前言
大家好，我是bigsai！(上次發布的忘加原創并且今天的把內容擴充了一下)最近，大數加減頻頻登上筆試的舞臺，小伙伴們在群里也分享自己遇到面試官碰到大數運算的題目，想著這么重要而簡單的知識點我還沒寫過，那得好好和大家一起總結一下，
各位有過分類刷題的小伙伴，可能看到很多人分類 字串、貪心、動態規劃、bfs、dfs、大數、數論等，初聽大數，你可能會差異：大數是個啥？聽起來怪高大上的，
大數，其實就是很大很大數字(可能遠超32、64位，基礎型別無法表示)的加減法，在Java中我們可以使用一個大數類(BigInteger等)很容易解決大數的各種運算，但如果遇到面試官他肯定會讓你手寫的，
這個數字一般用字串、鏈表等形式表示、回傳，大數運算的核心就是：模擬，模擬我們日常用紙筆算數字的加減乘除流程，然后再根據計算機、編程語言等特性適當存盤計算即可，不過，大數除法運算稍微特殊一點，和我們直接模擬的思維方式稍有不同，它就是轉換了一下成特殊的加減法運算，后面會細談，
大數加法
大數加法是最簡單的，簡單模擬即可，首先，我們想一下兩個數加法的流程：從右向左計算求和、進位，一直到最后，
在編程語言中同樣也是模擬從右向左逐位相加的程序，不過在具體實作上需要注意一些細節，
1、列舉字串將其轉換成char[]提高效率
2、從右往左進行計算，可以將結果放到一個陣列中最后組成字串，也可以使用StringBuider拼接，拼接的時候最后要逆置一下順序，
3、余數每次疊加過需要清零，兩數相加如果大于等于10即有余數，添加到結果中該位置的數也應該是該數%10的結果，
4、計算完最后還要看看余數是否為1，如果為1需要將其添加到結果，例如 "991"+"11"算三個位置為002但還有一個余數需要添加，所以應該是1002，
當然在具體實作上方法較多，你可以首先就將字串逆置然后從前往后就可以計算了，當然我這里實作的是字串從后向前各個位對應計算，然后將結果順序添加到StringBuilder上，
這題在力扣【415兩數相加】可以檢驗自己代碼，實作代碼為：
public String addStrings(String num1, String num2) {
// 公眾號：bigsai 歡迎你的關注
int len1=num1.length()-1,len2=num2.length()-1;
char ch1[]=num1.toCharArray();
char ch2[]=num2.toCharArray();
StringBuilder sb=new StringBuilder();
int remainder =0;//計算余數
while (len1>=0||len2>=0)
{
int n1=len1>=0?(ch1[len1--]-'0'):0;
int n2=len2>=0?(ch2[len2--]-'0'):0;
int num=n1+n2+remainder;//求和對應數字
remainder=num/10;//是否進位
sb.append(num%10);// 添加到結果字串中
}
if(remainder>0)//是否還需要進位
{
sb.append(remainder);
}
//反裝即為結果
return sb.reverse().toString();
}
大數減法
加法對應的就是減法，有了上面大數加法的實作思路，那么我想你在大數減法也應該有點想法，但是減法和加法不同的是減法有位置的區別，加法需要進位而減法需要借位，并且大整正數減法可能產生正負也不一定，
兩個正數，如果大數減去小數，那么一切正常，結果是一個正數；但如果小數減去大數，那么結果將是一個負數，并且結果處理起來比較麻煩，所以在這里全部轉成大-小處理(大-小不存在不能借位的情況)，
1、執行計算前首先比較減數(num1)和被減數(num2)的大小，如果num1>num2,那么就模擬num1-num2的程序，如果num1<num2，那么結果就為-(num2-num1) ，當然可以為了穩定模擬時候一個大一個小，可將num1始終指向較大的那個數，少寫一個if/else.
