葉變換 ? \rfloor ? F F T FFT FFT

  • 如果暴力求解兩個多項式的卷積，時間復雜度為 O ( n m ) O(nm) O(nm)
    利用 F F T FFT FFT 可以把時間復雜度降到 O ( n log ? n ) O(n\log n) O(nlogn)
    具體分為兩個程序：
  • 把 A ( x ) 、 B ( x ) A(x)、B(x) A(x)、B(x) 的系數表示轉化成點值表示，然后用 O ( n ) O(n) O(n) 的方法求得 C ( x ) C(x) C(x) 的點值表示，然后還原成 C ( x ) C(x) C(x) 的系數表示，
  • 那么第一步，我們想要找一個快速的方法把 A ( x ) 、 B ( x ) A(x)、B(x) A(x)、B(x) 的點值表示求出來，

單位根

  • F F T FFT FFT 的方法是找到了一組特殊的點代到多項式當中去，可以快速找到一組點的數值，那組特殊的點就是復數中的單位根，
  • 一個復數可以在復平面上用一個向量來表示，在單位元上的向量都可以成為單位根，
    我們把一個單位元分成 n n n 份，我們就得到了 n n n 個單位根，其中的第 k k k 個可以即為 ω n k \omega_n^k ωnk?，并且 ω n 0 = 1 \omega_n^0=1 ωn0?=1
  • 歐拉公式： e i θ = c o s θ + i ? sin ? θ e^{i\theta}=cos\theta+i\cdot\sin\theta eiθ=cosθ+i?sinθ
    于是，
    ω n k = e 2 π k n i \omega_n^k=e^{2\pi\frac{k}{n}i} ωnk?=e2πnk?i
  • 性質：
    ω n k = ω 2 n 2 k \omega_n^k=\omega_{2n}^{2k} ωnk?=ω2n2k?
    ω n k + 2 n = ? ω n k \omega_n^{k+\frac{2}{n}}=-\omega_n^k ωnk+n2??=?ωnk?
    ω n k ? ω n l = ω n k + l \omega_n^k\cdot\omega_n^l=\omega_n^{k+l} ωnk??ωnl?=ωnk+l?

離散傅里葉變換 D F T DFT DFT

  • 考慮 n = 2 b n=2^b n=2b 項的多項式 A ( x ) A(x) A(x) 系數表示為 ( a 0 , a 1 , ? ? , a n ? 1 ) (a_0,a_1,\cdots,a_{n-1}) (a0?,a1?,?,an?1?)
  • 我們現在想匯入一組單位根 ( ω n 0 , ω n 1 , ? ? , ω n n ? 1 ) (\omega_n^0,\omega_n^1,\cdots,\omega_n^{n-1}) (ωn0?,ωn1?,?,ωnn?1?)，快速算出 ( A ( ω n 0 ) , A ( ω n 1 ) , ? ? , A ( ω n n ? 1 ) ) (A(\omega_n^0),A(\omega_n^1),\cdots,A(\omega_n^{n-1})) (A(ωn0?),A(ωn1?),?,A(ωnn?1?))，這個程序成為 D F T DFT DFT
  • 首先，我們把多項式按奇偶性分類：
    A ( x ) = ( a 0 + a 2 x 2 + ? + a n ? 2 x n ? 2 ) + x ( a 1 + a 3 x 2 + ? + a n ? 1 x n ? 2 ) A(x)=(a_0+a_2x^2+\cdots+a_{n-2}x^{n-2})+x(a_1+a_3x^2+\cdots+a_{n-1}x^{n-2}) A(x)=(a0?+a2?x2+?+an?2?xn?2)+x(a1?+a3?x2+?+an?1?xn?2)
    現在，我們設兩個多項式：
    A 0 ( x ) = a 0 + a 2 x 1 + ? + a n ? 2 x n ? 2 2 A 1 ( x ) = a 1 + a 3 x 1 + ? + a n ? 1 x n ? 2 2 A0(x)=a_0+a_2x^1+\cdots+a_{n-2}x^{\frac{n-2}{2}}\\ A1(x)=a_1+a_3x^1+\cdots+a_{n-1}x^{\frac{n-2}{2}} A0(x)=a0?+a2?x1+?+an?2?x2n?2?A1(x)=a1?+a3?x1+?+an?1?x2n?2?
    于是，原來的多項式就變為：
    A ( x ) = A 0 ( x 2 ) + x A 1 ( x 2 ) A(x)=A0(x^2)+xA1(x^2) A(x)=A0(x2)+xA1(x2)

