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堆實作TopK問題以及二叉樹的基礎知識鋪墊

2021-10-20 08:49:27 軟體設計

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目錄

  • 前言
  • 樹概念及結構
  • 樹的表示
  • 左孩子右兄弟表示法
  • 2.二叉樹概念及結構
    • 2.4特殊的二叉樹：
    • 二叉樹的性質
  • 練習題
  • 3.2 堆的概念及結構
    • 堆的存盤
    • 堆排序
    • 堆向下調整演算法
  • 建堆時間復雜度分析
    • 堆排序的思考，為什么排升序要建大堆
    • 利用堆洗掉思想來進行排序
    • 堆排序代碼實作
  • 堆實作
    • 介面宣告
    • 介面實作
    • 初始化
    • 列印
    • 銷毀
    • 向下調整建堆
    • 向上調整
    • 堆排序
    • 插入值
    • 洗掉
    • 取資料
    • 獲取元素個數
    • 判斷空
    • TOPK問題

前言

一個（最大）二叉堆是一個具有最大堆特性的完全二叉樹，所以在學習堆之前，我們先來學習一下二叉堆吧

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樹概念及結構

1.1樹的概念
樹是一種非線性的資料結構，它是由n（n>=0）個有限結點組成一個具有層次關系的集合，把它叫做樹是因
為它看起來像一棵倒掛的樹，也就是說它是根朝上，而葉朝下的，
有一個特殊的結點，稱為根結點，根節點沒有前驅結點
除根節點外，其余結點被分成M(M>0)個互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一個集合Ti(1<= i
<= m)又是一棵結構與樹類似的子樹，每棵子樹的根結點有且只有一個前驅，可以有0個或多個后繼
因此，樹是遞回定義的，
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  • 1、節點的度：一個節點含有的子樹的個數稱為該節點的度； 如上圖：A1的為6 .

  • 2、葉節點或終端節點：度為0的節點稱為葉節點； 如上圖：B、C、H、I…等節點為葉節點

  • 度為0的節點稱為葉節點，沒有孩子的結點就叫做葉子結點或者終端結點，而度不為0或者有孩子結點的就叫做非葉子結點或者非終端結點

  • 3、非終端節點或分支節點：度不為0的節點； 如上圖：D、E、F、G…等節點為分支節點

  • 有孩子的結點

  • 4、雙親節點或父節點：若一個節點含有子節點，則這個節點稱為其子節點的父節點； 如上圖：A是B的父節點

  • 5、孩子節點或子節點：一個節點含有的子樹的根節點稱為該節點的子節點； 如上圖：B是A的孩子節點

  • 6、兄弟節點：具有相同父節點的節點互稱為兄弟節點； 如上圖：B、C是兄弟節點

  • 7、樹的度：一棵樹中，最大的節點的度稱為樹的度； 如上圖：樹的度為6

  • 最大的節點是指擁有更多的孩子

  • 8、節點的層次：從根開始定義起，根為第1層，根的子節點為第2層，以此類推；

  • 9、樹的高度或深度：樹中節點的最大層次； 如上圖：樹的高度為4

  • 有些書籍會用0表示樹的第一層，樹的高度從0依次遞增

  • 10、堂兄弟節點：雙親在同一層的節點互為堂兄弟；如上圖：H、I互為兄弟節點

  • 11、節點的祖先：從根到該節點所經分支上的所有節點；如上圖：A是所有節點的祖先

  • 12、子孫：以某節點為根的子樹中任一節點都稱為該節點的子孫，如上圖：所有節點都是A的子孫

  • 13、森林：由m（m>0）棵互不相交的樹的集合稱為森林；

  • 多棵樹沒有結點重疊的樹，稱之為森林

樹的表示

樹結構相對線性表就比較復雜了，要存盤表示起來就比較麻煩了，實際中樹有很多種表示方式，如：雙親表示法，孩子表示法、孩子兄弟表示法等等，我們這里就簡單的了解其中最常用的孩子兄弟表示法，

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左孩子右兄弟表示法

typedef int DataType;
struct Node
{
 struct Node* _firstChild1; // 第一個孩子結點
 struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一個兄弟結點
 DataType _data; // 結點中的資料域
};

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從樹的結構可以看出無論樹中一個結點有多少個孩子，都可以表示，只需要找到第一個根結點，剩下的結點，都可以用兄弟指標關聯，找到他