2、在比較兩個數字大小的時候，因為是字符形式，首先比較兩個字串的長度，長的那個更大短的那個更小，如果兩個字串等大，那么就可以通過字典序從前往后進行比較(Java可直接使用compareTo方法)，
3、和加法不同的是，減法前面可能產生若干前綴0，這些0是需要你去掉的，例如"1100"-"1000"計算得到的結果為"0100",你就要把前面的0去掉回傳"100"，
4、具體實作的時候和加法相似，如果使用StringBuilder存盤，需要逆置順序，如果是個負數，前面還要加上'-'.
5、每個位置正常進行減法運算，如果值小于0，那么就需要向上借位(+10),那么處理上一位進行減法時候還要將借位的處理一下，
這題在力扣上沒有原題，但是可以在小米OJ【大數相減】上驗證自己代碼的正確性，具體實作的代碼為：
public static boolean compare(String num1,String num2)
{
if(num1.length()<num2.length())
return false;
else if(num1.length()>num2.length())
return true;
else
return num1.compareTo(num2)>0;
}
public static String subtractString(String num1,String num2) {
char sign='+';//正負號
//讓num1>num2 如果num1<num2 那么結果就是—(num2-num1)
//可以先將num1和num2交換和前面情況統一
if(!compare(num1,num2))
{
sign='-';
String team = num2;
num2 = num1;
num1 = team;
}
int len1=num1.length()-1;
int len2=num2.length()-1;
char ch1[] = num1.toCharArray();
char ch2[] = num2.toCharArray();
StringBuilder sb=new StringBuilder();
int borrow=0;//借位
while (len1>=0||len2>=0)
{
int n1=len1>=0?(ch1[len1--]-'0'):0;
int n2=len2>=0?(ch2[len2--]-'0'):0;
int num=n1-n2-borrow;
borrow=0;
if(num<0)//需要向前借位
{
borrow=1;
num+=10;
}
sb.append(num);
}
sb=sb.reverse();//需要先翻轉
int index = 0;//去掉前面沒用的’0‘
while (index<sb.length()&&sb.charAt(index) == '0')
{
index++;
}
//如果兩個數相同 直接回傳"0"
if(index==sb.length())
return "0";
if(sign=='+')//如果正數
return sb.substring(index);
else return sign+sb.substring(index);//負數需要回傳
}
大數乘法
大數乘法乍一想可能比較復雜，因為乘法比起加法可能進位不光是1，還有兩個數各種位置都需要相乘計算，這時候就需要我們化繁為簡了，
多*多考慮起來可能有些麻煩，但是如果多*一考慮起來呢？如果是多位乘以一位數，那么就拿一位的分別乘以多位數的個位、十位、百位，在計算的同時考慮一下進位的情況，
但是也可以先直接用int型別陣列存盤各位的乘積然后從右向左進行進位，如下圖所示，
而多*多 也是這個道理，將不同位乘積先疊加到對應位置上，然后從右向左進位，一直到不需要進位為止，
你可能會疑問，如果兩個陣列的長度分別為a和b這個陣列到底該開多大呢？
-
a+b大小就夠了，怎么分析呢？其中一個a不變，另一個b變成最小b+1數字即十的倍數，那么這樣在相乘的時候也不過是a+b長度，所以這里a+b長度就夠了，
這題有力扣對應題可以去試試【43字串相乘】，具體代碼為：
public String multiply(String num1, String num2) {
if("0".equals(num1)||"0".equals(num2))return "0";
char a[]=num1.toCharArray();
char b[]=num2.toCharArray();
int value[]=new int[a.length+b.length];
for(int i=a.length-1;i>=0;i--)
{