D F T DFT DFT 的詳細討論

  • 當 0 ≤ k ≤ n 2 ? 1 0\le k\le \frac{n}{2}-1 0≤k≤2n??1 時，
    A ( ω n k ) = A 0 ( ( ω n k ) 2 ) + ω n k ? A 1 ( ( ω n k ) 2 ) A(\omega_n^k)=A0((\omega_n^k)^2)+\omega_n^k\cdot A1((\omega_n^k)^2) A(ωnk?)=A0((ωnk?)2)+ωnk??A1((ωnk?)2)
    化簡得到：
    A ( ω n k ) = A 0 ( ω n 2 k ) + ω n k ? A 1 ( ω n 2 k ) A(\omega_n^k)=A0(\omega_{\frac{n}{2}}^k)+\omega_n^k\cdot A1(\omega_{\frac{n}{2}}^k) A(ωnk?)=A0(ω2n?k?)+ωnk??A1(ω2n?k?)
    可以看到，我們分為了兩個子問題，可以遞回求解，
  • 那么 n 2 ≤ k + n 2 ≤ n ? 1 \frac{n}{2}\le k+\frac{n}{2}\le n-1 2n?≤k+2n?≤n?1，我們帶入得到：
    A ( ω n k + n 2 ) = A 0 ( ( ω n k + n 2 ) 2 ) + ω n k + n 2 ? A 1 ( ( ω n k + n 2 ) 2 ) A(\omega_n^{k+\frac{n}{2}})=A0((\omega_n^{k+\frac{n}{2}})^2)+\omega_n^{k+\frac{n}{2}}\cdot A1((\omega_n^{k+\frac{n}{2}})^2) A(ωnk+2n??)=A0((ωnk+2n??)2)+ωnk+2n???A1((ωnk+2n??)2)
    化簡得到：
    A ( ω n k + n 2 ) = A 0 ( ω n 2 k ) ? ω n k ? A 1 ( ω n 2 k ) A(\omega_n^{k+\frac{n}{2}})=A0(\omega_{\frac{n}{2}}^k)-\omega_n^k\cdot A1(\omega_{\frac{n}{2}}^k) A(ωnk+2n??)=A0(ω2n?k?)?ωnk??A1(ω2n?k?)
  • 時間復雜度： T ( n ) = 2 T ( n 2 ) + O ( n ) = O ( n log ? n ) T(n)=2T(\frac{n}{2})+O(n)=O(n\log n) T(n)=2T(2n?)+O(n)=O(nlogn)

離散傅里葉逆變換 I D F T IDFT IDFT

  • 將 D F T DFT DFT 得到的點值轉化為系數，這一程序就叫做 I D F T IDFT IDFT
  • 假設我們得到了 A ( x ) A(x) A(x) 的點值，設為 ( d 0 , d 1 , ? ? , d n ? 1 ) (d_0,d_1,\cdots,d_{n-1}) (d0?,d1?,?,dn?1?)，我們要獲得其多項式 F ( x ) F(x) F(x)
    設 c ( k ) c(k) c(k) 為 x = ω n ? k x=\omega_n^{-k} x=ωn?k? 時的點值，
    c k = ∑ i = 0 n ? 1 d i ? ( ω n ? k ) i = ∑ i = 0 n ? 1 ∑ j = 0 n ? 1 a j ? ( ω n i ) j ? ( ω n ? k ) i = ∑ j = 0 n ? 1 a j ∑ i = 0 n ? 1 ( ω n j ? k ) i = ∑ j = 0 n ? 1 a j ? n ? [ j = k ] = n ? a k c_k=\sum_{i=0}^{n-1}d_i\cdot (\omega_n^{-k})^i=\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{n-1}a_j\cdot (\omega_n^i)^j\cdot (\omega_n^{-k})^i=\sum_{j=0}^{n-1}a_j \sum_{i=0}^{n-1}(\omega_n^{j-k})^i=\sum_{j=0}^{n-1}a_j\cdot n\cdot [j=k]=n\cdot a_k ck?=i=0∑n?1?di??(ωn?k?)i=i=0∑n?1?j=0∑n?1?aj??(ωni?)j?(ωn?k?)i=j=0∑n?1?aj?i=0∑n?1?(ωnj?k?)i=j=0∑n?1?aj??n?[j=k]=n?ak?

