最優化問題(一)

1. 最優化問題

其實早在高中階段，我們就已經學習過了什么是最優化問題，

求一元二次方程 f ( x ) = x 2 + 2 ? x + 1 f(x)=x^2+2*x+1 f(x)=x2+2?x+1 的最小值

求解方法也很簡單，令 f ( x ) f(x) f(x) 對 x x x 的導數為0，該方程的解即為極值點，
現在我們知道，之所以可以這么求解是因為函式 f ( x ) f(x) f(x) 為凸函式，其極值點就對應最優解，同時 f ( x ) f(x) f(x) 的導數方程可以直接求解的，但對于更為復雜的情形，就不一定能直接求解出來了，所以我們需要更為通用的求解方法，

2. 最優化問題分類

要知道通用的最優化問題求解方法，就需要了解最優化問題的分類及一般形式，最優化問題可以分為3個層次：最簡單的是無約束優化，其次是帶等式約束的優化，最難的是帶不等式約束和等式約束的優化，

下面我們一一舉例介紹每個類別，

• 無約束優化：上面我們提到的一元二次方程最小值問題就是一個典型的無約束優化問題
• 等式約束優化：將上面的問題擴充一下，就變成了等式約束優化問題了

已知 x + y = 5 x+y=5 x+y=5 ，求二元二次方程 f ( x ) = x 2 + 2 ? y + 1 f(x)=x^2+2*y+1 f(x)=x2+2?y+1 的最小值

• 不等式約束優化：將上面的問題再擴充一下，就變成了不等式約束優化問題了

已知 x + y > = 5 x+y>=5 x+y>=5 ，求二元二次方程 f ( x ) = x 2 + 2 ? y + 1 f(x)=x^2+2*y+1 f(x)=x2+2?y+1 的最小值

由此，可以給出最優化問題的一般形式：

3. 最優化問題求解

對于無約束優化問題，常見的方法有：梯度下降法、最速下降法、牛頓迭代法等；而在有約束的問題中，直接使用這些基于梯度的方法會有問題，如更新后的值不滿足約束條件，

那么問題來了，如何處理有約束的優化問題？大致可以分為以下兩種方式（后面將一一介紹）：

1. 將有約束的問題轉化為無約束的問題，如拉格朗日乘子法和KKT條件、罰函式法；
2. 對無約束問題下的求解演算法進行修改，使其能夠運用在有約束的問題中，如對梯度下降法進行投影，使得更新后的值都滿足約束條件，

4. 最優化問題的應用

最優化問題在實際場景中十分常見，例如機器學習中很多模型的擬合程序就是一個優化問題，優化目標就是最小化損失函式，

• 無約束的最優化問題
  如線性回歸的損失函式最小化目標（又稱為最小二乘法）：
  min ? 1 2 ∑ i = 1 m ( h ( x i ) ? y i ) 2 \min \dfrac{1}{2} \sum_{i=1} ^m (h(x_i) - y_i)^2 min21?∑i=1m?(h(xi?)?yi?)2
  如果在原始最小二乘法損失函式的基礎上加上正則化項，又變成了新的優化目標：
  Lasso回歸： min ? 1 2 ∑ i = 1 m ( h ( x i ) ? y i ) 2 + λ ∑ j = 1 n ∣ ω j ∣ \min \dfrac{1}{2} \sum_{i=1} ^m (h(x_i) - y_i)^2 + \lambda \sum_{j=1} ^ n |\omega_j| min21?∑i=1m?(h(xi?)?yi?)2+λ∑j=1n?∣ωj?∣
  嶺回歸： min ? 1 2 ∑ i = 1 m ( h ( x i ) ? y i ) 2 + λ ∑ j = 1 n ∣ ω j ∣ 2 \min \dfrac{1}{2} \sum_{i=1} ^m (h(x_i) - y_i)^2 + \lambda \sum_{j=1} ^ n |\omega_j|^2 min21?∑i=1m?(h(xi?)?yi?)2+λ∑j=1n?∣ωj?∣2
  其中， λ \lambda λ 是正則化項的系數，用于權衡模型結構風險與經驗風險的比重，可以看到LASS回歸于嶺回歸的差別僅僅在于使用的正則化項而已，LASS使用的是L1正則化，嶺回歸使用的是L2正則化，

• 有約束的最優化問題
  這一類優化問題除了有目標函式項，還有其他約束項，比如：SVM 的優化目標為最大化幾何間隔，即
  max ? r = r ^ ∣ ∣ ω ∣ ∣ \max r = \dfrac{\hat{r}}{||\omega||} maxr=∣∣ω∣∣r^?
  其中， r r r 是樣本集合在樣本空間的最小幾何間隔（幾何間隔：樣本點到分界面的垂直距離）， r ^ \hat{r} r^是函式間隔，幾何間隔與函式間隔滿足 r = r ^ / ∣ ∣ ω ∣ ∣ r=\hat{r}/||\omega|| r=r^/∣∣ω∣∣ ， ω \omega ω 是分界超平面的系數向量，SVM的目標就是要讓上圖中的r最大化，
  但是，這個優化目標還要滿足額外的約束條件：
  r i > = r r_i >= r ri?>=r
  其中， r i r_i ri? 表示每個樣本各自的幾何間隔，很顯然最小的幾何間隔肯定要小于等于每個樣本各自的幾何間隔，
  則，完整的優化目標可以寫成：
  max ? r \max r maxr, s.t. r i = y i ( w x i + b ) ∣ ∣ ω ∣ ∣ = r i ^ ∣ ∣ ω ∣ ∣ > = r r_i=\dfrac{y_i(wx_i+b)}{||\omega||}=\dfrac{\hat{r_i}}{||\omega||} >= r ri?=∣∣ω∣∣yi?(wxi?+b)?=∣∣ω∣∣ri?^??>=r
  兩邊同時乘以 ∣ ∣ ω ∣ ∣ ||\omega|| ∣∣ω∣∣，
  max ? r \max r maxr, s.t. y i ( w x i + b ) > = ∣ ∣ ω ∣ ∣ r y_i(wx_i+b)>=||\omega||r yi?(wxi?+b)>=∣∣ω∣∣r
  由 r = r ^ / ∣ ∣ ω ∣ ∣ r=\hat{r}/||\omega|| r=r^/∣∣ω∣∣，
  max ? r ^ ∣ ∣ ω ∣ ∣ \max \dfrac{\hat{r}}{||\omega||} max∣∣ω∣∣r^?, s.t. y i ( w x i + b ) > = r ^ y_i(wx_i+b)>=\hat{r} yi?(wxi?+b)>=r^
  為了簡化優化目標，令 r ^ = 1 \hat{r}=1 r^=1 ，，則完整的優化目標可以寫成：
  max ? 1 ∣ ∣ ω ∣ ∣ \max \dfrac{1}{||\omega||} max∣∣ω∣∣1?, s.t. y i ( w x i + b ) > = 1 ， i = 1 , 2... , n y_i(wx_i+b)>=1，i=1, 2...,n yi?(wxi?+b)>=1，i=1,2...,n