國賽A題分析

問題導讀

FAST 由主動反射面、信號接收系統（饋源艙）以及相關的控制、測量和支承系統組成（如 圖 1 所示），其中主動反射面系統是由主索網、反射面板、下拉索、促動器及支承結構等主要 部件構成的一個可調節球面，

說白了就是一個傳統的優化問題，首先我們注意一下重要的兩個約束條件：

• 主索節點調節后，相鄰節點之間的距離可能會發生微小變，變化幅度不能超過0.07%
• 促動器伸縮沿基準球面徑向趨向球心方向為正向，基準狀態下，促動器頂端徑向伸縮量為 0，其徑向伸縮范圍為**-0.6～+0.6 米**，
  繪圖如下：
  
  設所有的主索節點集合為 Q \mathcal{Q} Q，(相鄰主索節點 ( x i , y i , z i ) (x_i,y_i,z_i) (xi?,yi?,zi?)、 ( x j , y j , z j ) (x_j,y_j,z_j) (xj?,yj?,zj?) )來說，
  第一個約束好理解，
  ? 0.07 % ∣ ∣ q i 0 ? q j 0 ∣ ∣ 2 ≤ ( ∣ ∣ q i ? q j ∣ ∣ 2 ? ∣ ∣ q i 0 ? q j 0 ∣ ∣ 2 ) ≤ 0.07 % ∣ ∣ q i 0 ? q j 0 ∣ ∣ 2 , ? i , j ∈ Q -0.07\%||\boldsymbol{q}_{i}^{0}-\boldsymbol{q}_{j}^{0}||_2\le \left( ||\boldsymbol{q}_i-\boldsymbol{q}_j||_2-||\boldsymbol{q}_{i}^{0}-\boldsymbol{q}_{j}^{0}||_2 \right) \le 0.07\%||\boldsymbol{q}_{i}^{0}-\boldsymbol{q}_{j}^{0}||_2 ,\forall i,j \in \mathcal{Q} ?0.07%∣∣qi0??qj0?∣∣2?≤(∣∣qi??qj?∣∣2??∣∣qi0??qj0?∣∣2?)≤0.07%∣∣qi0??qj0?∣∣2?,?i,j∈Q
  q i 0 \boldsymbol{q}_{i}^{0} qi0?為基準態時 i i i主索節點位置, q i \boldsymbol{q}_{i} qi?為時 i i i為作業態時主索節點位置， q i \boldsymbol{q}_{i} qi?和 q j \boldsymbol{q}_{j} qj?相鄰，

對于第二個約束：
容易知 Q Q Q點法向量為：
n Q : ( ? x Q , ? y Q , ? z Q ) \boldsymbol{n}_Q: \left( -x_Q,-y_Q,-z_Q \right) nQ?:(?xQ?,?yQ?,?zQ?)
因此，主索節點、促動器頂端，下端點的坐標成比例：



據此特點可以通過引進伸縮因子簡化變數的維度，（具體見模型）

優化目標，這個是重點，留在模型中解釋

此外為了方便做優化，我們需要處理的資料點可以通過特殊的等邊三角形去篩選，也就是圓錐截取球面：

建立模型

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求解演算法

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結果展示（附代碼）

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