羅德里格斯公式

勒讓德多項式的一個重要物理背景就是球坐標下的靜電場滿足的拉普拉斯方程， ? 2 V = 0 \nabla^2V=0 ?2V=0，即
r ? 2 ? r 2 ( r 2 V ) + r ? 2 ( s i n ( θ ) ) ? 1 ? θ 2 V + r ? 2 ( s i n ( θ ) ) ? 2 ? ? 2 V = 0 r^{-2}\partial_r^2(r^2V)+r^{-2}(sin(\theta))^{-1}\partial_\theta^2V+r^{-2}(sin(\theta))^{-2}\partial_\phi^2V=0 r?2?r2?(r2V)+r?2(sin(θ))?1?θ2?V+r?2(sin(θ))?2??2?V=0
分離變數： V = R ( r ) Θ ( θ ) Φ ( ? ) V=R(r)\Theta(\theta)\Phi(\phi) V=R(r)Θ(θ)Φ(?)，得 Θ \Theta Θ滿足得常微分方程為：
1 s i n θ d d θ ( s i n θ d Θ d θ ) + l ( l + 1 ) Θ ? m 2 s i n 2 θ Θ = 0 \frac{1}{sin\theta}\frac{d}{d\theta}\left(sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\right)+l(l+1)\Theta-\frac{m^2}{sin^2\theta}\Theta=0 sinθ1?dθd?(sinθdθdΘ?)+l(l+1)Θ?sin2θm2?Θ=0.
進行變數代換： x = c o s ( θ ) , d x = ? s i n θ d θ x=cos(\theta), dx=-sin\theta d\theta x=cos(θ),dx=?sinθdθ，并假定 m = 0 m=0 m=0，即得到勒讓德方程：
d d x ( ( 1 ? u 2 ) d Θ d x ) + l ( l + 1 ) Θ = 0 , x ∈ [ ? 1 , 1 ] \frac{d}{dx}((1-u^2)\frac{d\Theta}{dx})+l(l+1)\Theta=0,x\in[-1,1] dxd?((1?u2)dxdΘ?)+l(l+1)Θ=0,x∈[?1,1]
該方程可通過級數法求解，所得級數與由羅德里格斯公式：
P l ( x ) = 1 2 l l ! u l ( l ) ( x ) , u l ( x ) = ( x 2 ? 1 ) l P_l(x)=\frac{1}{2^ll!}u_l^{(l)}(x),u_l(x)=(x^2-1)^l Pl?(x)=2ll!1?ul(l)?(x),ul?(x)=(x2?1)l
展開后相同（參考數學物理方法教材），
由于 u l ( x ) u_l(x) ul?(x)為2n次多項式，因此求 l l l次導后所得 P l ( x ) P_l(x) Pl?(x)為 l l l次多項式，且前幾階勒讓德多項式為：
P 0 ( x ) = 1 , P 1 ( x ) = x , P 2 ( x ) = 1 2 ( 3 x 2 ? 1 ) P_0(x)=1,P_1(x)=x,P_2(x)=\frac{1}{2}(3x^2-1) P0?(x)=1,P1?(x)=x,P2?(x)=21?(3x2?1)

正交性

正交性即證明 ? P m , P n ? = ∫ ? 1 1 P m ( x ) P n ( x ) d x = 0 , m ≠ n \langle P_m,P_n\rangle=\int_{-1}^1P_m(x)P_n(x)dx=0,m\neq n ?Pm?,Pn??=∫?11?Pm?(x)Pn?(x)dx=0,m?=n.
設 m > n ≥ 0 m>n\geq0 m>n≥0，則 P n ( x ) P_n(x) Pn?(x)為n次多項式，因此只需證明對任意 k ≤ n k\leq n k≤n，均有 ∫ ? 1 1 P m ( x ) x k d x = 0 \int_{-1}^1P_m(x)x^kdx=0 ∫?11?Pm?(x)xkdx=0.