2.二叉樹概念及結構

2.1概念
一棵二叉樹是結點的一個有限集合，該集合或者為空，或者是由一個根節點加上兩棵別稱為左子樹和右子樹
的二叉樹組成，
二叉樹的特點：

  • 每個結點最多有兩棵子樹，即二叉樹不存在度大于2的結點，
  • 二叉樹的子樹有左右之分，其子樹的次序不能顛倒，
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2.4特殊的二叉樹：

  • 1、滿二叉樹：一個二叉樹，如果每一個層的結點數都達到最大值，則這個二叉樹就是滿二叉樹，也就是
    說，如果一個二叉樹的層數為K，且結點總數是(2^k) -1 ，則它就是滿二叉樹，

  • 2 、完全二叉樹：完全二叉樹是效率很高的資料結構，完全二叉樹是由滿二叉樹而引出來的，對于深度為K 的，有n個結點的二叉樹，當且僅當其每一個結點都與深度為K的滿二叉樹中編號從1至n的結點一一對 應時稱之為完全二叉樹，
    要注意的是滿二叉樹是一種特殊的完全二叉樹，
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二叉樹的性質

  1. 若規定根節點的層數為1，則一棵非空二叉樹的第n層上最多有2^(n-1) 個結點.
  2. 若規定根節點的層數為1，則深度為h的二叉樹的最大結點數是2^h- 1.
  3. 對任何一棵二叉樹, 如果度為0其葉結點個數為 n0, 度為2的分支結點個數為 n2,則有n0＝n2＋1
  4. 若規定根節點的層數為1，具有n個結點的滿二叉樹的深度，h=Log2(n+1). (ps：Log2(n+1)是log以2為
    底，n+1為對數)
  5. 對于具有n個結點的完全二叉樹，如果按照從上至下從左至右的陣列順序對所有節點從0開始編號，則對
    于序號為i的結點有：
  • 若i>0，i位置節點的雙親序號：(i-1)/2；i=0，i為根節點編號，無雙親節點
  • 若2i+1<n，左孩子序號：2i+1，2i+1>=n否則無左孩子
  • 若2i+2<n，右孩子序號：2i+2，2i+2>=n否則無右孩子
  1. 計算一個二叉樹的總結點個數公式：2^k - 1
  2. 已知一顆滿二叉樹有N個結點，計算出他的高度是多少，公式log(N+1)

完全二叉樹與滿二叉樹的區別

補充：
1、完全二叉樹的前k-1層都是滿的，最后一層可以不滿但是從左往右都是連續的
2、滿二叉樹的第一層是滿的，第k層有2^(k-1)個結點才是滿的

練習題

  1. 某二叉樹共有 399 個結點，其中有 199 個度為 2 的結點，則該二叉樹中的葉子結點數為（B ）
    A 不存在這樣的二叉樹
    B 200
    C 198
    D 199
    2.下列資料結構中，不適合采用順序存盤結構的是（ A）
    A 非完全二叉樹
    B 堆
    C 佇列
    D 堆疊
    3.在具有 2n 個結點的完全二叉樹中，葉子結點個數為（A ）
    A n
    B n+1
    C n-1
    D n/2

總結點個數為2n
假設度為0節點有a0個
假設度為1節點有a1個
假設度為2節點有a2個
…
2n = a0 + a1 + a2
求出度為2的結點個數可以用完全二叉樹的性質，度為0的結點個數比度為2的結點個數多1，a0 - 1等價于度為2的結點個數，所以可以得到下面的公式
2n = a0 + a1 + a0 - 1
進一步簡化
2n = 2a0 - 1 + a1
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有了這個結論后，可以進一步得到下面的公式
2n = 2a0 - 1 + 1
n = a0

