自適應控制

1、nonlinear adaptive controller

??已知非線性系統：
x ˙ = θ x 2 + u \dot{x}={\theta} x^{2}+u x˙=θx2+u

自適應控制

假設 θ {\theta} θ 已知：
??現有一跟蹤問題：期望目標 x d {x_d} xd?,則誤差為 e = x d ? x e={x_d}-x e=xd??x,控制目標：e趨近于0
e ˙ = x d ˙ ? x ˙ = x d ˙ ? θ x 2 ? u \dot{e}=\dot{x_d}-\dot{x}=\dot{x_d}-{\theta} x^{2}-u e˙=xd?˙??x˙=xd?˙??θx2?u
定義lyapunov function： V ( e ) = 1 2 e 2 V(e)=\frac{1}{2} {e}^2 V(e)=21?e2
V ( e ) ˙ = e ? e ˙ = e ? ( x d ˙ ? θ x 2 ? u ) \dot{V(e)}=e*\dot{e}=e*(\dot{x_d}-{\theta} x^{2}-u) V(e)˙?=e?e˙=e?(xd?˙??θx2?u)
令控制器為： u = x d ˙ ? θ x 2 + K e u=\dot{x_d}-{\theta} x^{2}+Ke u=xd?˙??θx2+Ke,帶入上式有：
V ( e ) ˙ = e ? ( x d ˙ ? θ x 2 ? ( x d ˙ ? θ x 2 + K e ) ) = ? K e 2 \dot{V(e)}=e*(\dot{x_d}-{\theta} x^{2}-(\dot{x_d}-{\theta} x^{2}+Ke))=-Ke^2 V(e)˙?=e?(xd?˙??θx2?(xd?˙??θx2+Ke))=?Ke2
V ( e ) ˙ \dot{V(e)} V(e)˙?負定，系統漸近穩定
這時對于誤差有：
e ˙ = x d ˙ ? x ˙ = x d ˙ ? θ x 2 ? u = ? K e \dot{e}=\dot{x_d}-\dot{x}=\dot{x_d}-{\theta} x^{2}-u=-Ke e˙=xd?˙??x˙=xd?˙??θx2?u=?Ke
完成非線性系統的反饋線性化，
假設 θ {\theta} θ 未知：
?? θ {\theta} θ 為一引數， θ ˙ = 0 \dot{\theta}=0 θ˙=0， θ ^ \hat{\theta} θ^ 為 θ {\theta} θ的估計值， θ ~ \tilde{\theta} θ~為估計誤差，
θ ~ = θ ? θ ^ \tilde{\theta}={\theta}-\hat{\theta} θ~=θ?θ^
求導：
θ ~ ˙ = θ ˙ ? θ ^ ˙ = ? θ ^ ˙ \dot{\tilde{\theta}}=\dot{\theta}-\dot{\hat{\theta}}=-\dot{\hat{\theta}} θ~˙=θ˙?θ^˙=?θ^˙
定義lyapunov function：
V ( e , θ ~ ) = 1 2 e 2 + 1 2 θ ~ 2 V(e,\tilde{\theta})=\frac{1}{2} {e}^2+\frac{1}{2} {\tilde{\theta}}^2 V(e,θ~)=21?e2+21?θ~2
求導為：
V ˙ ( e , θ ~ ) = e e ˙ + θ ~ θ ~ ˙ = e ( x d ˙ ? θ x 2 ? u ) ? θ ~ θ ^ ˙ ( 令 u = x d ˙ ? θ ^ x 2 + k e ) = ? e θ ~ x 2 ? k e 2 ? θ ~ θ ^ ˙ = ? k e 2 ? θ ~ ( e x 2 + θ ^ ˙ ) \begin{aligned} \dot{V}(e,\tilde{\theta})&=e{\dot{e}}+ {\tilde{\theta}}\dot{\tilde{\theta}} \\ &=e{(\dot{x_d}-{\theta} x^{2}-u)}- {\tilde{\theta}}\dot{\hat{\theta}}\\ &(令u=\dot{x_d}-\hat{\theta} x^{2}+ke)\\ &=-e{\tilde{\theta}}x^{2}-k e^{2}-{\tilde{\theta}}\dot{\hat{\theta}}\\ &=-k e^{2}-{\tilde{\theta}}(e x^{2}+\dot{\hat{\theta}}) \end{aligned} V˙(e,θ~)?=ee˙+θ~θ~˙=e(xd?˙??θx2?u)?θ~θ^˙(令u=xd?˙??θ^x2+ke)=?eθ~x2?ke2?θ~θ^˙=?ke2?θ~(ex2+θ^˙)?
?? ? k e 2 -k e^{2} ?ke2為負定，只需后一項為0，即 ( e x 2 + θ ^ ˙ ) = 0 (e x^{2}+\dot{\hat{\theta}})=0 (ex2+θ^˙)=0, V ˙ ( e , θ ~ ) = ? k e 2 \dot{V}(e,\tilde{\theta})=-k e^{2} V˙(e,θ~)=?ke2,此時為半負定，由于 V ( e , θ ~ ) ≥ 0 V(e,\tilde{\theta}) \geq 0 V(e,θ~)≥0， V ¨ ( e , θ ~ ) = ? 2 k e e ˙ = ? 2 k e ( ? k e ) = 2 k e 2 \ddot{V}(e,\tilde{\theta})=-2 k e \dot{e}=-2 k e(-k e)=2 k e^{2} V¨(e,θ~)=?2kee˙=?2ke(?ke)=2ke2是有界的，因為 V ˙ \dot{V} V˙ 半負定, e e e 在Lyapunov意義下穩定，即有界，所以 V ˙ \dot{V} V˙ 是一致連續的，滿足了Lypunov-like Lemma，所以當 t → 0 t \rightarrow 0 t→0 時， V ˙ → 0 \dot{V} \rightarrow 0 V˙→0, 即 e → 0 e \rightarrow 0 e→0 ，

