劍指 Offer 53 - I. 在排序陣列中查找數字 I 【 c++/java詳細題解 】

1、題目

統計一個數字在排序陣列中出現的次數，

示例 1:

輸入: nums = [5,7,7,8,8,10], target = 8
輸出: 2

示例 2:

輸入: nums = [5,7,7,8,8,10], target = 6
輸出: 0

提示：

• 0 <= nums.length <= 10^5
• -10^9 <= nums[i] <= 10^9
• nums 是一個非遞減陣列
• -10^9 <= target <= 10^9

2、思路

(二分) O ( l o g n ) O(logn) O(logn)

統計一個數字在排序陣列中出現的次數，

樣例：

如樣例所示，nums = [5,7,7,8,8,10]，target = 8，8在陣列中出現的次數為2，于是最后回傳2，

陣列有序，因此可以使用二分來做，兩次二分，第一次二分查找第一個>= target的位置begin；第二次二分查找最后一個<= target的位置end，查找成功則回傳end - begin + 1，即為數字在排序陣列中出現的次數，否則回傳0，表示該數沒有在陣列中出現，

二分模板：

模板1

當我們將區間[l, r]劃分成[l, mid]和[mid + 1, r]時，其更新操作是r = mid或者l = mid + 1，計算mid時不需要加1，即mid = (l + r)/2，

C++/java代碼模板：

int bsearch_1(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = (l + r)/2;
        if (check(mid)) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    return l;
}

模板2

當我們將區間[l, r]劃分成[l, mid - 1]和[mid, r]時，其更新操作是r = mid - 1或者l = mid，此時為了防止死回圈，計算mid時需要加1，即mid = ( l + r + 1 ) /2，

C++/java 代碼模板：

int bsearch_2(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = ( l + r + 1 ) /2;
        if (check(mid)) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    return l;
}

為什么兩個二分模板的mid取值不同？

對于第二個模板，當我們更新區間時，如果左邊界l更新為l = mid，此時mid的取值就應為mid = (l + r + 1)/ 2，因為當右邊界r = l + 1時，此時mid = (l + l + 1)/2，相當于下取整，mid為l，左邊界再次更新為l = mid = l，相當于沒有變化，while回圈就會陷入死回圈，因此，我們總結出來一個小技巧，當左邊界要更新為l = mid時，我們就令 mid =(l + r + 1)/2，相當于上取整，此時就不會因為r取特殊值r = l + 1而陷入死回圈了，

而對于第一個模板，如果左邊界l更新為l = mid + 1，是不會出現這樣的困擾的，因此，大家可以熟記這兩個二分模板，基本上可以解決99%以上的二分問題，再也不會被二分的邊界取值所困擾了，

什么時候用模板1？什么時候用模板2？

假設初始時我們的二磁區間為[l,r]，每次二分縮小區間時，如果左邊界l要更新為 l = mid，此時我們就要使用模板2，讓 mid = (l + r + 1)/ 2，否則while會陷入死回圈，如果左邊界l更新為l = mid + 1,此時我們就使用模板1，讓mid = (l + r)/2，因此，模板1和模板2本質上是根據代碼來區分的，而不是應用場景，如果寫完之后發現是l = mid，那么在計算mid時需要加上1，否則如果寫完之后發現是l = mid + 1，那么在計算mid時不能加1，

為什么模板要取while( l < r)，而不是while( l <= r)？

本質上取l < r 和 l <= r是沒有任何區別的，只是習慣問題，如果取l <= r，只需要修改對應的更新區間即可，

while回圈結束條件是l >= r，但為什么二分結束時我們優先取r而不是l?

二分的while回圈的結束條件是l >= r，所以在回圈結束時l有可能會大于r，此時就可能導致越界，二分問題我們優先取r，

二分查找的實作細節：

• 1、二分查找時，首先要確定我們要查找的邊界值，保證每次二分縮小區間時，邊界值始終包含在內，

• 2、注意看下面的每張圖，最后的答案就是紅色箭頭指出的位置，也是我們二分的邊界值，如果不清楚每次二分時，區間是如何更新的，可以畫出和下面類似的圖，每次更新區間時，要保證邊值始終包含在內，這樣關于左右邊界的更新就會一目了然，

第一次查找target起始位置:

• 1、二分的范圍，l = 0， r = nums.size() - 1，我們去二分查找>= target的最左邊界begin，

• 2、當nums[mid] >= target時，往左半區域找，r = mid，

  

• 3、當nums[mid] < target時， 往右半區域找，l = mid + 1，

• 4、如果nums[r] != target，說明陣列中不存在目標值 target，回傳 0，否則我們就找到了第一個>=target的位置begin，

第二次查找target結束位置：

• 1、二分的范圍，l = 0， r = nums.size() - 1，我們去二分查找<= target的最右邊界end，

• 2、當nums[mid] <= target時，往右半區域找，l = mid，

  

• 3、當nums[mid] > target時， 往左半區域找，r = mid - 1，

• 4、找到了最后一個<= target的位置begin，回傳end - begin + 1即可，

時間復雜度分析： 兩次二分查找的時間復雜度為 O ( l o g n ) O(logn) O(logn)，

空間復雜度分析： 沒有使用額外的陣列，因此空間復雜度為 O ( 1 ) O(1) O(1)，

3、c++代碼

class Solution {
public:
    int search(vector<int>& nums, int target) {
        if(!nums.size()) return  0;
        int l = 0, r = nums.size() - 1;
        while(l < r)       //查找target的開始位置
        {
            int mid = (l + r) / 2;
            if(nums[mid] >= target) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }
        if(nums[r] != target) return 0 ;  //查找失敗
        int begin = r;     //記錄開始位置
        l = 0, r = nums.size() - 1;
        while(l < r)       //查找tatget的結束位置
        {
            int mid = (l + r + 1) / 2;
            if(nums[mid] <= target) l = mid;
            else r = mid - 1;
        }
        int end = r;       //記錄結束位置      
        return end - begin + 1;
    } 
};

4、java代碼

class Solution {
    public int search(int[] nums, int target) {
        if(nums.length == 0) return  0;
        int l = 0, r = nums.length - 1;
        while(l < r)       //查找target的開始位置
        {
            int mid = (l + r) / 2;
            if(nums[mid] >= target) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }
        if(nums[r] != target) return 0 ;  //查找失敗
        int begin = r;     //記錄開始位置
        l = 0; r = nums.length - 1;
        while(l < r)       //查找tatget的結束位置
        {
            int mid = (l + r + 1) / 2;
            if(nums[mid] <= target) l = mid;
            else r = mid - 1;
        }
        int end = r;       //記錄結束位置      
        return end - begin + 1;  
    }
}

原題鏈接： 劍指 Offer 53 - I. 在排序陣列中查找數字 I