文章目錄
- 一、背景知識：點乘、叉乘
- 二、二維復數表示旋轉
- 三、為什么三維旋轉用四維復數表示而不用三維復數
- 四、四元數的書寫表示
- 五、四元數表示旋轉
- 六、四元數→歐拉角
一、背景知識：點乘、叉乘
復數的點乘：(ai+bj+ck)?(xi+yj+zk)=-(ax+by+cz)
復數的叉乘：(ai+bj+ck)×(xi+yj+zk)=(ax)i×i+(ay)i×j+(az)i×k+(bx)j×i+(by)j×j+(bz)j×k+(cx)k×i+(cy)k×j+(cz)k×k
ijk三軸定義如上圖所示，滿足右手螺旋定則：
(這個不是太明白，但是用的時候確實是這么計算的)
二、二維復數表示旋轉
二維復數可以表示二維平面上的旋轉，
如：定義待旋轉的復數p=2+i，定義旋轉因子q=cos45+isin45
則
如下圖所示
旋轉因子q左乘被旋轉復數p表示p逆時針轉45°，
三、為什么三維旋轉用四維復數表示而不用三維復數
原貼見：
https://blog.csdn.net/u011760195/article/details/85346704
若用實軸x、ij兩個虛軸表示旋轉因子q和被旋轉復數p，那么p繞某個軸轉動時，有：
此時會出現一個問題，i×j這一項并不能表示實軸x，因為沒有規定，i×i=-1是可以的，但i×j不是實數，因此，由于ijx三軸雖然呈相互垂直關系，但無法用叉乘相互表示，不滿足計算的需求，因此引入四維復數（四元數），在三維復數的基礎上再引入一個虛軸k，而將實軸x=0隱去，此時ijk三軸滿足叉乘相互表示（右手螺旋定則），
因此，用四維復數替代三維復數只是因為實軸x無法通過ij叉乘表示，不滿足計算需要而已，將四維復數的實部置零，形式上是四維，當實際上用的時候是三維，實部是不需要的，
另一個角度思考：（如被轉復數p=2只含有實部時，這個點既可以說是一維軸上的一個點，也可以說是二維平面內的一個點，低維的點、線、面等都既可以存在于它自身的維度上，又可以存在于任意更高的維度內，）二維中，旋轉因子q=a+bi可以將原本在實軸上的一維的點轉進二維的平面里，乘以幾維的復數就是在幾維空間中進行旋轉，比如乘以四維復數，那么就是在四維空間中進行旋轉，但是旋轉并不一定會把實軸上的一維的p轉到二維平面上去，比如二維平面上有p=2，旋轉因子定義為q=3，那么p、q都可以看做虛部為0的二維復數，此時旋轉p’=q×p=6，此時的旋轉只是在實軸上，并沒有把p轉進二維平面上，四元數表示的三維空間中的旋轉也是這個道理，p是一個純四元數，實部為0，是實實在在的三維空間中的一個向量，我們對p乘以另一個四元數q時，實際上是在四維空間中進行的一個旋轉，只不過如同二維平面上一樣，我們可以通過某種方式讓p的旋轉只保持在三維空間中，而不至于轉到四維空間中去，
另外，引自：
https://blog.csdn.net/linyijiong/article/details/79777399
…所以從始至終，四元數定義的都是四維旋轉，而不是三維旋轉！……說白了，三維旋轉就是四維旋轉的一個特例，就像二維旋轉是三維旋轉的一個特例一樣，……qpq-1這種左選單位四元數，右乘其共軛的運算式……這個運算形式是為了限制其運算結果所在的空間，簡單的說，當對一個三維向量進行三維旋轉后，我們希望得到的是一個三維向量，……那么這個左選單位四元數，右乘其共軛的運算保證了結果是一個在三維超平面上中的純四元數，
四、四元數的書寫表示
設四元數表示為：[s,v]，其中s為一個實數，是四元數的實部，v是純虛數，v=xi+yj+zk，則四元數的叉乘計算為：q1×q2=[sa , va]×[sb , vb]=[sa?sb+va?vb , sa?vb+sb?va+va×vb]
定義：
單位四元數：q=[s , v],|q|=1
純四元數：q=[0 , v],即實部為0，是一個三維空間中的向量
五、四元數表示旋轉
原貼見：
https://blog.csdn.net/linyijiong/article/details/79777399
二維空間中，旋轉因子q=cosθ+sinθi,由上一部分的四元數書寫表示，亦可將二維的旋轉因子表示為q=[ cosθ,sinθv],其中v為一維純虛數，v=i，三維空間中既然要用四維復數表示旋轉，那么也可以定義旋轉因子為：q=[ cosθ,sinθv],其中v為三維純虛數，v=ai+bj+cz，（留一個問題：二維平面上q能畫出來，三維空間中這個q呢？）
現有被旋轉三維復數寫成四維的純四元數形式：p=[0,p]，旋轉因子q=[ cosθ,sinθv]， 則p’=q×p=[ sinθv?p , cosθ?p+ sinθv×p]
①v和p正交時，繞v旋轉45°，則p’=[ 0 , cosθ?p+ sinθv×p]
舉例：p=[0,2i] q=[√2/2,√2/2 v]，為了v和p正交，不妨設v=k，
則p’=[0, √2i+√2k×i]=[0, √2i+√2j]，旋轉程序如下圖，繞k軸旋轉45°，
② v和p不正交時，繞v旋轉45°，則p’=[ sinθv?p , cosθ?p+ sinθv×p]
舉例：p=[0,2i]不變， q=[√2/2,√2/2 v]，為了v和p不正交，不妨設v= √2/2 i+√2/2 k
此時計算p’=q×p=[-1, √2i+j]
可以看到，計算結果p’已經不再是純四元數了，實際上就是p被q轉進了四維空間，而在其純虛數ijk的三維空間內的投影如上圖所示，紅色的p并沒有繞玫紅色的v= √2/2 i+√2/2 k旋轉45°，而且|p’|≠2，被拉伸變形了，
此時Hamilton提出了一種修正演算法，
這樣可以算的p’=[0,i+√2j+k]，如下圖所示，
此時旋轉后的|p’|=2，沒有被拉伸，但是轉過了90°（p-v平面和p’-v平面夾角為90，即p-v平面繞著v逆時針轉了90°），角度上變為了兩倍，因此進一步修正，令
六、四元數→歐拉角
原貼見：
https://www.cnblogs.com/kljfdsa/p/9093009.html
空間中的三維旋轉可視為繞三個基本軸的旋轉組合疊加，繞 x,y,z （分別代表i,j,k三個軸）三個基本軸旋轉角度分別為 ?，θ，ψ ，則三個基本旋轉的四元素可表征為：
繞三個基本軸的旋轉次序不同，其表征的空間旋轉也不同，下面以ZYX的順序計算（此處根據參考資料撰寫，和前面的幾塊內容在左乘右乘上順序不同，此處是右乘，就是順時針轉動）：
則已知四元數時，反求歐拉角：
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