問題提出：
給定一段長度為n的文本字串txt和一段長度為m的模式字串pat，在文本字串txt中找到一個和該模式字串pat相同的子字串，找到則回傳匹配的起始位置，沒有回傳-1，
解決方法：
- 樸素字串匹配演算法
- KMP演算法
樸素字串匹配演算法開始
樸素字串匹配演算法：針對pat與txt，使用指標i跟蹤txt，使用指標j跟蹤pat，對于每個i，首先將j重置為0并不斷將他增大，直至找到了一個不匹配的字符或者模式結束（j==m）為止，偽代碼如下：
// search
1 m=pat.length
2 n=txt.length
3 for i=0 to n-m
4 for j=0 to m-1
5 if txt[i+j] != pat[j]
6 break
7 if j==m return i
8 return -1在上述匹配的程序中，當pat的j位置與txt的i+j位置不匹配時，i+j回退到i+1位置，j回退到0位置，因此在最壞的情況下，每次都比較到pat的最后一個位置才發現不匹配，那么時間復雜度就是O(nm)，匹配程序簡化如下：
初始：
第1次比較完，未命中：（j從0開始比較到3，i從0開始比較到3）
第2次比較完，未命中：（j從0開始比較到3，i從1開始比較到4）
第3次比較完，未命中：（j從0開始比較到3，i從2開始比較到5）
后續未命中方式都是一致的，直接展示最后一步...
最后1次比較完，命中，回傳9（角標從0計算）：（j從0開始比較到3，i從9開始比較到12）
當回退前（j >0）的時，我么知道pat的pat[0...j-1]與txt[i...i+j-1]是匹配的，那么是否可以利用這一點，并通過某個陣列幫助我們計算在這種情況下具體需要回退多少，而不是讓j一下子回退到0，也就是避免“搜索位置移過已經比較過且匹配的位置”，從而保證提高比較的效率，實際上，這種演算法已經被提出和數學證明，它就是KMP演算法，
KMP演算法
由Knuth，Morris和Pratt三人于1977年聯合發表，將時間復雜度降為O(n+m)，
演算法思路：
-
構造模式串pat的next[]陣列，記錄最少回退下的回退下標位置，使得匹配串txt在匹配程序中角標不斷后移，避免txt串回退造成低效率；
-
kmp在next[]陣列幫助下完成，具體參見kmp演算法圖解；
-
next[]陣列是kmp完成的一大關鍵，其效率也會影響最終演算法的整體效率，使用以下定義（第一張圖片），在實作時使用dp思想，更精確來說是有限狀態機思想，結合跳躍回退建成，時間復雜度為O(m)，m時模式串pattern的長度，
pat串next的陣列的定義與建立程序
next陣列的定義：
對于上述的pat串，建立next陣列，程序如下：
程序1：index等于1時，沒有這樣的k存在，next[0] = -1；
程序2：index等于2時，pat[0...0] = pat[1...1]，因此k=0，即next[1] = 0；
程序3：index等于3時，pat[0...1] = pat[1...2]，因此k=1，即next[3] = 1；
程序4：index等于4時，沒有這樣的k存在，next[3] = -1；
最終：
是不是看著挺簡單的，留個難一點的例子pat = "ababbabbabbabab"，留作練習（答案如下），
那么如何通過代碼來高效的構建next陣列
1、暴力列舉法構建next陣列
很明顯，如果采用最簡單的暴力列舉方法建立，時間復雜度是O(m^3)，如下圖所示
現在假設j處于最后一個位置（黑色箭頭所示），如果每一步都匹配，但是匹配程序是逐步增加的，紅色和藍色箭頭所示，因此對于位置j，需要比較的次數最多是1+2+3+...+j-1=j*(j-1)/2，即O(j^2)，而我們的j位置（黑色箭頭的取值范圍0-m）， 因此最壞情況大致是1^2+2^2+...+m^2 = m(m+1)(2m+1)/6，即O(m^3)，顯然通過暴力列舉方式是非常低效的，
2、利用狀態轉移機制高效建立next陣列
正如我們前面所說，我們要利用前面匹配的串的狀態記錄來推導計算后面位置的值，狀態求解從j=0開始，現在給出一般情況，要求的位置j狀態處于較后的位置，如下圖所示：
這就一種有限狀態轉移機制，求解當前狀態，利用上一個狀態，上一個狀態能確定本次狀態，完成狀態計算，否則，利用上一個狀態的前一個狀態，看能否確定本次狀態，直到沒有前一個狀態可是使用，
偽代碼如下：
// buildNext
1 m=pat.size()
2 let next[0...m] be a new array and be initialized to -1
3 k=0
4 for j=1 to m-1
5 k=next[j-1]
6 while k>=0 and pat[k+1]≠pat[j]
7 k=next[k]
8 if pat[k+1]==pat[j]
9 next[j]=k+1
10 return next注意：以上偽代碼有個for回圈和一個while回圈，理論上時間復雜度是O(m^2)，但不完全準確，大歐表示法是上界表示法，只能說正確，但不夠精確，分析下，這里是回退，對于每一個回退，k的回退次數不會高于k的增長次數，k的最大增長次數不會大于m，因為這里是有限狀態機制，本次k影響下一次的回退次數，這里說個極端最差情況,最后k為0，針對增加m次減小m次，一增一減，那么最侄訓圈次數是2*m，在演算法導論中使用攤還分析的聚合方法進行分析得出時間復雜度Θ(m)，
kmp演算法search演算法
當前訪問的txt串和pat串對應位置txt[i]與pat[j]匹配，i和j均向前移1位，進行下一輪比較；
當前訪問的txt串和pat串對應位置txt[i]與pat[j]不匹配且j大于0（即j可以回退），利用next陣列確定j的回退位置，然后進行下一輪比較；
當上述兩者均不滿足，說明txt[i] != pat[0]，直接將i向前移動1位，進行下一輪比較，
示意圖如下：
偽代碼如下：
// search
// txt pat
1 n=txt.size, m=pat.txt, i=0, j=0
2 while i<n and j<m
3 if txt[i]==pat[j]
4 i++, j++
5 else if j>0
6 j=next[j-1]+1
7 else i++
8 return j==m ? i-m : -1時間復雜度的分析同樣采用攤還分析的聚合方法，為Θ(m)，
案例模擬：
接下來使用上述kmp演算法的search函式和next陣列模擬下開頭的例子
初始狀態：
第1次比較完，未命中：（j從0開始比較到3，i從0開始比較到3）
利用next陣列進行回退，下一個j = next[3 - 1] + 1 = 2
第2次比較完，未命中：（j從2開始比較到3，i從3開始比較到4）