4.一棵完全二叉樹的節點數位為531個，那么這棵樹的高度為（ ）
A 11
B 10
C 8
D 12

思路：
由于這顆樹是一個完全二叉樹，想要求出這顆樹的結點個數，那就把它當作一個滿二叉樹看待，2^h - 1就是求出一顆滿叉樹的結點個數，但是完全二叉樹最后一層缺少的結點個數是不確定的，那就把它假設為x
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假設這個完全二叉樹的高度為h，那么公式就是這樣的
2^h - 1 - x = 531
繼續做的作業是求出x的范圍【1，2^(h - 1) - 1】，這里x的范圍并不能從0開始，如果從0開始那么最后一層就不存在了，并且他是一個滿二叉樹，就失去完全二叉樹的意義了，那么最后一層結點個數的最小值也求出來了，為1
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再來看最大值，滿二叉樹的最后一層結點個數-1得到的就是完全二叉樹的最大結點個數，所以完全二叉樹的結點個數最大是2^(h-1)-1
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所以x的范圍【1，2^(h - 1) - 1】也是可以得到驗證的，最后只需要將選項套進去就可以得到最接近x范圍的選項了，答案選B
2^h - 1 - x = 531
2^10 - 1 - x = 531
1024 - 1 - 531 = x
x = 492

5.一個具有767個節點的完全二叉樹，其葉子節點個數為（）
A 383
B 384
C 385
D 386

已知結點個數，求出度為0的結點個數
假設度為0的結點用a0表示
假設度為1的結點用a1表示
假設度為2的結點用a2表示
767 = a0 + a1 + a2
根據前面的知識，度為0的結點個數比度為2的結點個數多1，所以計算度為2的結點個數就是a0 - 1，進一步得到下面的公式
767 = a0 + a1 + a0 - 1
度為1的結點個數a1的情況分為兩種，要么是0，要么是1
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所以可以進一步推斷公式
767 = 2a0 + a1 - 1
左邊的式子是一個奇數，2a0表示的肯定是一個偶數，那么a0必然是0，這樣子2a0這個偶數減去1得到的就是奇數
768 = 2a0
a0 = 384

3.2 堆的概念及結構

堆的性質：

  • Min-heap: 父節點的值小于或等于子節點的值；
  • Max-heap: 父節點的值大于或等于子節點的值；
  • 堆總是一棵完全二叉樹，
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堆的存盤

在物理結構中是以陣列的形式存盤的，在邏輯結構上是一個完全二叉樹，實際在學習和使用的時候都是從邏輯結構為出發點，在 這里會有一個規律，可以通過他的父親計算出孩子的下標位置,這是以下公式：
計算左孩子：parent * 2 + 1
計算右孩子：parent * 2 + 2
通過孩子去計算父親的位置：parent = (child - 1) / 2
parent這個變數表示的是樹的第幾層
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堆排序

堆向下調整演算法

  • 向下調整演算法的前提是：左子樹和右子樹恰好是小堆
  • 向下調整演算法的思想是將父親跟孩子比較，如果小的孩子比父親小，則跟父親交換，而且把原來孩子的位置當成父親繼續往下調整，直到走到葉子結點
  • 如果小的孩子比父親大，則不需要處理，調整完成，整個樹已經是小堆

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void AdjustDown(int *arr,int n, int parent) 
{
	//默認左孩子小
	int child = parent * 2 + 1;
	while (child < n) 
	{
	    //如果右孩子比左孩子小，那就走到右孩子
		if (arr[child + 1] < arr[child]) 
		{
			++child;
		}
		//比較父子之間的大小關系，小的往上換
		if ( arr[child] < arr[parent] )
		{
			Swap(&arr[child],&arr[parent]);
			//將原來孩子的位置給父親，繼續算出新的孩子位置
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		//已經是小堆了，不需要處理
		else 
		{
			break;
		}
	}
}

面對左右子樹不是小堆的情況下，向下調整演算法的優化

實作思路：如果左右子樹不是堆的情況，使用向下調整演算法肯定沒有規律了，但是可以換一個角度考慮，從最后一個父親位置開始把它作為一個子樹，對它進行向下調整后這個子樹就是小堆了，緊接著找到第二個子樹依次…向下調整，最后左子樹與右子樹之間整體一調整就是一個堆了，已經用序列號標記好，將這幾個圈起來的看作是一個子樹，對每一個子樹向下調整，會得到一個小堆，整體一調整會成一個大堆
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代碼實作：

//n-1是最后一個下標的位置，
//已知孩子位置求父親位置的公式是parent = (child - 1) / 2
for(int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0 ; i--)
{
	AdjustDown(arr,n,i);
}

建堆時間復雜度分析

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堆排序的思考，為什么排升序要建大堆

1、堆排序要建堆，建堆時間復雜度：O(N)
2、建好堆了選數，堆排序的時間復雜度：O(N log N)

