通俗理解線性回歸
回歸分析
什么是回歸分析呢？這是一個來自統計學的概念，回歸分析是指一種預測性的建模技術，主要是研究自變數和因變數的關系，通常使用線/曲線來擬合資料點，然后研究如何使曲線到資料點的距離差異最小，
例如，存在以下資料
然后我們擬合一條曲線f(x)：
回歸分析的目標就是要擬合一條曲線，讓圖中紅色線段加起來的和最小，
線性回歸（簡介）
線性回歸是回歸分析的一種，
- 假設目標值（因變數）與特征值（自變數）之間線性相關（即滿足一個多元一次方程，如：f(x)=w1x1+…+wnxn+b.），
- 然后構建損失函式，
- 最后通過令損失函式最小來確定引數，（最關鍵的一步）
線性回歸（詳解）
還是按照簡介的思路來說，以簡單的一元線性回歸（一元代表只有一個未知自變數）做介紹，
有n組資料，自變數x(x1,x2,…,xn)，因變數y(y1,y2,…,yn)，然后我們假設它們之間的關系是：f(x)=ax+b，那么線性回歸的目標就是如何讓f(x)和y之間的差異最小，換句話說就是a，b取什么值的時候f(x)和y最接近，
這里我們得先解決另一個問題，就是如何衡量f(x)和y之間的差異，在回歸問題中，均方誤差是回歸任務中最常用的性能度量（自行百度一下均方誤差），記J(a,b)為f(x)和y之間的差異，即
i代表n組資料中的第i組，
這里稱J(a,b)為損失函式，明顯可以看出它是個二次函式，即凸函式（這里的凸函式對應中文教材的凹函式），所以有最小值，當J(a,b)取最小值的時候，f(x)和y的差異最小，然后我們可以通過J(a,b)取最小值來確定a和b的值，
到這里可以說線性回歸就這些了，只不過我們還需要解決其中最關鍵的問題：確定a和b的值，
下面介紹三種方法來確定a和b的值：
- 最小二乘法
既然損失函式J(a,b)是凸函式，那么分別關于a和b對J(a,b)求偏導，并令其為零解出a和b，這里直接給出結果：
解得：
-
梯度下降法
首先你得先了解一下梯度的概念：梯度的本意是一個向量（矢量），表示某一函式（該函式一般是二元及以上的）在該點處的方向導數沿著該方向取得最大值，即函式在該點處沿著該方向（此梯度的方向）變化最快，變化率最大（為該梯度的模），
當函式是一元函式時，梯度就是導數，這里我們用一個最簡單的例子來講解梯度下降法，然后推廣理解更為復雜的函式，
還是用上面的例子，有n組資料，自變數x(x1,x2,…,xn)，因變數y(y1,y2,…,yn)，但這次我們假設它們之間的關系是：f(x)=ax，記J(a)為f(x)和y之間的差異，即
在梯度下降法中，需要我們先給引數a賦一個預設值，然后再一點一點的修改a，直到J(a)取最小值時，確定a的值，下面直接給出梯度下降法的公式（其中α為正數）：
下面解釋一下公式的意義，J(a)和a的關系如下圖，
假設給a取的預設值是a1的話，那么a對J(a)的導數為負數，則
也為負數，所以
意味著a向右移一點，然后重復這個動作，直到J(a)到達最小值，
同理，假設給a取的預設值是a2的話，那么a對J(a)的導數為正數，則
意味著a向左移一點，然后重復這個動作，直到J(a)到達最小值，
所以我們可以看到，不管a的預設值取多少，J(a)經過梯度下降法的多次重復后，最后總能到達最小值，
這里再舉個生活中的栗子，梯度下降法中隨機給a賦一個預設值就好比你隨機出現在一個山坡上，然后這時候你想以最快的方式走到山谷的最低點，那么你就得判斷你的下一步該往那邊走，走完一步之后同樣再次判斷下一步的方向，以此類推就能走到山谷的最低點了，而公式中的α我們稱它為學習率，在栗子中可以理解為你每一步跨出去的步伐有多大，α越大，步伐就越大，（實際中α的取值不能太大也不能太小，太大會造成損失函式J接近最小值時，下一步就越過去了，好比在你接近山谷的最低點時，你步伐太大一步跨過去了，下一步往回走的時候又是如此跨過去，永遠到達不了最低點；α太小又會造成移動速度太慢，因為我們當然希望在能確保走到最低點的前提下越快越好，）
到這里，梯度下降法的思想你基本就理解了，只不過在栗子中我們是用最簡單的情況來說明，而事實上梯度下降法可以推廣到多元線性函式上，這里直接給出公式，理解上（需要你對多元函式的相關知識有了解）和上面的栗子殊途同歸，
假設有n組資料，其中目標值（因變數）與特征值（自變數）之間的關系為：
其中i表示第i組資料，損失函式為：
梯度下降法：
-
正規方程
（這里需要用到矩陣的知識）
正規方程一般用在多元線性回歸中，原因等你看完也就能理解為什么，所以這里不再用一元線性回歸舉栗子了，
同樣，假設有n組資料，其中目標值（因變數）與特征值（自變數）之間的關系為：
其中i表示第i組資料，這里先直接給出正規方程的公式：
推導程序如下：
記矩陣
向量
則
損失函式為：
對損失函式求導并令其為0，有
解得
到此，就求出了所有系數θ，不過正規方程需要注意的是
在實際中可能會出現是奇異矩陣，往往是因為特征值之間不獨立，這時候需要對特征值進行篩選，剔除那些存在線性關系的特征值（好比在預測房價中，特征值1代表以英尺為尺寸計算房子，特征值2代表以平方米為尺寸計算房子，這時特征值1和特征值2只需要留1個即可），
好了，以上就是線性回歸的講解（如果對你理解線性回歸確實有幫助的話，幫忙點個贊，同時也歡迎指出問題）， 下面再補充一下個人對上面三種確定系數θ方法的評估，
- 梯度下降法是通用的，包括更為復雜的邏輯回歸演算法中也可以使用，但是對于較小的資料量來說它的速度并沒有優勢
- 正規方程的速度往往更快，但是當數量級達到一定的時候，還是梯度下降法更快，因為正規方程中需要對矩陣求逆，而求逆的時間復雜的是n的3次方
- 最小二乘法一般比較少用，雖然它的思想比較簡單，在計算程序中需要對損失函式求導并令其為0，從而解出系數θ，但是對于計算機來說很難實作，所以一般不使用最小二乘法，
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