函式的連續性

函式在一點處連續：設 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 的某鄰域 $U(x_{0})$ 有定義，且 $\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})$ ，則稱 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 處連續，換句話說，如果當自變數的改變數 $\Delta x$ 趨近于零時，相應的函式值的改變數 $\Delta y$ 也趨近于零，則稱 $y= f(x)$ 在點 $x_{0}$ 處連續，

函式在一點處左連續：設 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 的左側某鄰域 $x_{0} - \delta < x \leqslant x_{0}$ 有定義，且 $\lim_{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)=f(x_{0})$ ，則稱 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 處左連續，類似地可以定義右連續，

函式在 $(a,b)$ 內， $\left [ a,b \right ]$ 上連續：設 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 內每一點處都連續，則稱 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 內連續，定義 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上連續，其中在 $x=a$ 處指的是右連續， $x=b$ 處指的是左連續，

函式的間斷點

第一類間斷點：設 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 的某去心鄰域內有定義，如果 $\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)$ 存在，但 $f(x_{0})$

無定義，或者雖然有定義，但與 $\lim_{x\rightarrow x_{0}} f(x)$ 不相等，稱 $x=x_{0}$ 為 $f(x)$ 的可去間斷點，

設 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 的某去心鄰域內有定義，如果 $\lim_{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)$ 與 $\lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)$ 都存在，但不相等，稱 $x=x_{0}$ 為 $f(x)$ 的跳躍間斷點，此時不論 $f(x_{0})$ 是否存在，存在時等于什么都無關，

可去間斷點和跳躍間斷點統稱為第一類間斷點，

第二類間斷點：

設 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 的某去心鄰域內有定義，如果 $\lim_{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)$ 與 $\lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)$ 至少有一個不存在，稱 $x=x_{0}$ 為 $f(x)$ 的第二類間斷點，第二類間斷點又可細分為無窮間斷點，振蕩間斷點等，

例如： $f(x)=\frac{1}{x}$ 在 $x=0$ 處為無窮間斷點； $g(x) =sin\frac{1}{x}$ 在 $x=0$ 處為振蕩間斷點，

重要性質、定理、公式

連續函式的四則運算：設 $u(x)$ 與 $v(x)$ 在 $x=x_{0}$ 處連續，則四則運算之后所成的函式在 $x=x_{0}$ 處也連續（除法運算時要求分母不為零），

復合函式的連續性：設 $f(u)$ 在 $u=u_{0}$ 處連續， $g(x)$ 在 $x=x_{0}$ 處連續，且 $g(x_{0}) = u_{0}$ ，則復合函式 $f(g(x))$ 在 $x=x_{0}$ 處亦連續，

基本初等函式的連續性：基本初等函式在它的定義域上都是連續的，

初等函式的連續性：初等函式正它的定義域的區間內都是連續的，

閉區間上的連續函式的性質：設 $f(x)$ 在閉區間 $\left [ a,b \right ]$ 上連續，則它具有下列性質：

$f(x)$ 在 $\left [ a,b \right ]$ 上有界（稱為有界性定理）；
$f(x)$ 在 $\left [ a,b \right ]$ 上有最大值與最小值(稱為最值定理)；
設 $\mu$ 滿足 $m\leqslant \mu \leqslant M$ ， $m$ 和 $M$ 分別為 $f(x)$ 在 $\left [ a,b \right ]$ 上的最小值與最大值，則至少存在一點 $\xi \in \left [ a,b \right ]$ ，使 $f(\xi )=\mu$ （稱為介值定理）；（若 $\mu$ 滿足 $m<\mu <M$ ，則 $\xi \in (a,b)$ ，）
設 $f(a)f(b)< 0$ ，則至少存在一點 $\xi \in (a,b)$ ,使 $f(\xi )=0$ （稱為零點定理），??????

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函式的連續性

函式的間斷點

重要性質、定理、公式