假設排升序建小堆，選出最小的數放到第一個位置，緊接著向下調整選出次小的
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結論：堆排序排升序建小堆是沒有意義的
那建大堆呢？
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從最后一個父親位置開始把它作為一個子樹，對它進行向下調整后這個子樹就是大堆了，緊接著找到第二個子樹依次…向下調整，最后左子樹與右子樹之間整體一調整就是一個大堆了

建好大堆后再堆排序
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利用堆洗掉思想來進行排序

思想：
先選出最大的和最后一個元素交換，再向下調整，再不把最后一個數看成是堆里面的，緊接著選出次大的，和最后一個元素交換，再向下調整，不把最后一個元素看作是堆里面的，依次回圈直到只剩最后一個元素了，就可以認為是有序的了

反之如果是排降序呢？那就是建小堆了，選出最小的數與最后一個元素交換，再向下調整，緊接著不把它看作是堆里面的，再選次小，交換，向下調整，不看做堆元素，反反復復直到只剩最后一個元素就可以是降序了

結論
升序：建大堆，從它的效率上來看已經很優了，
降序：建小堆

堆排序代碼實作

//交換
void Swap(int *data1,int *data2) 
{
	int tmp = *data1;
	*data1 = *data2;
	*data2 = tmp;
}
//列印
void print(int *arr,int n) 
{
	for (int i = 0; i < n; i++) 
	{
		printf("%d ",arr[i]);
	}
}

void AdjustDown(int *arr, int n, int parent) 
{
	int child = parent * 2 + 1;
	while (child < n) 
	{
		//右孩子比左孩子大
		if (child + 1 < n && arr[child + 1] > arr[child]) 
		{
			child++;
		}
		//孩子大于父親就交換，通過孩子的位置去計算父親的位置，再求父親位置
		else if (arr[child] > arr[parent])
		{	
			Swap(&arr[child],&arr[parent]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		//已經是小堆了
		else 
		{
			break;
		}	
	}
}

void SortHeap(int *arr, int n) 
{
	//建堆
	for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
	{
		AdjustDown(arr, n, i);
	}
	//堆排
	int end = n - 1;
	//end > 0，不需要end >= 0 ,只剩最后一個元素就可以看作是有序的了
	while (end > 0) 
	{
		Swap(&arr[end],&arr[0]);
		AdjustDown(arr,end,0);
		//堆洗掉思想
		end--;
	}
}

int main()
{
	int arr[10] = { 27,15,19,18,28,34,65,49,25,37 };
	int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);
	SortHeap(arr, n);
	print(arr,n);
	return 0;
}

堆實作

介面宣告

#pragma once
#include<stdio.h>
#include<stdbool.h>
#include<assert.h>
#include<stdlib.h>
#include<memory.h>
typedef int HPDataType;

typedef struct Heap
{
	HPDataType *a;
	int size;
	int capacity;
}Heap;

//堆的初始化
void HeapInit(Heap *php, HPDataType *a, int n);
//列印
void Heapprint(Heap *php);
//銷毀
void HeapDestroy(Heap *php);
//向下調整
void AdjustDown(int *arr, int n, int parent);
//向上調整
void AdjustUp(int *a, int child);
//堆排序
void SortHeap(int *arr, int n);
//插入
void HeapPush(Heap *php,int data);
//洗掉資料
void HeapPop(Heap *php);
// 取堆頂的資料
HPDataType HeapTop(Heap* php);
// 堆的資料個數
int HeapSize(Heap* php);
// 堆的判空
int HeapEmpty(Heap* php);

介面實作

#include"Heap.h"
void Swap(int *data1, int *data2)
{
	int tmp = *data1;
	*data1 = *data2;
	*data2 = tmp;
}
//建堆
void AdjustDown(int *arr, int n, int parent)
{
	int child = parent * 2 + 1;
	while (child < n)
	{
		if (child + 1 < n && arr[child + 1] > arr[child])
		{
			child++;
		}
		//交換孩子和父親
		if (arr[child] > arr[parent])
		{
			Swap(&arr[child], &arr[parent]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}
//堆排序
void SortHeap(int *arr, int n)
{
	//建堆，從最后一個父節點開始向下調整
	for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
	{
		AdjustDown(arr, n, i);
	}
	//堆排
	int end = n - 1;
	while (end > 0)
	{
		Swap(&arr[end], &arr[0]);
		AdjustDown(arr, end, 0);
		end--;
	}
}

