1.行列式

1.1.行列式性質

注意：

• 性質1.3 注意和矩陣的數乘區分，這里是只乘在了一行上，而矩陣數乘是乘在每一個元素上，
• 性質1.5.是可以使用高斯消元法計算行列式的重要原因，

1.2.行列式計算——行列式展開定理

注意：

• 代數余子式是有符號的！
• 一種特殊的行列式——范德蒙行列式

2.矩陣

2.1.數域

2.2.方陣

2.2.1.方陣的冪

2.2.2.方陣的行列式乘法公式

2.3.伴隨矩陣

2.4.矩陣的初等變換

2.4.1.矩陣的等價

2.4.2.矩陣的標準形

2.5.矩陣的秩

2.5.1子式和秩

注意：只有零矩陣的秩才是0.

2.5.2.初等變換法求矩陣的秩

2.6.初等矩陣

2.6.1.矩陣等價的充要條件

注意：

• 推論2.2說明乘以一個可逆矩陣不改變當前矩陣的秩

2.6.2.初等變換法求矩陣的逆

高斯消元，

2.7.分塊矩陣

2.7.1.分塊矩陣求冪

2.7.2.分塊矩陣求行列式

2.7.3.分塊矩陣求逆

2.8.分塊矩陣的初等變換

3.幾何向量

3.1.數量積、向量積和混合積

• 數量積幾何意義是投影
• 向量積是有向平行四邊形的面積
• 混合積是有向平行六面體的體積，是先算向量積得到平行四邊形的面積，再算向量積得投影（也就是六面體的高）

3.2.空間中的平面與直線

4.n維向量

4.1.向量組的線性相關性

4.2.向量組的秩

4.2.1.向量組的等價

4.2.2.極大無關組和向量組的秩

4.2.3.矩陣的秩和向量組的秩的關系

4.3.向量空間

4.3.1.基和維數

4.3.2.坐標變換（重要）

注意：

• 坐標變換和后面的線性變換有相關性，注意和后面的對比和區分，
• 理解這里的基變換公式中的過渡矩陣的位置，根據上面的公式可知，從一組基 α i \alpha_i αi?到另一組基 β i \beta_i βi?的過渡矩陣P，P的每一列實際上就是 β i \beta_i βi?在 α i \alpha_i αi?下的表示，也就是 β i \beta_i βi?在 α i \alpha_i αi?下的坐標，
• 理解坐標變換公式：一個向量在基 β i \beta_i βi?下表示的坐標是 x ′ x' x′，轉換到基 α i \alpha_i αi?下表示為 x x x，所以就是 x = P ? x ′ x=P*x' x=P?x′，可以這樣記憶，假設 x ′ = ( 1 , 0 , 0...0 ) T x'=(1, 0, 0 ... 0)^T x′=(1,0,0...0)T，那么 P ? x ′ 得 到 矩 陣 P 的 第 一 列 ， P*x'得到矩陣P的第一列， P?x′得到矩陣P的第一列，實際上就是 β 1 \beta_1 β1?在基 α \alpha α下的表示，

4.3.3.規范正交基

4.3.4.Schmidt正交化方法

4.4.正交矩陣

5.線性方程組

5.1.方程組有解的充要條件

注意：

• 齊次線性方程組總有解，因為零向量始終是它的解
• 非齊次線性方程組有解的充要條件是R(A)=R(B)，由于矩陣的秩等于高斯消元之后得到的行階梯形矩陣中非零行的個數，所以這里R(A)=R(B)就等價于最后A和B消元后非零行的個數是相等的，就相當于左邊是0右邊也要是0，這樣非齊次線性方程組就有解，

5.2.線性方程組解的結構

5.2.1.齊次線性方程組解的結構

注意：這里求通解的時候，就是把自由變數依次取為1，然后求得一個解空間的基，

5.2.2.非齊次線性方程組解的結構

注意：

• 這里求特解的時候，就是把所有的自由變數都置為0，求得的解向量就是特解，因為如果自由變數不是0的話，實際上此時得到的解向量中就包含 A x = 0 Ax=0 Ax=0的通解向量中的成分，答案是沒問題的，只不過不是“純凈”的特解，
• 在求通解的時候就是正常按照 A x = 0 Ax=0 Ax=0的求解方式進行求解，也就是對各個自由變數分別賦值為1，然后求得解空間的一個基向量，

6.特征值、特征向量和相似矩陣

6.1.特征值的性質

6.2.實對稱矩陣的特征值和特征向量

6.3.相似矩陣

6.3.1.相似矩陣的定義

6.3.2.方陣相似對角化的條件及方法

6.3.3.幾何重數和代數重數

6.3.4.實對稱矩陣的正交相似對角化

注意：

• 實對稱矩陣的一個性質就是屬于不同特征值的特征向量必定正交，并且所有特征值的幾何重數等于代數重數，所以實對稱矩陣一定可以相似對角化，
• 所以在求實對稱矩陣的正交相似對角化矩陣的時候，只需要把屬于同一個特征值的特征向量進行施密特正交化，讓這些“類內”特征向量正交，而“類外”特征向量本來就正交，所以最后得到的特征向量組就全都是正交的，

7.線性空間與線性變換

7.1.線性空間的概念

注意：

• 這里沒有很理解線性空間和向量空間之間的區別，

7.2.線性空間的基和維數

7.3.線性變換（重要）

7.3.1.線性變換的定義

7.3.2.線性變換的性質

7.3.3.線性變換的矩陣表示（重要）

7.3.3.1. 線性變換在某個基下的矩陣A

7.3.3.2. 使用線性變換的矩陣A對坐標進行變化

注意：

• 理解這里的線性變換在某個基下的矩陣A：這里的矩陣A和前面向量坐標變換時的矩陣P是一樣的，實際上，對基 ? i \epsilon_i ?i?進行線性變換得到的 A ( ? i ) \mathcal{A}(\epsilon_i) A(?i?)就相當于是向量坐標變換中的另一組基 β i \beta_i βi?，也就是基 β i \beta_i βi?在基 α i \alpha_i αi?（也就是這里的 ? \epsilon ?）下的表示，
• 但是這里的 A \mathcal{A} A的矩陣對向量 x x x進行線性變換后的坐標和前面的向量坐標的變換是相反的，原因在于這里的線性變換是把一個向量進行線性變換（旋轉縮放等），然后新的坐標就是變換后的新的向量仍然在原來的基 ? i \epsilon_i ?i?下的表示，可以這樣記憶，假設原來的向量 x = ( 1 , 0 , 0...0 ) T x=(1, 0, 0 ... 0)^T x=(1,0,0...0)T，那么 A ? x A*x A?x得到矩陣A的第一列，實際上就是 ? 1 \epsilon_1 ?1?經過線性變換后仍然在基 α i \alpha_i αi?下表示的坐標，

7.3.3.3. 同一個線性變換在不同的基下的矩陣之間的關系

8.二次型與二次曲面

8.1.二次型的定義及其矩陣

8.2.合同矩陣

8.3.實二次型的標準型

8.4.使用正交變換化為標準二次型

8.5.正定矩陣和正定二次型（重要）

注意：根據上面的兩個推論可以知道正定矩陣的幾個性質：

• 正定矩陣一定是對稱矩陣（這是定義前提決定的）
• 正定矩陣的特征值全部大于0
• 正定矩陣可以分解為一個可逆矩陣的轉置和這個可逆矩陣的乘積