從基變換的角度理解旋轉矩陣R

在理解相機坐標系時，我們一定會接觸相機的外參矩陣R，它將世界坐標系下的坐標轉換到相機坐標系下：
P c = R ? P w + t P_c=R*P_w+t Pc?=R?Pw?+t
這實際上是兩個坐標系之間的變換，我們知道 R R R矩陣是一個正交矩陣，所以它的3個行（列）向量是3維向量空間的一組標準正交基，而一組標準正交基可以作為一個坐標系的三個基向量，那么我們的 R R R矩陣如何和兩個坐標系的基向量聯系起來呢？

我們先畫出兩個坐標系 X w Y w Z w X_wY_wZ_w Xw?Yw?Zw?和 X c Y c Z c X_cY_cZ_c Xc?Yc?Zc?：

我們要討論的是如何把某一點 P P P 在世界坐標系上的坐標轉換成相機坐標系上的坐標，

暫且不考慮兩個坐標系之間的平移，于是將相機坐標系的原點移動到世界坐標系的原點，像這樣：

我們可以標出兩個坐標系的基向量組 e w ( e ? w x , e ? w y , e ? w z ) e_w(\vec{e}_{wx},\vec{e}_{wy},\vec{e}_{wz}) ew?(e wx?,e wy?,e wz?)和 e c ( e ? c x , e ? c y , e ? c z ) e_c(\vec{e}_{cx},\vec{e}_{cy},\vec{e}_{cz}) ec?(e cx?,e cy?,e cz?)，它們都在世界坐標系下，

接下來，再討論如何把世界坐標系上的一點 P ( X w , Y w , Z w ) P(X_w,Y_w,Z_w) P(Xw?,Yw?,Zw?)轉換到相機坐標系下
P ( X w , Y w , Z w ) → P ( X c , Y w , Z w ) P(X_w,Y_w,Z_w)→P(X_c,Y_w,Z_w) P(Xw?,Yw?,Zw?)→P(Xc?,Yw?,Zw?)
在世界坐標系下，基向量組 e w ( e ? w x , e ? w y , e ? w z ) e_w(\vec{e}_{wx},\vec{e}_{wy},\vec{e}_{wz}) ew?(e wx?,e wy?,e wz?)為單位陣，也就是

其中 e ? w x = ( 1 , 0 , 0 ) T \vec{e}_{wx}=(1,0,0)^T e wx?=(1,0,0)T， e ? w y = ( 0 , 1 , 0 ) T \vec{e}_{wy}=(0,1,0)^T e wy?=(0,1,0)T， e ? w z = ( 0 , 0 , 1 ) T \vec{e}_{wz}=(0,0,1)^T e wz?=(0,0,1)T，

我們知道 P P P在世界坐標系下的坐標實際上是以上三組基向量的線性組合，即 P w = X w ? e ? w x + Y w ? e ? w x + Z w ? e ? w x P_w=X_w*\vec{e}_{wx}+Y_w*\vec{e}_{wx}+Z_w*\vec{e}_{wx} Pw?=Xw??e wx?+Yw??e wx?+Zw??e wx?

這便是坐標的基向量表示法了，

那么我們把 P P P點的坐標變換到基向量組 e c ( e ? c x , e ? c y , e ? c z ) e_c(\vec{e}_{cx},\vec{e}_{cy},\vec{e}_{cz}) ec?(e cx?,e cy?,e cz?)下便得到了相機坐標系下的變換，換句話說，我們要計算 P P P點在基向量組 e c ( e ? c x , e ? c y , e ? c z ) e_c(\vec{e}_{cx},\vec{e}_{cy},\vec{e}_{cz}) ec?(e cx?,e cy?,e cz?)下的坐標 P c = X c ? e ? c x + Y c ? e ? c x + Z c ? e ? c x P_c=X_c*\vec{e}_{cx}+Y_c*\vec{e}_{cx}+Z_c*\vec{e}_{cx} Pc?=Xc??e cx?+Yc??e cx?+Zc??e cx?，

從旋轉矩陣的角度來說，計算公式是：
P c = R P w P_c=RP_w Pc?=RPw?

讓我們先暫時忘掉 P P P，我們想一想基向量組 e c ( e ? c x , e ? c y , e ? c z ) e_c(\vec{e}_{cx},\vec{e}_{cy},\vec{e}_{cz}) ec?(e cx?,e cy?,e cz?)通過 R R R矩陣變換到相機坐標系下是什么樣的呢？

答案顯而易見，是單位陣 E E E，

也就是說通過左乘旋轉矩陣 R R R，我們可以把基向量組 e c ( e ? c x , e ? c y , e ? c z ) e_c(\vec{e}_{cx},\vec{e}_{cy},\vec{e}_{cz}) ec?(e cx?,e cy?,e cz?)變成單位陣 E E E，表達如下：
R ( e ? c x , e ? c y , e ? c z ) = E R(\vec{e}_{cx},\vec{e}_{cy},\vec{e}_{cz})=E R(e cx?,e cy?,e cz?)=E

因此我們知道
( e ? c x , e ? c y , e ? c z ) = R ? 1 = R T (\vec{e}_{cx},\vec{e}_{cy},\vec{e}_{cz})=R^{-1}=R^T (e cx?,e cy?,e cz?)=R?1=RT

這就是我們的旋轉矩陣 R R R在基變換角度下的理解， R R R的逆矩陣（或轉置矩陣）的三個列向量，便是相機坐標系的三個基向量在世界坐標系下的坐標，