//堆的初始化
void HeapInit(Heap *php, HPDataType *a, int n)
{
	assert(php);
	php->a = (HPDataType *)malloc(sizeof(HPDataType) * n);
	if (php->a == NULL) 
	{
		perror("HeapInit::malloc");
		exit(-1);
	}
	php->size = php->capacity = n;
	//初始化
	memcpy(php->a,a,sizeof(HPDataType) * n);
	//建堆
	int i = 0;
	for (i = (php->size - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
	{
		AdjustDown(php->a,php->size,i);
	}
}
//列印
void Heapprint(Heap *php) 
{
	assert(php);
	int i = 0;
	int k = 1;
	int pos = 0;
	for (i = 0; i < php->size; i++) 
	{
		
		printf("%d ", php->a[i]);
		if (pos % k == 0) 
		{
			printf("\n");
			k *= 2;
			pos = 0;
		}
		pos++;
	}
	printf("\n");

}
//銷毀
void HeapDestroy(Heap *php) 
{
	assert(php);
	free(php->a);
	php->a = NULL;
	php->capacity = php->size = 0;
}
//向上調整
void AdjustUp(int *a,int child)
{
	int parent = (child - 1) / 2;
	while (parent >= 0) 
	{
		if (a[child] > a[parent]) 
		{
			Swap(&a[child],&a[parent]);
			child = parent;
			parent = (child - 1) / 2;
		}
		else 
		{
			break;
		}
	}
}

//插入
void HeapPush(Heap *php, int data)
{
	assert(php);
	//插入值需要考慮庫容
	if (php->size == php->capacity) 
	{
		php->a = realloc(php->a, sizeof(int) * php->capacity * 2);
		if (php->a == NULL) 
		{
			perror("HeapInsrt::malloc");
			exit(-1);
		}
		//二倍增長
		php->capacity *= 2;
	}
	
	//尾插
	php->a[php->size] = data;
	php->size++;
	//為了不改變堆的結構，向上調整
	AdjustUp(php->a,php->size - 1);
}

//洗掉資料
void HeapPop(Heap *php)
{
	assert(php);
	assert(php->size > 0);
	//交換第一個和最后一個，洗掉元素，向下調整
	int end = php->size - 1;
	Swap(&php->a[0], &php->a[end]);
	--php->size;
	AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}

// 取堆頂的資料
HPDataType HeapTop(Heap* php) 
{
	assert(php);
	assert(!HeapEmpty(php));
	return php->a[0];
}
// 堆的資料個數
int HeapSize(Heap* php) 
{
	assert(php);
	return php->size;
}
// 堆的判空
int HeapEmpty(Heap* php) 
{
	assert(php);
	return php->size == 0 ? true : false;
}

初始化

//堆的初始化
void HeapInit(Heap *php, HPDataType *a, int n)
{
	assert(php);
	php->a = (HPDataType *)malloc(sizeof(HPDataType) * n);
	if (php->a == NULL) 
	{
		perror("HeapInit::malloc");
		exit(-1);
	}
	php->size = php->capacity = n;
	//初始化
	memcpy(php->a,a,sizeof(HPDataType) * n);
	//建堆
	int i = 0;
	for (i = (php->size - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
	{
		AdjustDown(php->a,php->size,i);
	}
}

初始化堆的程序其實就是一個建堆的程序，用陣列中可利用的元素完成建堆，有了這個堆結構后才能做后面的事情

列印

//列印
void Heapprint(Heap *php) 
{
	assert(php);
	int i = 0;
	int k = 1;
	int pos = 0;
	for (i = 0; i < php->size; i++) 
	{
		
		printf("%d ", php->a[i]);
		if (pos % k == 0) 
		{
			printf("\n");
			k *= 2;
			pos = 0;
		}
		pos++;
	}
	printf("\n");

}

遍歷一遍堆，為了更醒目地呈現堆結構，這里將代碼控制了一下

銷毀

//銷毀
void HeapDestroy(Heap *php) 
{
	assert(php);
	free(php->a);
	php->a = NULL;
	php->capacity = php->size = 0;
}

釋放動態申請的空間

向下調整建堆

//建堆
void AdjustDown(int *arr, int n, int parent)
{
	int child = parent * 2 + 1;
	while (child < n)
	{
		//選出左右孩子的大的那一個
		if (child + 1 < n && arr[child + 1] > arr[child])
		{
			child++;
		}
		//交換孩子和父親
		if (arr[child] > arr[parent])
		{
			Swap(&arr[child], &arr[parent]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		//已經是堆了就不需要再調整
		else
		{
			break;
		}
	}
}