減小常數 (蝴蝶變換)

  • 我們一遍遍遞回下去，在最后一層發現一個規律：原序列和置換后的序列的對應二進制位剛好是翻轉的，比如 1 → 8 1\rightarrow 8 1→8， 14 → 7 14\rightarrow 7 14→7
  • 代碼：
    2.77 s 2.77s 2.77s
const int MAX = 1e7+50;

const double PI = acos(-1);
struct comp{
    double x,y;
    comp(double xx = 0,double yy = 0){x = xx,y = yy;}
};
comp operator +(comp a,comp b){return comp(a.x+b.x , a.y+b.y);}
comp operator -(comp a,comp b){return comp(a.x-b.x , a.y-b.y);}
comp operator *(comp a,comp b){return comp(a.x*b.x-a.y*b.y , a.x*b.y+a.y*b.x);}

int lim = 1;
int l,r[MAX];
void FFT(comp *A,int type){
    for(int i = 0;i < lim;++i)
        if(i < r[i])swap(A[i],A[r[i]]);
    for(int mid = 1;mid < lim;mid<<=1){
        comp omg(cos(PI/mid),type * sin(PI/mid));
        for(int R = mid<<1,j = 0;j < lim;j += R){
            comp w(1,0);
            for(int k = 0;k < mid;++k,w = w * omg){
                comp x = A[j+k],y = w * A[j + mid + k];
                A[j + k] = x + y;
                A[j + mid + k] = x - y;
            }
        }
    }
}
comp aa[MAX],bb[MAX];
int main()
{
    int N,M;N = read();M = read();
    for(int i = 0;i <= N;++i)aa[i].x = read();
    for(int i = 0;i <= M;++i)bb[i].x = read();
    while(lim <= N + M)lim<<=1,l++;
    for(int i = 0;i < lim;++i)
        r[i] = (r[i>>1]>>1) | ((i&1)<<(l-1));
    FFT(aa,1);
    FFT(bb,1);
    for(int i = 0;i <= lim;++i)aa[i] = aa[i] * bb[i];
    FFT(aa,-1);
    for(int i = 0;i <= N + M;++i)
        printf("%d ",(int)(aa[i].x/lim+0.5));
    return 0;
}

? \lceil ?快速數論變換 ? \rfloor ? (NTT)

  • 求的是多項式乘法的系數取模之后的結果，這里模數應該要是一個質數，
  • 我們希望帶入一組冪次以便于更好取模運算，

原根

  • 如果 g i ? m o d ? p ( 1 ≤ i ≤ p ? 1 ) g^i\bmod p (1\le i\le p-1) gimodp(1≤i≤p?1) 的值互不相同，那么 g g g 稱為 p p p 的原根，
    并非所有的數都有原根，且如果一個數存在原根，其個數也不唯一，
  • 事實上，原根存在的重要條件是： m = 2 , 4 , p a , 2 p a ( a > 0 ) m=2,4,p^a,2p^a(a>0) m=2,4,pa,2pa(a>0) 且 a a a 為奇素數，
    如果這個數有原根，那么一定有 φ ( φ ( m ) ) \varphi(\varphi(m)) φ(φ(m)) 個原根，
  • 原根沒有快速求法，只能通過暴力列舉判斷，或者查表，
    常見的 N T T NTT NTT 模數是 998244353 998244353 998244353，其原根為 3 3 3

同樣的性質

  • 加入模數為 p p p，我們發現構造一下原根，得到與單位根有同樣的性質的數，即：
    ω n i = g i ( p ? 1 ) n ? m o d ? p \omega_n^i=g^{\frac{i(p-1)}{n}}\bmod p ωni?=gni(p?1)?modp
    直接將 F F T FFT FFT 中的原根替換為 N T T NTT NTT 中的原根，
  • 代碼
    1.64 s 1.64s 1.64s
const int MAX = 1e7+50;

ll qpow(ll a,ll n){/* */ll res = 1LL;while(n){if(n&1)res=res*a%MOD;a=a*a%MOD;n>>=1;}return res;}

