[unknown OJ] 客星璀璨之夜

一、題目

點此看題

二、解法

這個樣例我佛了，第二個等引數列，第三個等等引數列，沒把我考試的錯誤測出來，

直接講正解，設 d p [ i ] [ j ] dp[i][j] dp[i][j]為行星 i i i到 j j j，把他們撞完的期望距離和，理解一下這個狀態，首先一定會剩下一個恒星，記第 i i i行星左邊的恒星是 i i i，這樣無論怎么撞都不會撞出恒星 [ i , j + 1 ] [i,j+1] [i,j+1]

考慮轉移，我們嚴格按照題目要求進行，列舉當前狀態下第一個去撞擊的行星，列舉他往左邊撞還是右邊撞，這樣就產生了 2 ( j ? i + 1 ) 2(j-i+1) 2(j?i+1)種等概率的情況，這是左邊的情況：
d p [ i ] [ j ] = d p [ i ] [ k ? 1 ] + d p [ k + 1 ] [ j ] + y [ k ] ? E [ i ] [ k ? 1 ] dp[i][j]=dp[i][k-1]+dp[k+1][j]+y[k]-E[i][k-1] dp[i][j]=dp[i][k?1]+dp[k+1][j]+y[k]?E[i][k?1]這是右邊的情況： d p [ i ] [ j ] = d p [ i ] [ k ? 1 ] + d p [ k + 1 ] [ j ] + E [ k + 1 ] [ j ] ? y [ k ] dp[i][j]=dp[i][k-1]+dp[k+1][j]+E[k+1][j]-y[k] dp[i][j]=dp[i][k?1]+dp[k+1][j]+E[k+1][j]?y[k]其中 E [ i ] [ j ] E[i][j] E[i][j]是 [ i , j ] [i,j] [i,j]中期望剩下來的位置，轉移（左還是右，等概率）：
E [ i ] [ j ] = E [ i ] [ k ? 1 ] + E [ k + 1 ] [ j ] 2 ( j ? i + 1 ) E[i][j]=\frac{E[i][k-1]+E[k+1][j]}{2(j-i+1)} E[i][j]=2(j?i+1)E[i][k?1]+E[k+1][j]?注意 E [ i + 1 ] [ i ] E[i+1][i] E[i+1][i]是有意義的，他表示第 i + 1 i+1 i+1個恒星的位置，暴力做時間復雜度是 O ( n 3 ) O(n^3) O(n3)的，觀察發現好像可以用前綴和之類的東西優化，所以時間復雜度 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)

還有另一種思路，沒有實作，但是貼一個講解
貼一個巨佬的博客，好像講了這種做法：https://www.cnblogs.com/Arextre/p/13775589.html

#include <cstdio>
const int M = 3005;
const int MOD = 998244353;
#define int long long
int read()
{
	int x=0,f=1;char c;
	while((c=getchar())<'0' || c>'9') if(c=='-') f=-1;
	while(c>='0' && c<='9') {x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);c=getchar();}
	return x*f;
}
int n,ans,inv[M],x[M],y[M],py[M],dp[M][M],E[M][M];
int s1[M][M],s2[M][M],pre[M][M],suf[M][M];
signed main()
{
	//freopen("3.in","r",stdin);
	//freopen("stars.out","w",stdout);
	n=read();
	inv[0]=inv[1]=1;
	for(int i=2;i<=n+1;i++)
		inv[i]=(MOD-MOD/i)*inv[MOD%i]%MOD;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		x[i]=read();
		y[i]=read();py[i]=(py[i-1]+y[i])%MOD; 
	}
	x[n+1]=read();
	E[1][0]=x[1];
	for(int i=1;i<=n;i++)
		E[i+1][i]=x[i+1];
	for(int i=n;i>=1;i--)
		for(int j=i;j<=n;j++)
		{
			/*
			for(int k=i;k<=j;k++)
			{
				E[i][j]=(E[i][j]+(E[i][k-1]+E[k+1][j])*inv[2])%MOD;
				dp[i][j]=(dp[i][j]+2*(dp[i][k-1]+dp[k+1][j]))%MOD;
				dp[i][j]=(dp[i][j]+y[k]-E[i][k-1])%MOD;
				dp[i][j]=(dp[i][j]+E[k+1][j]-y[k])%MOD;
			}
			E[i][j]=E[i][j]*inv[j-i+1]%MOD;
			dp[i][j]=dp[i][j]*inv[j-i+1]%MOD*inv[2]%MOD;
			*/
			pre[i][j]=(pre[i][j-1]+E[i][j-1])%MOD;
			suf[j][i]=(suf[j][i+1]+E[i+1][j])%MOD;
			E[i][j]=(pre[i][j]+suf[j][i])*inv[j-i+1]%MOD*inv[2]%MOD;
			
			dp[i][j]=(dp[i][j]+2*(s1[i][j-1]+s2[j][i+1]))%MOD;
			dp[i][j]=(dp[i][j]+(py[j]-py[i-1])-pre[i][j])%MOD;
			dp[i][j]=(dp[i][j]+suf[j][i]-(py[j]-py[i-1]))%MOD;
			dp[i][j]=dp[i][j]*inv[j-i+1]%MOD*inv[2]%MOD;
			
			s1[i][j]=(s1[i][j-1]+dp[i][j])%MOD;
			s2[j][i]=(s2[j][i+1]+dp[i][j])%MOD; 
		}
	printf("%lld\n",(dp[1][n]+MOD)%MOD);
}