選出左右孩子大的那一個跟父親交換，孩子的位置給父親繼續計算下一個孩子的位置，這里建的是大堆

向上調整

void AdjustUp(int *a,int child)
{
	int parent = (child - 1) / 2;
	while (parent >= 0) 
	{
		if (a[child] > a[parent]) 
		{
			Swap(&a[child],&a[parent]);
			child = parent;
			parent = (child - 1) / 2;
		}
		else 
		{
			break;
		}
	}
}

如果插入一個值后，需要調整推薦的是向上調整方式，如果是重新建堆的話效率太低了，而向上調整演算法只需要調整一條路徑的值，即使可以插入的值會改變原先的堆結構，但是這個演算法的好處是可以不需要重新建堆在這里插入圖片描述

堆排序

//堆排序
void SortHeap(int *arr, int n)
{
	//建堆，從最后一個父節點開始向下調整
	for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
	{
		AdjustDown(arr, n, i);
	}
	//堆排
	int end = n - 1;
	while (end > 0)
	{
		Swap(&arr[end], &arr[0]);
		AdjustDown(arr, end, 0);
		end--;
	}
}

前面已經有詳細的介紹了，這里就不再繼續

插入值

//插入
void HeapPush(Heap *php, int data)
{
	//插入值需要考慮庫容
	if (php->size == php->capacity) 
	{
		php->a = realloc(php->a, sizeof(int) * php->capacity * 2);
		if (php->a == NULL) 
		{
			perror("HeapInsrt::malloc");
			exit(-1);
		}
		//二倍增長
		php->capacity *= 2;
	}
	
	//尾插
	php->a[php->size] = data;
	php->size++;
	//為了不改變堆的結構，向上調整
	AdjustUp(php->a,php->size - 1);
}

插入值后為了保證堆結構不被破壞，又希望希望不用建堆演算法想效率高點，最好的方式是向上調整
在這里插入圖片描述

洗掉

//洗掉資料
void HeapPop(Heap *php)
{
	assert(php);
	assert(php->size > 0);
	/
	int end = php->size - 1;
	Swap(&php->a[0], &php->a[end]);
	--php->size;
	AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}

交換第一個和最后一個，洗掉元素，向下調整
在這里插入圖片描述

取資料

// 取堆頂的資料
HPDataType HeapTop(Heap* php) 
{
	assert(php);
	assert(!HeapEmpty(php));
	return php->a[0];
}

獲取元素個數

// 堆的資料個數
int HeapSize(Heap* php) 
{
	assert(php);
	return php->size;
}

判斷空

// 堆的判空
int HeapEmpty(Heap* php) 
{
	assert(php);
	return php->size == 0 ? true : false;
}

TOPK問題

劍指 Offer 40. 最小的k個數
鏈接: link.
題目描述：

輸入整數陣列 arr ，找出其中最小的 k 個數，例如，輸入4、5、1、6、2、7、3、8這8個數字，則最小的4個數字是1、2、3、4，

實作思路：選出k個數建成堆，再往后比較陣列中的元素，如果陣列中的某個元素小于隊頂元素就進堆，這樣一來堆結構可能會被破壞，需要再次向下調整得到新的堆結構，直到陣列遍歷完最小的k個數也都被篩選出來了


typedef int HPDataType;

typedef struct Heap
{
	HPDataType *a;
	int size;
	int capacity;
}Heap;

//堆的初始化
void HeapInit(Heap *php, HPDataType *a, int n);
//列印
void Heapprint(Heap *php);
//銷毀
void HeapDestroy(Heap *php);
//向下調整
void AdjustDown(int *arr, int n, int parent);
//向上調整
void AdjustUp(int *a, int child);
//堆排序
void SortHeap(int *arr, int n);
//插入
void HeapPush(Heap *php,int data);
//洗掉資料
void HeapPop(Heap *php);
// 取堆頂的資料
HPDataType HeapTop(Heap* php);
// 堆的資料個數
int HeapSize(Heap* php);
// 堆的判空
int HeapEmpty(Heap* php);
void Swap(int *data1, int *data2)
{
	int tmp = *data1;
	*data1 = *data2;
	*data2 = tmp;
}
//建堆
void AdjustDown(int *arr, int n, int parent)
{
	int child = parent * 2 + 1;
	while (child < n)
	{
		if (child + 1 < n && arr[child + 1] > arr[child])
		{
			child++;
		}
		//交換孩子和父親
		if (arr[child] > arr[parent])
		{
			Swap(&arr[child], &arr[parent]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}
//堆排序
void SortHeap(int *arr, int n)
{
	//建堆，從最后一個父節點開始向下調整
	for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
	{
		AdjustDown(arr, n, i);
	}
	//堆排
	int end = n - 1;
	while (end > 0)
	{
		Swap(&arr[end], &arr[0]);
		AdjustDown(arr, end, 0);
		end--;
	}
}

