問題 1 通過計算一維傅里葉變換實作影像二維快速傅里葉變換

實作一個函式F=dft2D(f),其中f是一個灰度源影像，F是其對應的二維快速傅里葉變換(FFT)影像.具體實作要求按照課上的介紹通過兩輪一維傅里葉變換實作，也就是首先計算源影像每一行的一維傅里葉變換，然后對于得到的結果計算其每一列的一維傅里葉變換，

如果實作采用MATLAB,可以直接呼叫函式fft計算一維傅里葉變換，如果采用其他語言，請選擇并直接呼叫相應的一維傅里葉變換函式，

（1）思路

首先計算源影像每一行的一維傅里葉變換，結果保存在矩陣temp中，然后對于得到的結果temp計算其每一列的一維傅里葉變換，通過兩個for回圈實作，

（2）代碼

function [F] = dft2D(f)

%F=fft(fft(f')') 

width=size(f,1);

height=size(f,2);

for i=1:height

    temp(i,1:width)=fft(f(i,1:width));

end

for i=1:width

    temp(1:height,i)=fft(temp(1:height,i));

end

F=temp;

end

呼叫的主函式

（3）實作效果

（a）自定義dft2D函式實作效果（b）呼叫matlab自帶fft2實作效果

圖1 問題1實作效果

（c）自定義dft2D函式得到的矩陣（d）呼叫matlab自帶fft2得到的矩陣

圖1 問題1實作效果（續）

問題 2 影像二維快速傅里葉逆變換（10分）

實作一個函式 f=idft2D(F),其中F是一個灰度影像的傅里葉變換，f是其對應的二維快速傅里葉逆變換(IFFT)影像，也就是灰度源影像.具體實作要求按照課上的介紹通過類似正向變換的方式實作，

（1）思路（摘自《數字影像處理第3版 P189頁》）

（2）代碼

function [f] = idft2D(F)

%F是一個灰度影像的傅里葉變換，f是其對應的二維快速傅里葉逆變換(IFFT)影像，也就是灰度源影像

M=size(F,1);

N=size(F,2);

%取F的復共軛

F= conj(F); %呼叫matlab自帶的求復共軛函式conj

% 將F的共軛作為離散二維傅里葉正向變換的輸入，呼叫dft2D(F)，再次取復共軛，并除以M*N

temp=conj(dft2D(F))/(M*N);

f=temp;

end

問題 3 測驗影像二維快速傅里葉變換與逆變換

對于給定的輸入影像 rose512.tif, 首先將其灰度范圍通過歸一化調整到[0,1]. 將此歸一化的影像記為f.首先呼叫問題1下實作的函式dft2D計算其傅里葉變換，記為F，然后呼叫問題2下的函式idft2D計算F的傅里葉逆變換，記為g.計算并顯示誤差影像d=f-g.

（1）代碼

img=imread("rose512.tif");

imshow(img)

M=size(img,1);

N=size(img,2);

%歸一化灰度范圍

f=im2double(img)

f=f/M*N;

F=dft2D(f);

g=idft2D(F);

d=f-g

result=uint8(d)

imshow(g)

（2）效果

（a）原圖（b）經過傅里葉變換與反變換后的影像

（c）二者做差得到的d矩陣與d取整數的result矩陣

圖2 問題3實作效果

問題 4 計算影像的中心化二維快速傅里葉變換與譜影像

我們的目標是復現下圖中的結果，首先合成矩形物體影像，建議影像尺寸為 512×512，矩形位于影像中心，建議尺寸為60像素長，10像素寬，灰度假設已歸一化設為1.對于輸入影像f計算其中心化二維傅里葉變換F，然后計算對應的譜影像S=log(1+abs(F)).顯示該譜影像，

圖 3. 矩形物體影像的傅里葉變換 (a) 源影像. (b)譜影像，注意四個角的明亮區. (c) 中心化的譜圖. (d) 對數變換后的譜圖，

（1）思路與代碼說明

首先生成一張512*512的圖片，直接把長和寬中間部分的值賦為1，再生成用于x和y方向的核，即傅里葉變換公式中的部分，

接下來是兩個方向的回圈，生成臨時矩陣Gm和Gn，再生成傅里葉譜中心化所需要的（-1）^（x+y），對應的矩陣是C，在生成譜影像時呼叫了matlab自帶的abs函式，它可計算陣列中每個元素的幅度，

（2）代碼

問題4

% 合成一幅二值影像

img=zeros(512,512);

img(227:287,252:262)=1;

imshow(img)

img = im2double(img);

subplot(1,4,1);

imshow(img,[]);

title('原始影像')


M = size(img,1);  % 長

N = size(img,2);  % 寬

Gm = zeros(M)+exp(-1i*2*pi/M);