Lyapunov-like Lemma

如果標量函式 V ( x ) V(x) V(x) 滿足 :
(1) V ( x ) V(x) V(x) 有下界;
(2) V ˙ ( x ) \dot{V}(x) V˙(x) 半負定;
(3) V ˙ ( x ) \dot{V}(x) V˙(x) 對時間是一致連續的， 那么當 t → ∞ t \rightarrow \infty t→∞ 時， V ˙ ( x ) → 0 \dot{V}(x) \rightarrow 0 V˙(x)→0

控制器為：
u = x ˙ d ? θ ^ x 2 + k e ( 其 中 θ ^ ˙ = ? e x 2 ) = x ˙ d ? ( ∫ 0 t ? e x 2 d τ ) x 2 + k e = x ˙ d + x 2 ∫ 0 t e x 2 d τ + k e \begin{aligned} u &=\dot{x}_{d}-\hat{\theta} x^{2}+k e &(其中\dot{\hat{\theta}}=-e x^{2}) \\ &=\dot{x}_{d}-\left(\int_{0}^{t}-e x^{2} d \tau\right) x^{2}+k e \\ &=\dot{x}_{d}+x^{2} \int_{0}^{t} e x^{2} d \tau+k e \end{aligned} u?=x˙d??θ^x2+ke=x˙d??(∫0t??ex2dτ)x2+ke=x˙d?+x2∫0t?ex2dτ+ke?(其中θ^˙=?ex2)

