一、引言
在前面幾篇文章中介紹了定積分的相關概念、性質和計算方法，具體檔案請參考《人工智能數學基礎專欄目錄》導數、微分與積分部分的介紹，前面介紹的定積分都是基于有限固定區間來介紹的，但在實際中經常會遇到積磁區間為無窮區間，或者被積函式為無界函式的情況，這些求積分的計算已經不屬于前面介紹的定積分的概念，它們都屬于反常積分，本節介紹無界函式反常積分的計算方法，
二、無界函式反常積分相關概念
2.1、無界函式的瑕點和瑕積分
如果函式f(x)在點a的任意鄰域內都無界，那么點a稱為函式f(x)的瑕點（也稱為無界間斷點），
無界函式的反常積分也稱為瑕積分，
2.2、無界函式的反常積分
2.2.1、下區間無界函式的反常積分
設函式f(x)在區間（a,b]上連續，點a為f(x)的瑕點，任取t>a，作定積分并求極限：
這個對變下限的的定積分求極限的算式4-4稱為函式f(x)在區間（a,b]上的反常積分，同樣記為與函式f(x)在區間[a,b]上的定積分相同的運算式，即：
2.2.2、上區間無界函式的反常積分
與下區間無界函式類似，也有上區間無界函式，設函式f(x)在區間[a,b)上連續，點b為f(x)的瑕點，任取t<b，作定積分并求極限：
這個對變上限的的定積分求極限的算式4-5稱為函式f(x)在區間[a,b)上的反常積分，同樣記為與函式f(x)在區間[a,b]上的定積分相同的運算式，即：
2.2.3、區間內的無界函式的反常積分
設函式f(x)在區間[a,c)及區間(c,b]上連續，點c為f(x)的瑕點，f(x)在區間[a,c)上的反常積分與在區間(c,b]上的反常積分之和稱之為函式f(x)在區間[a,b]上的反常積分，仍然記作：
即：
2.3、無界函式反常積分的收斂性
三種無界函式反常積分收斂性的定義：
- 設函式f(x)在區間（a,b]上連續，點a為f(x)的瑕點，如果極限（4-4）存在，那么稱f(x)在區間（a,b]上的反常積分收斂，并稱此極限為該反常積分的值，如果對應極限不存在，則稱f(x)在區間（a,b]上的反常積分發散，
- 設函式f(x)在區間[a,b)上連續，點b為f(x)的瑕點，如果極限（4-5）存在，那么稱f(x)在區間[a,b)上的反常積分收斂，并稱此極限為該反常積分的值，如果對應極限不存在，則稱f(x)在區間[a,b)上的反常積分發散，
- 設函式f(x)在區間[a,c)及區間(c,b]上連續，點c為f(x)的瑕點，如果f(x)在區間[a,c)上的反常積分和在區間(c,b]上的反常積分都收斂，那么稱函式f(x)在區間[a,b]上的反常積分收斂，并稱f(x)在區間[a,c)上的反常積分值與在區間(c,b]上的反常積分值的和為函式f(x)在區間[a,b]上的反常積分值，否則對應反常積分發散，
三、案例
案例1
這個反常積分表示如下陰影部分的面積：
案例2：
為什么q>1積分發散呢，這是因為（x-a）1-q因為指數為負數，實際上應該是1/(x-a)q-1，其分母極限為0導致的，
四、全開區間無界函式反常積分
上面介紹的無界函式的反常積分都是在半開有限區間或閉區間中存在一個瑕點的情況，但實際上可能會遇到全開區間（兩個端點可能是瑕點）或無窮區間的情況，這種情況下，在滿足一定條件下，可以通過換元法化為有限區間的無界函式，
案例：
四、小結
本節介紹了無界函式的反常積分概念，三種無界函式反常積分在瑕點的極限值如果存在，則無界函式的反常積分存在且收斂，同樣可以利用牛頓-萊布尼茨公式進行計算則無界函式的反常積分，否則該反常積分發散，無法求出，
實際上無論是無窮限函式還是無界函式，其反常積分如果存在，都可以通過求被積函式的原函式，然后按定義取極限，通過計算極限結合牛頓-萊布尼茨公式計算出最終結果，
說明：
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