Gn = zeros(N)+exp(-1i*2*pi/N);  % G是計算時要用的矩陣


%二維離散傅里葉變換所需要的Gm和Gn

for row = 0:M-1

    for col = 0:M-1

        Gm(row+1,col+1) = Gm(row+1,col+1)^(row * col);

    end

end

% 計算Gn

for row = 0:N-1

    for col = 0:N-1

        Gn(row+1,col+1) = Gn(row+1,col+1)^(row * col);

    end

end


% 傅里葉譜中心化

C = zeros(M,N)+(-1);%生成全為-1的矩陣

for row = 1:M

    for col = 1:N

        C(row,col) = C(row,col)^(row+col);%（-1）^(x+y)

    end

end

% 譜影像

F = abs(Gm*img*Gn)% abs函式計算陣列中每個元素的幅度

subplot(1,4,2);

imshow(F,[]);

title('譜影像，注意四個角的明亮區');

F = real(Gm*(img.*C)*Gn);  % F = Gm* f *Gn，只取實部

subplot(1,4,3);

imshow(abs(F),[]);

title('中心化的譜圖');

subplot(1,4,4);

imshow(log(abs(F) + 1),[]);

title('對數變換后的譜圖');

（3）實作效果

圖4 問題4實作效果

選做題測驗更多影像的二維快速傅里葉變換

計算其他5幅影像的二維快速傅里葉變換：house.tif,house02.tif, lena_gray_512.tif, lunar_surface.tif, characters_test_pattern.tif，注意，有些影像的尺寸不是 2 的整數次冪，需要進行相應的像素填補處理，如果影像有多個通道可以選擇其中的一個通道進行計算，

思路

編程思路主要分為3部分，首先讀取影像，判斷是否有多個通道，默認取第一個，其次取影像尺寸中較長的邊，與2的整數次冪進行比較，保存在edge變數中，設定一個布爾型變數flag，用于判斷影像的尺寸是否為2的整數次冪，當為true時將進行最接近影像尺寸的2的整數次冪進行填充，最后呼叫第4題寫好的函式進行傅里葉變換（帶有中心化+對數變換），

代碼

主函式代碼

%問題5

img=imread("characters_test_pattern.tif");

image_size=size(img)

dimension=numel(image_size);

if dimension==3

    img=img(:,:,1);% 取一個通道

end

M=size(img,1);

N=size(img,2);

subplot(2,2,1);

imshow(img,[]);

title('原圖');

%取影像尺寸中較長的邊，與2的整數次冪進行比較

if M>N

    edge=M;

else

    edge=N;

end

for i=4:20 %這里在將2的4次方到20次方與edge做一個比較，確定最后要填充的數

    if 2^i>edge

        k=i;

        flag=true;

        break;

    end

    if i==20 %回圈完了都沒找到，說明不用填充

        flag=false;

    end

end

if flag %當影像不是2的整數次冪時

    temp=zeros(2^k,2^k);

    temp(1:M,1:N)=img;

    temp(M+1:2^k,N+1:2^k)=0;

    subplot(2,2,2);

    imshow(img,[]);

    title('填充后');

    imshow(temp);

    img=temp;

end

temp=uint8(temp);

imshow(temp)

[img,revertclass]=tofloat(img);

[F, LogF]=dft_center(img);

subplot(2,2,3);

imshow(F,[]);

title('二維傅里葉中心化');

subplot(2,2,4);

imshow(LogF,[]);

title('對數變換后');

封裝好的dft_center函式代碼

function [outputArg1,outputArg2] = dft_center(img)

%DFT_CENTER 此處顯示有關此函式的摘要

%   此處顯示詳細說明

M = size(img,1);  % 長

N = size(img,2);  % 寬

Gm = zeros(M)+exp(-1i*2*pi/M);

Gn = zeros(N)+exp(-1i*2*pi/N);  % G是計算時要用的矩陣


%二維離散傅里葉變換

for row = 0:M-1

    for col = 0:M-1

        Gm(row+1,col+1) = Gm(row+1,col+1)^(row * col);

    end

end

% 計算Gn

for row = 0:N-1

    for col = 0:N-1

        Gn(row+1,col+1) = Gn(row+1,col+1)^(row * col);

    end

end

% 傅里葉譜中心化

C = zeros(M,N)+(-1);%生成全為-1的矩陣

for row = 1:M

    for col = 1:N

        C(row,col) = C(row,col)^(row+col);%（-1）^(x+y)

    end

end

F = real(Gm*(img.*C)*Gn);  % F = Gm* f *Gn，只要實部

outputArg1 =  abs(F);

outputArg2 =  log(abs(F) + 1);


end