利用next陣列進行回退，下一個j = next[3 - 1] + 1 = 2
第3次比較完，未命中：（j從2開始比較到3，i從4開始比較到5）
利用next陣列進行回退，下一個j = next[3 - 1] + 1 = 2
...
最后1次比較完，命中，回傳9：（j從2開始比較到3，i從11開始比較到12）
完整的代碼C++版本
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
// liyang 2019-12-12
// update: 2020-09-14
class KMP {
public:
// 在文本字串txt中尋找模式字串pat
// 找到：回傳第一次匹配時pat在txt中的角標位置
// 沒找到：回傳-1
static int indexOf(const string txt, const string pat) {
int n = txt.size(); int m = pat.size();
if (m <= 0) {
cout << "模式字串pat輸入不合法！" << endl;
return -1;
}
if (n < m) {
cout << "文本字串txt的長度小于模式字串的長度，不合法！" << endl;
return -1;
}
vector<int> next = buildNext(pat, m);
return search(txt, pat, next);
}
private:
// 創建pat字串的next陣列
static vector<int> buildNext(const string& pat, const int& m) {
vector<int> next(m, -1);
for (int j = 1, k; j < m; j++) {
k = next[j - 1];
while (k >= 0 && pat[k + 1] != pat[j]) {
k = next[k];
}
if (pat[k + 1] == pat[j]) {
next[j] = k + 1;
}
}
return next;
}
// 利用next陣列進行真正的查找操作
static int search(const string& txt, const string& pat, const vector<int>& next) {
int n = txt.size(); int m = pat.size();
int i = 0, j = 0;
while (i < n && j < m) {
if (txt[i] == pat[j]) { // 匹配
i++; j++;
}
else if (j > 0) { // 不匹配，j可以回退
j = next[j - 1] + 1;
}
else { // 不匹配，j不可以回退（j==0），只能i前進
i++;
}
}
return j == m ? i - m : -1;
}
};
int main(int argc, const char* argv[]) {
string txt = "aaaaaaaaaaab";
string pat = "aab";
int index = KMP::indexOf(txt, pat);
int n = txt.size();
cout << index << ": " << (n - 3 == index ? "correct" : "wrong") << endl;
system("pause");
return 0;
}9: correct
請按任意鍵繼續. . .
完整版的Java代碼
package com.ly.kmp;
/**
* @author Young 2020-09-14
* update：2020-09-15
*/
public class KMP {
public static int indexOf(String txt, String pat) {
int n = txt.length(); int m = pat.length();
if (n < m || m == 0) {
System.out.println("字串輸入有問題，請核對后重新輸入！");
return -1;
}
int[] next = buildNext(pat);
return search(txt, pat, next);
}
private static int[] buildNext(String pat) {
int m = pat.length();
int[] next = new int[m];
next[0] = -1;
int k;
for (int j = 1; j < m; j++) {
k = next[j - 1];
while (k >= 0 && pat.charAt(k + 1) != pat.charAt(j)) {
k = next[k];
}
if (pat.charAt(k + 1) == pat.charAt(j)) {
next[j] = k + 1;
} else {
next[j] = -1;
}
}
return next;
}
private static int search(String txt, String pat, int[] next) {
int n = txt.length(); int m = pat.length();
int i = 0; int j = 0;
while (i < n && j < m) {
if (txt.charAt(i) == pat.charAt(j)) {
i++; j++;
} else if (j > 0) {
j = next[j - 1] + 1;
} else {
i++;
}
}
return j == m ? i - m : -1;
}
public static void main(String[] args) {
String txt = "aaaaaaaaaaaab";
String pat = "aaab";
int index = KMP.indexOf(txt, pat);
int n = txt.length();
System.out.println(index + ": " + ((n - 4) == index ? "correct" : "wrong"));
}
}9: correct
Process finished with exit code 0參考資料：
浙大資料結構
演算法導論
演算法4
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