for(int j=b.length-1;j>=0;j--)
{
int index=a.length-1-i+b.length-1-j;
value[index]+=(a[i]-'0')*(b[j]-'0');
}
}
for(int i=0;i<value.length-1;i++)
{
value[i+1]+=value[i]/10;
value[i]=value[i]%10;
}
int index=value.length-1;
while(value[index]==0)
{index--;}
StringBuilder sBuilder=new StringBuilder();
while (index>=0) {
sBuilder.append(value[index--]);
}
return sBuilder.toString();
}
大數除法
大數加減乘都搞定了，通過模擬來實作，但是大數除法也通過模擬來實作？
并不是，對于大數a/b，一般最多要求求到其整數解或者余數，即a/b=c……d（a,b,c,d均為整）;也就是a里面有c個b，并且還剩下d，核心是先求c是多少，對于程式來說，可以通過列舉啊，將除法變成減法，從a中不斷減d，一直到不能減為止，
但是有個問題，如果被除數a很大很大，可能有居多個b，那么這樣時間復雜度太高了，不可能執行那么多次，那么需要怎么樣去優化這個方法呢？
那就要加速尋找次數，減少這個減法的次數了，減法次數減小的一個最好方案就是能不能擴大除數b，如果b后面加個'0'，那么算出來的結果就乘以10，減法的次數變成原來十分之一，根據這個思想我們可以一直每次找到b的最大10的倍數(小于a)計算減的次數再換算成減b的總詞數，將結果要以字串方式保留，后面一直迭代到最后為止,這雖然是一道除法運算的題，但是也蘊含減法和加法(次數疊加到結果中)，
當然，也有一些人使用二分法來壓縮尋找可以被減的次數也是可以的(加法可以迭代數字實作二分倍數)，具體實作的話也不是很困難，但是代碼量可能比較多所以一般的面試筆試不會讓你現場寫的，所以好好掌握前面的減法、減法、乘法的代碼即可，
這部分代碼我也簡單給一下(其他函式上面貼過就不重復貼啦)：
//假設 num1>num2
public static String divideString(String num1,String num2)
{
String value="0";//結果
while (compare(num1,num2))
{
StringBuilder sbTeam=new StringBuilder(num2);//用這個往后面不斷加0 和num做減法
StringBuilder sbCount=new StringBuilder("1");//次數 可能很大
int subLen=num1.length()-num2.length();//統計大概要加幾個零
for(int i=0;i<subLen;i++)
{
sbTeam.append('0');
sbCount.append('0');
}
//如果0 加多了 那么要刪一個 類似"12300" / "23" "12300"比"23000"小
//所以要 "2300" 對應比"23"擴大 "100"倍數，每減一次"2300" 則結果加"100"
if(!compare(num1,sbTeam.toString()))
{
sbTeam=sbTeam.deleteCharAt(sbTeam.length()-1);
sbCount=sbCount.deleteCharAt(sbCount.length()-1);
}
// 一直能減的時候
while (compare(num1,sbTeam.toString()))
{
num1=subtractString(num1,sbTeam.toString());
value=addStrings(sbCount.toString(),value);
}
}
return value;
}
簡單測驗了下，正確性還是ok的：
番外篇
除了上面直接的大數加減乘除，還有一些變形的題目需要我們特殊處理一下，比如可能會使用鏈表等存盤處理，下面分享兩道題，
兩數相加(力扣02)
題目描述：
給你兩個 非空 的鏈表，表示兩個非負的整數，它們每位數字都是按照 逆序 的方式存盤的，并且每個節點只能存盤 一位 數字，請你將兩個數相加，并以相同形式回傳一個表示和的鏈表
你可以假設除了數字 0 之外，這兩個數都不會以 0 開頭，
提示：
-
每個鏈表中的節點數在范圍
[1, 100]內 -
0 <= Node.val <= 9 -
題目資料保證串列表示的數字不含前導零
本題其實就是用一個鏈表存盤一個數字(逆序存盤)，你需要給它計算出結果后在 逆序 存盤到一個鏈表中回傳，
