前言

博主今天翻閱以前刷過的一些題,然后突發奇想,有沒有人有不一樣的解法,好家伙,還真給我逮到了.于是就看了看,實在被那個大佬的解法給震驚,因此記錄下這篇文章.此外,博主關于這個公式的推導完全是基于自己主觀來的,若評論區有大佬覺得不夠嚴謹,歡迎斧正.

題目

幻方是一種很神奇的 NxN 矩陣：它由數字 1,2,3.......N×N構成，且每行、每列及兩條對角線上的數字之和都相同

其中,輸入的N一定是奇數

比如 N=5時候:

比如N=7時候:

那么如果我們要用程式實作這個怎么搞???我們可以看看規律

規律就是1的下標一定是在第一行的中間列-----------隨著從1到nxn的增加,每個數字都向右上走,如果右上角有數字就向下走一個.且不能超出邊界.

標準敘述:

首先將 1 寫在第一行的中間，

之后，按如下方式從小到大依次填寫每個數 K(K=2,3,?,N×N) ：

若 (K-1) 在第一行但不在最后一列，則將 K 填在最后一行， (K?1) 所在列的右一列；
若 (K-1) 在最后一列但不在第一行，則將 K 填在第一列， (K?1) 所在行的上一行；
若 (K?1) 在第一行最后一列，則將 K 填在 (K?1) 的正下方；
若 (K?1) 既不在第一行，也不在最后一列，如果 (K?1) 的右上方還未填數，則將 K 填在 (K-1) 的右上方，否則將 K 填在 (K?1) 的正下方，
現給定 N ，請按上述方法構造 N×N 的幻方，

普通方法

-------按照規律進行模擬,在這里就不再贅述,直接貼代碼,因為重頭戲是 后面的%

#include <stdio.h>

int n,a[10010][10010],x=1,y,cnt=2;//cnt賦值為2，因為從2開始填數

int main()
{
	scanf("%d",&n);//輸入不解釋
	y=(n+1)/2;//將x,y的值（k-1)坐標賦值為1,(n+1)/2;
	a[x][y]=1;//將第一行最中間的數賦值為1.
	int now=n*n;
	for(int i=2;i<=now;++i)
	{
	    if(x==1&&y!=n)//模擬第一種情況
	    {
	    	a[n][y+1]=cnt;
	    	x=n;
	    	y+=1;
	    	cnt++;
		}
		else if(x!=1&&y==n)//注意有else模擬第二種情況
		{
			a[x-1][1]=cnt;
			x-=1;
			y=1;
			cnt++;
		}
		else if(x==1&&y==n)//模擬第三種情況
		{
			a[x+1][y]=cnt;
			x+=1;
			cnt++;
		}
		else //第四種情況
		{
			if(a[x-1][y+1]==0)//如果k-1右上方還未填數
			{
				a[x-1][y+1]=cnt;
				x-=1;
				y+=1;
				cnt++;
			}
			else//反之~
			{
				a[x+1][y]=cnt;
				x+=1;
				cnt++;
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;++i)//完美輸出
	{
		for(int e=1;e<=n;++e)
		printf("%d ",a[i][e]);
		printf("\n");
	}
    return 0;//好習慣；
}

重頭戲----優秀方法

在開始之前要知道個性質(其實大家都知道,我只是再說說以便后面印象深刻)

x % n的結果是:

• 當0 ≤ x < n時候,值是x.
• 當x = n時候,值是0.

開始:

我們根據規律可以更加仔細的看出,假設i是行,j是列.

那么j的變化規律一直是什么??? 1,2,3......n,1,2,3......n,1,2,3......,對,沒錯,j一直在增加,然后到n以后,又從1開始.

那么i的變化規律一直是什么??? n,n-1,n-2...3,2,1,n,n-1,n-2...3,2,1,n,n-1,n-2...,對,沒錯,i一直在減少,到1后,又從n開始

先看列的情況:

我們想要實作列一直增加怎么寫???

• 首先肯定是這樣j = j + 1 ,

但是這樣讓j回圈下去.可以嗎? 不可以.因為j會越界.

那怎么辦?

• 我們看看越界時候j是啥值?
  • 當j=n時候,下次就會變為n+1了,就會越界!! 我們的目的確是讓j從n變為1

所以我們就把 邊界n給抵消掉,怎么抵消??? 那就是%n .

所以最后變為 y = y % n + 1

按照最開始博主寫的%的兩條性質推理可得:

• 當y的取值是[1,n-1]時候,等價 y = y+1;

• 當y的取值是n時候,下次y就會變為1.

注意: 有的人可能會想,這樣也可以哎 y = (y+1) % n,注意哦~~~~~,這樣寫y的值永遠不會到達邊界哦!!!

再看行的情況:

我們就發現了個問題,好像從小到大,我們利用求余數進行從頭回圈,都是數字逐漸增大,現在要求從大開始逐漸變小,就有點難寫了.

但是不要慌張哦~,我們一步一步的推一下邏輯

• 首先,我們肯定要讓i不斷減下去.所以i = i - 1.----------------------------------------------------------①

但是這樣行嗎? 不行,因為最后i會繼續減少,變為0,但是i的范圍只能是[1,n],所以越界了

那么我們能不能借一借列的思路,求一下模呢? 試一試

• i = ( i - 1) % n--------------------------------------------------------------------------------------------------②

但是這樣好像還是沒有解決掉哎. 因為按照博主最開始寫的%的兩條性質 ,①與②是等價的.但是我們肯定能猜到,這個倒著回圈的數,一定與%有關系.

嗯…我們再借鑒一下列的思路,上面是針對邊界情況分析,我們也試試.

邊界情況是啥? i = 1時候. 我們的目的是讓i-1 = 0時候,下一次i = n. 怎么辦??怎么辦??快想想???

咦?? 我們好像可以給i-1加個 n,(即這樣i = (i-1 + n)%n),這樣i下次就可以變為n了,但是好像這樣子i-1等于0時候,就剩為n%n了.嗯???n%n好像等于0哎! 不對不對.

怎么辦??? 那我們就退而求其次吧~~~~~,加一個n-1吧,這樣最后i-1=0時候就變為(n-1)%n了,但是這樣的值是 n-1哎,沒事了!!!

我們可以加個1.

• 所以最終變為(i-1 + n-1)%n + 1,即(i - 2 + n) % n + 1-----------------------------------------③

大家試試,比如n=7時候,i從7開始下降,看看i的值是不是從7到1,然后又從7到1?,答案是肯定的.

所以這個題目的代碼思路是:

先把1的位置寫好,然后判斷下一個位置是否有數字了,如果沒有,就填進去,如果有,就列不變,填在下一個位置的垂直向下處.

#include<stdio.h>

int n,a[40][40] = {0},x,y;

int main()
{
    //開始輸入1和n
	scanf("%d",&n);
    
	i=1,j=(n+1)/2;
    
	for(int m=1;m<=n*n;m++)
    {
		a[i][j]=i;
		if(a[(i-2+n)%n+1][j%n+1] == 0) //判斷下一個位置是否空
            i=(i-2+n)%n+1,j=j%n+1;
		else 
            i= i%n+1; //如果下一個數字不為空了,就往下移動一下.
	}
    
	for(int i=1;i<=n;i++)
    {
		for(int j=1;j<=n;j++)
        {
			printf("%d ",a[i][j]);
		}
		printf("\n");
	}
}