遞推最小二乘辨識加控制：

末知引數向量 θ \theta θ 的最小二乘估計 θ ^ L S \hat{\boldsymbol{\theta}}_{L S} θ^LS? 的遞推計算公式為
θ ^ L S ( k ) = θ ^ L S ( k ? 1 ) + K ( k ) [ y ( k ) ? φ T ( k ? 1 ) θ ^ L S ( k ? 1 ) ] \hat{\boldsymbol{\theta}}_{L S}(k)=\hat{\boldsymbol{\theta}}_{L S}(k-1)+\boldsymbol{K}(k)\left[y(k)-\boldsymbol{\varphi}^{\mathrm{T}}(k-1) \hat{\boldsymbol{\theta}}_{L S}(k-1)\right] θ^LS?(k)=θ^LS?(k?1)+K(k)[y(k)?φT(k?1)θ^LS?(k?1)]
K ( k ) = P ( k ? 1 ) φ ( k ? 1 ) 1 + φ T ( k ? 1 ) P ( k ? 1 ) φ ( k ? 1 ) \boldsymbol{K}(k)=\frac{\boldsymbol{P}(k-1) \boldsymbol{\varphi}(k-1)}{1+\boldsymbol{\varphi}^{\mathrm{T}}(k-1) \boldsymbol{P}(k-1) \boldsymbol{\varphi}(k-1)} K(k)=1+φT(k?1)P(k?1)φ(k?1)P(k?1)φ(k?1)?
P ( k ) = [ I ? K ( k ) φ T ( k ? 1 ) ] P ( k ? 1 ) \boldsymbol{P}(k)=\left[\boldsymbol{I}-\boldsymbol{K}(k) \boldsymbol{\varphi}^{\mathrm{T}}(k-1)\right] \boldsymbol{P}(k-1) P(k)=[I?K(k)φT(k?1)]P(k?1)
其中：
P ( k ) = [ Φ k T Φ k ] ? 1 \boldsymbol{P}(k)=\left[\boldsymbol{\Phi}_{k}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\Phi}_{k}\right]^{-1} P(k)=[ΦkT?Φk?]?1
Φ k = [ ? T ( 0 ) φ T ( 1 ) ? φ T ( k ? 1 ) ] \boldsymbol{\Phi}_{k}=\left[\begin{array}{c} \boldsymbol{\phi}^{\mathrm{T}}(0) \\ \boldsymbol{\varphi}^{\mathrm{T}}(1) \\ \vdots \\ \boldsymbol{\varphi}^{\mathrm{T}}(k-1) \end{array}\right] Φk?=???????T(0)φT(1)?φT(k?1)???????
獲得最小二乘估計 θ ^ L S \hat{\boldsymbol{\theta}}_{L S} θ^LS?，原系統變為：
x ˙ = θ ^ L S x 2 + u \dot{x}={\hat{\boldsymbol{\theta}}_{L S}} x^{2}+u x˙=θ^LS?x2+u
期望目標 x d {x_d} xd?,則誤差為 e = x d ? x e={x_d}-x e=xd??x,控制目標：e趨近于0
e ˙ = x d ˙ ? x ˙ = x d ˙ ? θ ^ L S x 2 ? u = ? k e \begin{aligned} \dot{e}=\dot{x_d}-\dot{x}&=\dot{x_d}-{\hat{\boldsymbol{\theta}}_{L S}} x^{2}-u\\ &=-ke \end{aligned} e˙=xd?˙??x˙?=xd?˙??θ^LS?x2?u=?ke?
所以控制器為：
u = x d ˙ ? θ ^ L S x 2 + k e \begin{aligned} u=\dot{x_d}-{\hat{\boldsymbol{\theta}}_{L S}} x^{2}+ke \end{aligned} u=xd?˙??θ^LS?x2+ke?

2、利用狀態觀測器完成自適應控制

系統模型為：
x ˙ = u + c y = x \begin{aligned} &\dot{x}=u+c \\ &y=x \end{aligned} ?x˙=u+cy=x?
定義觀測器為
x ^ ˙ = u + c ^ y ^ = x ^ \begin{aligned} &\dot{\hat{x}}=u+\hat{c} \\ &\hat{y}=\hat{x} \end{aligned} ?x^˙=u+c^y^?=x^?
為了消除觀測器誤差，引入反饋增益 L L L：
e = x ? x ^ e ˙ = x ˙ ? x ^ ˙ = c ? c ^ ? L ( x ? x ^ ) = c ? c ^ ? L e e c = c ~ = c ? c ^ \begin{aligned} &e={x}-{\hat{x}}\\ &\dot{e}=\dot{x}-\dot{\hat{x}}=c-\hat{c}-L(x-\hat{x})=c-\hat{c}-L e \\ &e_{c}=\tilde{c}=c-\hat{c} \end{aligned} ?e=x?x^e˙=x˙?x^˙=c?c^?L(x?x^)=c?c^?Leec?=c~=c?c^?
設計lyapunov函式：
V = 1 2 e 2 + 1 2 e c 2 V=\frac{1}{2} e^{2}+\frac{1}{2} e_{c}^{2} V=21?e2+21?ec2?
函式正定
求導數有：
V ˙ = e e ˙ + e c e ˙ c = e ( c ? c ^ ? L e ) ? e c c ^ ˙ = ? L e 2 + e e c ? e c c ^ ˙ = ? L e 2 + ( e ? c ^ ˙ ) e c \begin{aligned} \dot{V}&=e \dot{e}+e_{c} \dot{e}_{c}\\ &=e(c-\hat{c}-L e)-e_{c}\dot{ \hat{{c}}}\\ &=-Le^2+ee_{c}-e_{c}\dot{ \hat{{c}}}\\ &=-Le^2+(e-\dot{ \hat{{c}}})e_{c} \end{aligned} V˙?=ee˙+ec?e˙c?=e(c?c^?Le)?ec?c^˙=?Le2+eec??ec?c^˙=?Le2+(e?c^˙)ec??
若使導數負定，則要求 ( e ? c ^ ˙ ) = 0 (e-\dot{ \hat{{c}}})=0 (e?c^˙)=0,有
e ? c ^ ˙ = 0 x ? x ^ ? c ^ ˙ = 0 x = x ^ + c ^ ˙ \begin{aligned} &e-\dot{ \hat{{c}}}=0\\ &{x}-{\hat{x}}-\dot{ \hat{{c}}}=0\\ &{x}={\hat{x}}+\dot{ \hat{{c}}} \end{aligned} ?e?c^˙=0x?x^?c^˙=0x=x^+c^˙?
根據自適應控制器的設計原則，控制器為：
u = ? x ? c ^ = ? x ^ ? c ^ ˙ ? c ^ \begin{aligned} u&=-x-\hat{c}\\ &=-{\hat{x}}-\dot{ \hat{{c}}}-\hat{c} \end{aligned} u?=?x?c^=?x^?c^˙?c^?