所謂加法的運算規則：從兩個數的最低位進行計算，進行到下一位的時候需要考慮進位問題，一直到最后，而本題所給的鏈表剛好可以用來直接計算，因為鏈表頭都是數字最低位可以直接相加，然后一直遍歷到結束，可以用一個常數表示進位，
在具體實作(鏈表)的時候：
-
創建新的鏈表，每次將計算的數值插入到鏈表尾部即可，
-
需要準確表示進位，并且最后要考慮以下進位
-
妥善回傳正確節點，可以用一個頭節點用來使得所有節點都正常操作，而不需要特殊判斷，
通過代碼第一次比較啰嗦的寫法：
當然，如果你遍歷鏈表把各個數字取出來，使用字串、數字轉換然后相加得到一個數字，最后在轉成字串、鏈表的理論可以，可以自行實作，
優化后的代碼為：
//更簡潔的寫法
public ListNode addTwoNumbers(ListNode l1, ListNode l2) {
ListNode node=new ListNode(0);
ListNode team=node;
int jin=0;//進位
while(l1!=null||l2!=null)
{
int num=jin;
if(l1!=null)
{
num+=l1.val;l1=l1.next;
}
if(l2!=null)
{
num+=l2.val;l2=l2.next;
}
jin=num/10;
num%=10;
team.next=new ListNode(num);
team=team.next;
}
if(jin!=0)team.next=new ListNode(jin);
return node.next;
}
兩數相加2(力扣445)
題目描述：
給你兩個 非空 鏈表來代表兩個非負整數，數字最高位位于鏈表開始位置，它們的每個節點只存盤一位數字，將這兩數相加會回傳一個新的鏈表，
你可以假設除了數字 0 之外，這兩個數字都不會以零開頭，
進階：如果輸入鏈表不能修改該如何處理？換句話說，你不能對串列中的節點進行翻轉，
示例：
輸入：(7 -> 2 -> 4 -> 3) + (5 -> 6 -> 4)
輸出：7 -> 8 -> 0 -> 7
本題的話和上面不一樣鏈表不是逆置的，但是加法運算其實需要從最后面對齊開始，也就是理論上應該從鏈表尾部開始向前，但是這是個單鏈表，這樣運算的話時間復雜度太高，所以我們要用空間換時間：用堆疊來解決，
將鏈表的節點依次放到兩個堆疊中，然后兩個堆疊同時取數計算，但是待回傳的是個鏈表，所以采取頭插法即可(如果不頭插最后反轉也可)，具體流程可以參考如下圖：
實作代碼為：
/**
* Definition for singly-linked list.
* public class ListNode {
* int val;
* ListNode next;
* ListNode(int x) { val = x; }
* }
*/
class Solution {
public ListNode addTwoNumbers(ListNode l1, ListNode l2) {
Stack<Integer>stack1=new Stack<>();
Stack<Integer>stack2=new Stack<>();
while (l1!=null)
{
stack1.add(l1.val);
l1=l1.next;
}
while (l2!=null)
{
stack2.add(l2.val);
l2=l2.next;
}
ListNode val=new ListNode(0);//帶頭結點
int moreadd=0;//余數
while (!stack1.isEmpty()||!stack2.isEmpty()||moreadd!=0)
{
int num=moreadd;//num=余數+鏈表1+鏈表2
if(!stack1.isEmpty())
num+=stack1.pop();
if(!stack2.isEmpty())
num+=stack2.pop();
moreadd=num/10;
num=num%10;
//鏈表頭插
ListNode node=new ListNode(num);
node.next=val.next;
val.next=node;
}
return val.next;
}
}
結語
到這里，大數的加減乘除基本都講解完啦，不知道你有沒有識訓，因為這里的大數都是用字串的方式存盤和處理，遇到的最多，但是也可能遇到一些鏈表、陣列等其他形式存盤的需要處理，但是整體的思想都是一樣的，
光看沒有還要多多練習對應的題目，當然本人水平有限上面理解可能有誤或者不到位還請指正！
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