1. 對于 k = 0 k=0 k=0，有：
   ∫ ? 1 1 P m ( x ) d x = 1 2 m m ! u m ( m ? 1 ) ∣ ? 1 1 \int_{-1}^1P_m(x)dx=\frac{1}{2^mm!}u_m^{(m-1)}\big|^{1}_{-1} ∫?11?Pm?(x)dx=2mm!1?um(m?1)?∣∣??11?
   而對任意 m ′ < m m'<m m′<m，由萊布尼茲公式：
   u m ( m ′ ) = ∑ m ′ ′ = 0 m ′ [ ( x + 1 ) m ] ( m ′ ′ ) [ ( x ? 1 ) m ] ( m ′ ? m ′ ′ ) u_m^{(m')}=\sum_{m''=0}^{m'}[(x+1)^m]^{(m'')}[(x-1)^m]^{(m'-m'')} um(m′)?=m′′=0∑m′?[(x+1)m](m′′)[(x?1)m](m′?m′′)
   由于 m ′ ′ , m ′ ? m ′ ′ < m m'',m'-m''<m m′′,m′?m′′<m
   u m ( m ′ ) ( 1 ) = u m ( m ′ ) ( ? 1 ) = 0 u_m^{(m')}(1)=u_m^{(m')}(-1)=0 um(m′)?(1)=um(m′)?(?1)=0
   （注意當 m ′ = 0 m'=0 m′=0時上式同樣成立）
   因此， ∫ ? 1 1 P m ( x ) d x = 0 \int_{-1}^1P_m(x)dx=0 ∫?11?Pm?(x)dx=0
2. 對于 k ≥ 1 k\geq1 k≥1，使用分部積分：
   ∫ ? 1 1 P m ( x ) x k d x = 1 2 m m ! ( x k u m ( m ? 1 ) ∣ ? 1 1 ? k ∫ ? 1 1 u m ( m ? 1 ) ( x ) x k ? 1 d x ) \int_{-1}^1P_m(x)x^kdx=\frac{1}{2^mm!}\left(x^ku_m^{(m-1)}\big|^1_{-1}-k\int_{-1}^1u_m^{(m-1)}(x)x^{k-1}dx\right) ∫?11?Pm?(x)xkdx=2mm!1?(xkum(m?1)?∣∣??11??k∫?11?um(m?1)?(x)xk?1dx)
   其中第一項為0，重復使用分部積分，最終得到：
   ∫ ? 1 1 P m ( x ) x k d x = ( ? 1 ) k k ! 2 m m ! ∫ ? 1 1 u m ( m ? k ) ( x ) d x = u m ( m ? k ? 1 ) ∣ ? 1 1 = 0 \int_{-1}^1P_m(x)x^kdx=\frac{(-1)^kk!}{2^mm!}\int_{-1}^1u_m^{(m-k)}(x)dx\\ \quad \\ =u_m^{(m-k-1)}\big|^1_{-1}=0 ∫?11?Pm?(x)xkdx=2mm!(?1)kk!?∫?11?um(m?k)?(x)dx=um(m?k?1)?∣∣??11?=0