3、繪制系統框圖

模型參考自適應控制：
系統：
x ˙ = a x + b u \begin{aligned} \dot{x}=ax+bu \end{aligned} x˙=ax+bu?
參考模型：
x ˙ m = a m x m + b m u m \begin{aligned} \dot{x}_m=a_mx_m+b_mu_m \end{aligned} x˙m?=am?xm?+bm?um??
控制器為：
u = θ ^ 1 x + θ ^ 2 u m u={\hat\theta_1}x+{\hat\theta_2}u_m u=θ^1?x+θ^2?um?
控制器需滿足的條件：
θ ^ 1 ˙ = x e θ ^ 2 ˙ = ? u m e \begin{aligned} &\dot{\hat\theta_1}=xe\\ &\dot{\hat\theta_2}=-u_me \end{aligned} ?θ^1?˙?=xeθ^2?˙?=?um?e?

4、設計李雅普諾夫函式

對于狀態方程：
[ x ˙ θ ˙ ] = [ A B Φ T ? Φ C 0 ] [ x θ ] \left[\begin{array}{l} \dot{{x}} \\ \dot{\theta} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} {A} & {B} \Phi^{T} \\ -\Phi {C} & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} {x} \\ \theta \end{array}\right] [x˙θ˙?]=[A?ΦC?BΦT0?][xθ?]
其中
P A + A T P = ? Q ， C = B T P ， P > 0 , Q > 0 PA+A^{T}P=-Q，C=B^{T}P，P>0,Q>0 PA+ATP=?Q，C=BTP，P>0,Q>0
構造lyapunov函式有：
V ( x , θ ) = x T P x + θ T θ V(x,\theta)={x}^TP{x}+{\theta}^T{\theta} V(x,θ)=xTPx+θTθ
求導為：
V ˙ ( x , θ ) = x ˙ T P x + x T P x ˙ + θ ˙ T θ + θ T θ ˙ = ( A x + B Φ T θ ) T P x + x T P ( A x + B Φ T θ ) + ( ? Φ C x ) T θ + θ T ( ? Φ C x ) = ? x T Q x \begin{aligned} \dot{V}(x,\theta)&=\dot{{x}}^TP{x}+{x}^TP\dot{{x}}+\dot{\theta}^T{\theta}+{\theta}^T\dot{\theta}\\ &= (Ax+{B} \Phi^{T}\theta)^TP{x}+{x}^TP(Ax+{B} \Phi^{T}\theta)+(-\Phi {C}x)^T{\theta}+{\theta}^T(-\Phi {C}x)\\ &=-x^TQx \end{aligned} V˙(x,θ)?=x˙TPx+xTPx˙+θ˙Tθ+θTθ˙=(Ax+BΦTθ)TPx+xTP(Ax+BΦTθ)+(?ΦCx)Tθ+θT(?ΦCx)=?xTQx?
lyapunov函式導數負定，系統漸近穩定

能力有限僅供參考,歡迎提出寶貴意見！