我有一個 50x49 的矩陣A，它有 49 個線性獨立的列。但是，我的軟體 (octave) 告訴我它的排名是 44：
是不是因為一些計算錯誤？如果是這樣，那么如何防止此類錯誤？
如果軟體能夠正確計算
rref(A)，那么為什么會失敗rank(A)？這是否意味著計算rank(A)比計算更容易出錯rref(A)，反之亦然？我的意思是rref(A)實際上告訴你排名，但這里有一個矛盾。
PS我檢查過，Python犯了同樣的錯誤。
編輯 1：這是矩陣 A本身。給出了前 9 列。其余部分是通過多項式特征獲得的。
編輯 2：我發現了一個類似的問題。這是秩為 10 的 10x10矩陣 B（并且八度正確計算其秩）。但是，八度音程表示rank(B * B) = 9這是不可能的。
uj5u.com熱心網友回復：
可逆矩陣（即滿秩）和不可逆矩陣之間的區別在理論上是明確的，但在實踐中并非如此。可以反轉B具有大條件數的矩陣（如您的示例），但計算逆矩陣在數值上是不穩定的。它大致對應于B具有“小”的行列式（使用適當的“小”相對度量），因此矩陣幾乎是奇異的。結果，逆矩陣的計算精度會很差。在您的示例中B，條件編號（用 計算cond）是2.069e9。
看待這個問題的另一種方式是：當條件數很大時，它很可能B是“真正”奇異的，但先前計算中的小數值誤差使它看起來幾乎不是非奇異的。所以你不能確定。
的rank和rref功能使用不同的演算法（奇異值分解為rank，高斯-約旦消去與用于部分樞轉rref）。對于行為良好的矩陣，這兩種情況下的數值誤差都會很小，并且結果將是一致的。但是對于條件不好的矩陣，數值誤差會很大，并且在每種情況下都可能不同，從而產生不一致的結果。
這是數值代數的一個眾所周知的問題。通常，避免對條件數較大的矩陣求逆。
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