正交性得證；

歸一化

勒讓德多項式的模為：
∥ P n ∥ L 2 = ∫ ? 1 1 P n ( x ) P n ( x ) d x \|P_n\|_{L^2}=\sqrt{\int_{-1}^1P_n(x)P_n(x)dx} ∥Pn?∥L2?=∫?11?Pn?(x)Pn?(x)dx ?
當 n = 0 n=0 n=0，有 ∥ P 0 ∥ L 2 = 2 \|P_0\|_{L^2}=\sqrt{2} ∥P0?∥L2?=2 ?
當 n ≥ 1 n\geq1 n≥1，有：
∫ ? 1 1 P n ( x ) P n ( x ) d x = 1 ( 2 n n ! ) 2 ∫ ? 1 1 u n ( n ) ( x ) u n ( n ) ( x ) d x = 1 ( 2 n n ! ) 2 ( u n ( n ) u n ( n ? 1 ) ∣ ? 1 1 ? ∫ ? 1 1 u n ( n ? 1 ) ( x ) u n ( n + 1 ) ( x ) d x ) = ( ? 1 ) n ( 2 n n ! ) 2 ∫ ? 1 1 u n ( x ) u n ( 2 n ) ( x ) d x \int_{-1}^1P_n(x)P_n(x)dx=\frac{1}{(2^nn!)^2}\int_{-1}^1u_n^{(n)}(x)u_n^{(n)}(x)dx\\ \quad \\ =\frac{1}{(2^nn!)^2}\left(u_n^{(n)}u_n^{(n-1)}\big|^1_{-1}-\int_{-1}^1u_n^{(n-1)}(x)u_n^{(n+1)}(x)dx\right) \\\quad\\=\frac{(-1)^n}{(2^nn!)^2}\int_{-1}^1u_n(x)u_n^{(2n)}(x)dx ∫?11?Pn?(x)Pn?(x)dx=(2nn!)21?∫?11?un(n)?(x)un(n)?(x)dx=(2nn!)21?(un(n)?un(n?1)?∣∣??11??∫?11?un(n?1)?(x)un(n+1)?(x)dx)=(2nn!)2(?1)n?∫?11?un?(x)un(2n)?(x)dx
由于 u n u_n un?最高次項為 x 2 n x^{2n} x2n， u n ( 2 n ) ( x ) = ( 2 n ) ! u_n^{(2n)}(x)=(2n)! un(2n)?(x)=(2n)!，令 I n = ∫ ? 1 1 u n ( x ) d x I_n=\int_{-1}^1u_n(x)dx In?=∫?11?un?(x)dx，使用分部積分：
I n = x u n ∣ ? 1 1 ? 2 n ∫ ? 1 1 x 2 ( x 2 ? 1 ) n ? 1 d x = ? 2 n I n ? 2 n I n ? 1 I_n=xu_n\big|_{-1}^1-2n\int_{-1}^1x^2(x^2-1)^{n-1}dx=-2nI_n-2nI_{n-1} In?=xun?∣∣??11??2n∫?11?x2(x2?1)n?1dx=?2nIn??2nIn?1?
移項，并重復這一步驟，可得：
I n = ( ? 1 ) n ∏ k = 1 n ( 2 k ) ∏ k = 1 n ( 2 k + 1 ) I 0 I_n=\frac{(-1)^n\prod_{k=1}^n(2k)}{\prod_{k=1}^n(2k+1)}I_0 In?=∏k=1n?(2k+1)(?1)n∏k=1n?(2k)?I0?
而 I 0 = 2 I_0=2 I0?=2,于是，勒讓德多項式模為：
∥ P 0 ∥ L 2 = ( ? 1 ) n ( 2 n ) ! ( 2 n n ! ) 2 2 ( ? 1 ) n ∏ k = 1 n ( 2 k ) ∏ k = 1 n ( 2 k + 1 ) = 2 2 n + 1 \|P_0\|_{L^2}=\sqrt{\frac{(-1)^n(2n)!}{(2^nn!)^2}\frac{2(-1)^n\prod_{k=1}^n(2k)}{\prod_{k=1}^n(2k+1)}}=\sqrt{\frac{2}{2n+1}} ∥P0?∥L2?=(2nn!)2(?1)n(2n)!?∏k=1n?(2k+1)2(?1)n∏k=1n?(2k)? ?=2n+12? ?
歸一化的勒讓德多項式即為：
Q n = 2 n + 1 2 P n Q_n=\sqrt{\frac{2n+1}{2}}P_n Qn?=22n+1? ?Pn?

應用

由維爾斯特拉斯定理，任意閉區間上連續函式 f f f可用某一多項式逼近，而這一多項式就可表示為勒讓德多項式之和：
p ( x ) = ∑ n = 0 ∞ ? Q n , f ? Q n p(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\langle Q_n,f\rangle Q_n p(x)=n=0∑∞??Qn?,f?Qn?

與泰勒展開不同，這里未假設連續函式 f f f可導，
作為例子，設
f ( x ) = t r i ( 2 x ? 1 ) , x ∈ [ ? 1 , 1 ] f(x)=tri(2x-1),x\in[-1,1] f(x)=tri(2x?1),x∈[?1,1]
將該函式展開到不同階，如圖所示

代碼如下：

x=-1:.01:1;
len=length(x);
f_0=@f0;
coef(f_0,0)
subplot(3,1,1)
p_n=zeros(1,len);
for n=0:3
   p_n=p_n+coef(f_0,n)*Q(x,n,0);
end
plot(x,f0(x),x,p_n),axis([-1,1,-0.2,1.1])
ylabel('p_3(x)')

subplot(3,1,2)
for n=4:8
   p_n=p_n+coef(f_0,n)*Q(x,n,0);
end
plot(x,f0(x),x,p_n),axis([-1,1,-0.2,1.1])
ylabel('p_{8}(x)')

subplot(3,1,3)
for n=9:40
   p_n=p_n+coef(f_0,n)*Q(x,n,0);
end
plot(x,f0(x),x,p_n),axis([-1,1,-0.2,1.1])
ylabel('p_{40}(x)')
xlabel('x')

function f=f0(x)
n=length(x);
temp=zeros(1,n);
for i=1:n
if x(i)>0&&x(i)<1
   temp(i)=1-abs(2*(x(i)-1/2));
end
end
f=temp;
end

function f=coef(f0,n)
p_f0=@(x)(f0(x).*Q(x,n,0));
f=integral(p_f0,-1,1);
end

function f=Q(x,n,m)
temp=legendre(n,x);
f=sqrt((2*n+1)/2)*temp(m+1,:);
end

在求解電磁波散射問題時，就可以在球坐標下將入射場展開為勒讓德多項式，并將散射場展開而其系數待定，再通過邊界條件求得散射場展開系數，

參考：汪德新，數學物理方法