//堆的初始化
void HeapInit(Heap *php, HPDataType *a, int n)
{
	assert(php);
	php->a = (HPDataType *)malloc(sizeof(HPDataType) * n);
	if (php->a == NULL) 
	{
		perror("HeapInit::malloc");
		exit(-1);
	}
	php->size = php->capacity = n;
	//初始化
	memcpy(php->a,a,sizeof(HPDataType) * n);
	//建堆
	int i = 0;
	for (i = (php->size - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
	{
		AdjustDown(php->a,php->size,i);
	}
}
//列印
void Heapprint(Heap *php) 
{
	assert(php);
	int i = 0;
	int k = 1;
	int pos = 0;
	for (i = 0; i < php->size; i++) 
	{
		
		printf("%d ", php->a[i]);
		if (pos % k == 0) 
		{
			printf("\n");
			k *= 2;
			pos = 0;
		}
		pos++;
	}
	printf("\n");

}
//銷毀
void HeapDestroy(Heap *php) 
{
	assert(php);
	free(php->a);
	php->a = NULL;
	php->capacity = php->size = 0;
}
//向上調整
void AdjustUp(int *a,int child)
{
	int parent = (child - 1) / 2;
	while (parent >= 0) 
	{
		if (a[child] > a[parent]) 
		{
			Swap(&a[child],&a[parent]);
			child = parent;
			parent = (child - 1) / 2;
		}
		else 
		{
			break;
		}
	}
}

//插入
void HeapPush(Heap *php, int data)
{
	assert(php);
	//插入值需要考慮庫容
	if (php->size == php->capacity) 
	{
		php->a = realloc(php->a, sizeof(int) * php->capacity * 2);
		if (php->a == NULL) 
		{
			perror("HeapInsrt::malloc");
			exit(-1);
		}
		//二倍增長
		php->capacity *= 2;
	}
	
	//尾插
	php->a[php->size] = data;
	php->size++;
	//為了不改變堆的結構，向上調整
	AdjustUp(php->a,php->size - 1);
}

//洗掉資料
void HeapPop(Heap *php)
{
	assert(php);
	assert(php->size > 0);
	//交換第一個和最后一個，洗掉元素，向下調整
	int end = php->size - 1;
	Swap(&php->a[0], &php->a[end]);
	--php->size;
	AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}

// 取堆頂的資料
HPDataType HeapTop(Heap* php) 
{
	assert(php);
	assert(!HeapEmpty(php));
	return php->a[0];
}
// 堆的資料個數
int HeapSize(Heap* php) 
{
	assert(php);
	return php->size;
}
// 堆的判空
int HeapEmpty(Heap* php) 
{
	assert(php);
	return php->size == 0 ? true : false;
}
/**
 * Note: The returned array must be malloced, assume caller calls free().
 */
int* getLeastNumbers(int* arr, int arrSize, int k, int* returnSize){
    if(k == 0)
    {
        *returnSize = 0;
        return NULL;
    }
   //選出k個數建堆，再往后比較陣列中的元素，如果小于隊頂元素就進堆，再向下調整
    Heap h;
    int* retArr = (int *)malloc(sizeof(int) * k);
    for(int i = 0; i < k; i++)
    {
        retArr[i] = arr[i];
    }

    for(int i = (k - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
    {
        AdjustDown(retArr,k,i);
    }

    for(int i = k; i < arrSize; i++)
    {
        if(retArr[0] > arr[i])
        {
            retArr[0] = arr[i];
            AdjustDown(retArr,k,0);
        }
    }
    *returnSize = k;
    return retArr;
}

在這里插入圖片描述

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