const int P = 998244353,G = 3,Gi = 332748118;
int lim = 1;
int l,r[MAX];
void NTT(ll *A,int type){
    for(int i = 0;i < lim;++i)
        if(i < r[i])swap(A[i],A[r[i]]);
    for(int mid = 1;mid < lim;mid<<=1){
        ll omg = qpow(type == 1 ? G : Gi , (P - 1) / (mid << 1));
        for(int j = 0;j < lim;j += (mid << 1)){
            ll w = 1;
            for(int k = 0;k < mid;++k,w = w * omg % P){
                int x = A[j+k],y = w * A[j + mid + k] % P;
                A[j + k] = (x + y) % P;
                A[j + mid + k] = (x - y + P) % P;
            }
        }
    }
}
ll aa[MAX],bb[MAX];
int main()
{
    int N,M;N = read();M = read();
    for(int i = 0;i <= N;++i)aa[i] = (read() + P) % P;
    for(int i = 0;i <= M;++i)bb[i] = (read() + P) % P;
    while(lim <= N + M)lim<<=1,l++;
    for(int i = 0;i < lim;++i)
        r[i] = (r[i>>1]>>1) | ((i&1)<<(l-1));
    NTT(aa,1);
    NTT(bb,1);
    for(int i = 0;i < lim;++i)aa[i] = (aa[i] * bb[i]) % P;
    NTT(aa,-1);
    ll iv = qpow(lim,P - 2);
    for(int i = 0;i <= N + M;++i)
        printf("%d ",(aa[i] * iv) % P);
    return 0;
}

參考與查閱

  • 【SDUACM-暑期專題div1】FFT、NTT
  • 洛谷改題的 d a l a o dalao dalao 們的題解

轉載請註明出處，本文鏈接：https://www.uj5u.com/qita/261091.html

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  • 從4k到42k，軟體測驗工程師的漲薪史，給我看哭了

    清明節一過，盲猜大家已經無心上班，在數著日子準備過五一，但一想到銀行卡里的余額……瞬間心情就不美麗了。最近，2023年高校畢業生就業調查顯示，本科畢業月平均起薪為5825元。調查一出，便有很多同學表示自己又被平均了。看著這一資料，不免讓人想到前不久中國青年報的一項調查：近六成大學生認為畢業10年內會 ......

    uj5u.com 2023-04-20 07:44:00 more
  • 最新版本 Stable Diffusion 開源 AI 繪畫工具之中文自動提詞篇

    🎈 標簽生成器 由于輸入正向提示詞 prompt 和反向提示詞 negative prompt 都是使用英文，所以對學習母語的我們非常不友好 使用網址：https://tinygeeker.github.io/p/ai-prompt-generator 這個網址是為了讓大家在使用 AI 繪畫的時候 ......

    uj5u.com 2023-04-20 07:43:36 more
  • 漫談前端自動化測驗演進之路及測驗工具分析

    隨著前端技術的不斷發展和應用程式的日益復雜，前端自動化測驗也在不斷演進。隨著 Web 應用程式變得越來越復雜，自動化測驗的需求也越來越高。如今，自動化測驗已經成為 Web 應用程式開發程序中不可或缺的一部分，它們可以幫助開發人員更快地發現和修復錯誤，提高應用程式的性能和可靠性。 ......

    uj5u.com 2023-04-20 07:43:16 more
  • CANN開發實踐：4個DVPP記憶體問題的典型案例解讀

    摘要：由于DVPP媒體資料處理功能對存放輸入、輸出資料的記憶體有更高的要求（例如，記憶體首地址128位元組對齊），因此需呼叫專用的記憶體申請介面，那么本期就分享幾個關于DVPP記憶體問題的典型案例，并給出原因分析及解決方法。 本文分享自華為云社區《FAQ_DVPP記憶體問題案例》，作者：昇騰CANN。 DVPP ......

    uj5u.com 2023-04-20 07:43:03 more
  • msf學習

    msf學習 以kali自帶的msf為例 一、msf核心模塊與功能 msf模塊都放在/usr/share/metasploit-framework/modules目錄下 1、auxiliary 輔助模塊，輔助滲透（埠掃描、登錄密碼爆破、漏洞驗證等） 2、encoders 編碼器模塊，主要包含各種編碼 ......

    uj5u.com 2023-04-20 07:42:59 more
  • Halcon軟體安裝與界面簡介

    1. 下載Halcon17版本到到本地 2. 雙擊安裝包后 3. 步驟如下 1.2 Halcon軟體安裝 界面分為四大塊 1. Halcon的五個助手 1) 影像采集助手：與相機連接，設定相機引數，采集影像 2) 標定助手：九點標定或是其它的標定，生成標定檔案及內參外參，可以將像素單位轉換為長度單位 ......

    uj5u.com 2023-04-20 07:42:17 more
  • 在MacOS下使用Unity3D開發游戲

    第一次發博客，先發一下我的游戲開發環境吧。 去年2月份買了一臺MacBookPro2021 M1pro(以下簡稱mbp)，這一年來一直在用mbp開發游戲。我大致分享一下我的開發工具以及使用體驗。 1、Unity 官網鏈接： https://unity.cn/releases 我一般使用的Apple ......

    uj5u.com 2023-04-20 07:40:19 more

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